В данном материале мы проанализируем последовательный радиоактивный распад урана-238 и рассчитаем динамику накопления его конечного стабильного продукта — изотопа свинца — по прошествии времени t.
Для наглядности разберем цепочку Bi-210 → Po-210 → Pb-206 с периодами полураспада T1 ≈ 5 суток и T2 ≈ 138,4 суток. Построим расчетные графики для начального количества атомов N10 = 5*10^32.
Графический анализ демонстрирует стремительный распад Bi-210, временное накопление и последующий плавный распад Po-210, а также постепенное накопление стабильного изотопа Pb-206.
Обратимся к радиоактивному ряду урана-238: этот процесс включает 8 α-распадов и 6 β-распадов. Каждый акт α-распада сопровождается снижением заряда ядра на 2 единицы и массы на 4 а.е.м., тогда как β-распад увеличивает заряд на единицу при практически неизменной массе. Свинец-206 замыкает эту цепочку как стабильный конечный нуклид.
Полная последовательность превращений:
1. U-238 (уран-238) → Th-234 (торий-234) + α (период полураспада ~4,5 млрд лет).
2. Th-234 → Pa-234 (протактиний-234) + β.
3. Pa-234 → U-234 (уран-234) + β.
4. U-234 → Th-230 (торий-230) + α.
5. Th-230 → Ra-226 (радий-226) + α.
6. Ra-226 → Rn-222 (радон-222) + α.
7. Rn-222 → Po-218 (полоний-218) + α.
8. Po-218 → Pb-214 (свинец-214) + α.
9. Pb-214 → Bi-214 (висмут-214) + β.
10. Bi-214 → Po-214 (полоний-214) + β.
11. Po-214 → Pb-210 (свинец-210) + α.
12. Pb-210 → Bi-210 (висмут-210) + β.
13. Bi-210 → Po-210 (полоний-210) + β.
14. Po-210 → Pb-206 (свинец-206) + α.
Краткая справка о периодах полураспада участников ряда:
1. U-238: 4,468 × 10⁹ лет. 2. Th-234: 24,1 сут. 3. Pa-234: 6,7 ч. 4. U-234: 245 тыс. лет. 5. Th-230: 75 380 лет. 6. Ra-226: 1600 лет. 7. Rn-222: 3,82 сут. 8. Po-218: 33 с. 9. Pb-214: 26,8 мин. 10. Bi-214: 19,9 мин. 11. Po-214: 1 с. 12. Pb-210: 22,2 года. 13. Bi-210: 5,01 сут. 14. Po-210: 138,4 сут.
Математически эта система описывается набором дифференциальных уравнений. Из-за сложности аналитического решения мы прибегнем к численному моделированию на Python:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
Параметры распада (T_half в годах, константа λ в год⁻¹)
decay_params = [
{'name': 'U-238', 'T_half': 4.468e9, 'lambda': np.log(2) / 4.468e9},
{'name': 'Th-234', 'T_half': 24.1 / 365.25, 'lambda': np.log(2) / (24.1 / 365.25)},
{'name': 'Pa-234', 'T_half': 6.7 / (24 365.25), 'lambda': np.log(2) / (6.7 / (24 365.25))},
{'name': 'U-234', 'T_half': 2.455e5, 'lambda': np.log(2) / 2.455e5},
{'name': 'Th-230', 'T_half': 7.538e4, 'lambda': np.log(2) / 7.538e4},
{'name': 'Ra-226', 'T_half': 1.6e3, 'lambda': np.log(2) / 1.6e3},
{'name': 'Rn-222', 'T_half': 3.8235 / 365.25, 'lambda': np.log(2) / (3.8235 / 365.25)},
{'name': 'Po-218', 'T_half': 3.1e-6, 'lambda': np.log(2) / 3.1e-6},
{'name': 'Pb-214', 'T_half': 26.8 / (24 365.25), 'lambda': np.log(2) / (26.8 / (24 365.25))},
{'name': 'Bi-214', 'T_half': 19.9 / (24 365.25), 'lambda': np.log(2) / (19.9 / (24 365.25))},
{'name': 'Po-214', 'T_half': 1.64e-7, 'lambda': np.log(2) / 1.64e-7},
{'name': 'Pb-210', 'T_half': 22.2, 'lambda': np.log(2) / 22.2},
{'name': 'Bi-210', 'T_half': 5.012 / 365.25, 'lambda': np.log(2) / (5.012 / 365.25)},
{'name': 'Po-210', 'T_half': 138.376 / 365.25, 'lambda': np.log(2) / (138.376 / 365.25)},
{'name': 'Pb-206', 'T_half': np.inf, 'lambda': 0.0}
]
n_nuclides = len(decay_params)
def decay_system(N, t):
dNdt = np.zeros(n_nuclides)
for i in range(n_nuclides):
if i == 0:
dNdt[i] = -decay_params[i]['lambda'] N[i]
elif i == n_nuclides - 1:
dNdt[i] = decay_params[i-1]['lambda'] N[i-1]
else:
dNdt[i] = (decay_params[i-1]['lambda'] N[i-1] - decay_params[i]['lambda'] N[i])
return dNdt
N0 = np.zeros(n_nuclides)
N0[0] = 1e24
t_max = 5e9
t = np.linspace(0, t_max, 1000)
solution = odeint(decay_system, N0, t, mxstep=5000)
plt.figure(figsize=(16, 10))
long_lived_indices = [0, 3, 4, 5, 11]
colors = ['blue', 'green', 'orange', 'red', 'purple']
for idx, i in enumerate(long_lived_indices):
plt.plot(t / 1e9, (solution[:, i] / N0[0]), label=decay_params[i]['name'], linewidth=2, color=colors[idx])
plt.xlabel('Время, млрд лет'); plt.ylabel('Доля от N0'); plt.yscale('log'); plt.legend(); plt.show()
Результаты моделирования иллюстрируют процесс перераспределения материи в ряду:
Ключевой вывод: из-за колоссальной разницы в периодах полураспада урана-238 и прочих участников ряда, промежуточные нуклиды практически не накапливаются в значимых количествах, уступая место стабильному свинцу. Таким образом, нами успешно решена прикладная задача из области ядерной физики.
Список литературы:
- Зельдович Я. Б., Харитон Ю. Б. «Деление и цепной распад урана».
- Ган О., Штрассман Ф. Труды по исследованию продуктов распада урана.
- Флеров Г. Н., Петржак К. А. Об открытии спонтанного деления (1940).
- Черноруков Н. Г. «Уран. Прошлое, настоящее и будущее» (2010).
- Курчатов И. В. «Проблема урана. Часть II. Цепная ядерная реакция».
- Калинин С. П., Панкратов В. М. «Сечения деления тяжелых ядер» (1959).
- Фундаментальные работы Фаулера, Додсона, Грина, Альвареса и Абельсона по изучению деления урана нейтронами.
