Искусственный интеллект решил математическую «задачу тысячелетия» с призом в миллион долларов

Математики из OpenAI доказали, что решения уравнений Навье — Стокса, моделирующих гидродинамические процессы, при определенных условиях способны «разрушаться». Тем не менее, это ошеломляющее достижение уже спровоцировало горячие дискуссии

Во вторник, 8 сентября, исследователи из OpenAI сообщили, что синдикат из 10 000 автономных искусственных агентов под их началом, задействованный на закрытой передовой модели, выявил «сингулярность» в трехмерных уравнениях Навье — Стокса. Фактически была покорена одна из шести оставшихся задач тысячелетия, утвержденных Математическим институтом Клэя в 2000 году, каждая из которых оценивается в $1 млн. Полученный вывод прошел формальную верификацию на языке программирования Lean, что дает ученому сообществу веские основания признать его безупречным.

Если этот прорыв выдержит строгую ревизию, он с огромным отрывом закрепит за собой статус наиболее весомого математического доказательства, рожденного с помощью нейросетей. Подобный прецедент вполне способен ознаменовать коренной сдвиг в методологии решения фундаментальных научных задач.

Рассматриваемая проблематика охватывает дифференциальные уравнения, описывающие закономерности взаимодействия динамических величин. Пожалуй, это самый мощный аналитический инструмент для познания материального мира. Как правило, составление подобных уравнений не вызывает трудностей, в то время как их интегрирование представляет колоссальную сложность.

Уравнения Навье — Стокса, базирующиеся на втором законе Ньютона, определяют динамику жидких и газообразных сред — от глобальных океанических течений до турбулентных воздушных масс. С момента их вывода в позапрошлом столетии они занимают фундаментальное положение в механике сплошных сред. Тем не менее, один принципиальный аспект оставался неразгаданным: всегда ли их решения ведут себя «регулярно»? Иными словами, не может ли система эволюционировать таким образом, что бесконечно малая область жидкости приобретет бесконечную скорость, сформировав так называемую сингулярность?

OpenAI обнародовала информацию об этой неуловимой сингулярности спустя всего полсуток после аналогичного заявления Тристана Бакмастера из Нью-Йоркского университета. Совместно с Левентом Алпёге из Anthropic он успешно справился с рядом смежных проблем, задействовав различные ИИ-архитектуры, включая разработки OpenAI.

Обе исследовательские группы в значительной степени базировались на трудах Диего Кордобы из мадридского Института математических наук и Луиса Мартинеса-Сороа из университета CUNEF. Эти ученые предложили принципиально иную стратегию атаки на проблему, кардинально отличающуюся от устоявшихся академических подходов.

«Я был потрясен тем, что задача пала», — признался Чарльз Фефферман из Принстона, составивший официальную формулировку этой проблемы для Института Клэя. По его мнению, истинными триумфаторами выступают именно Кордоба и Мартинес-Сороа. Как выразился Бакмастер в своем отчете: «Скажу откровенно то, о чем говорил в узком кругу: учитывая масштаб проделанной работы, Луис Мартинес-Сороа безусловно достоин медали Филдса».

Единственная в своем роде сингулярность

Теоретический базис уравнений Навье — Стокса предполагает возможность бесконечного дробления жидкости на все более малые объемы. В объективной реальности дело обстоит иначе: любая субстанция дискретна и состоит из атомов и молекул, лишаясь свойства абсолютной непрерывности. Следовательно, чисто математическое обнаружение сингулярностей не несет сиюминутного прикладного значения. Тем не менее, сам факт возникновения таких аномалий в идеализированной модели поразителен. Он демонстрирует, что даже лаконичный второй закон Ньютона способен порождать контринтуитивные эффекты при описании жидкостей. Иными словами, феномен турбулентности гораздо сложнее, чем принято считать.

В уравнениях Навье — Стокса задействован коэффициент вязкости, отражающий внутреннее трение среды. Высоковязкие составы, вроде меда, движутся вяло, тогда как маловязкие, подобно воде, — стремительно. Упрощенный аналог — уравнения Эйлера — рассматривает идеальные жидкости без внутреннего трения. Обе системы глубоко взаимосвязаны, и специалисты традиционно исследуют их в тандеме. Однако введение даже ничтожно малого трения радикально трансформирует характер движения.

«Десять лет назад никто всерьез не допускал присутствия сингулярностей в уравнениях Навье — Стокса», — вспоминает Кордоба, хотя в отношении уравнений Эйлера подобные гипотезы высказывались. Поворотный момент наступил в 2013 году, когда Томас Хоу из Калтеха и Го Ло (ныне представляющий Университет Хан Сенга) представили прорывной результат. Они доказали, что решения уравнений Эйлера способны «взрываться» внутри цилиндра при условии встречного вращения его оснований. «Это было первое весомое свидетельство в пользу сингулярностей», — отмечает Кордоба. Последующая череда открытий, включая <фундаментальную публикацию 2019 года, укрепила ученых в мысли, что коллапс решений характерен не только для системы Эйлера, но и для модели Навье — Стокса.

Преодоление дистанции до нынешнего триумфа потребовало решения нескольких концептуальных задач. Первая упиралась в фактор границ. В условиях задачи тысячелетия фигурирует бесконечное трехмерное пространство. Ранние же работы оперировали ограниченными областями. Подобные частные случаи служат полезным трамплином, однако, как подчеркивает Фефферман, случай безграничного пространства представляет наибольший математический интерес. Наличие границ намекает, что аномалия спровоцирована внешним барьером, тогда как в безграничной среде этот сложнейший фокус проделывает сама субстанция.

Следующий барьер связан с моделированием движущих сил — будь то гравитационное притяжение или механическое воздействие лопастей. В математике такие факторы задаются посредством внешней силы. Зачастую исследователи прибегали к громоздким, искусственным конструкциям, чтобы принудить жидкость к аномальному поведению. Однако условия престижной премии требуют демонстрации эффекта при использовании гладкой, математически безупречной функции.

В своей работе 2013 года Хоу и Ло задействовали компьютерное моделирование для симуляции критического сценария, приводящего к взрыву решений Эйлера, после чего строго верифицировали результат с учетом погрешностей. С тех пор вычислительные методы закрепились в качестве основного оружия против обеих систем уравнений.

Тем не менее, в своей кандидатской диссертации 2021 года Мартинес-Сороа применил сугубо аналитический инструментарий, обойдясь без компьютерных расчетов. Это выделило его творческий тандем с Кордобой на фоне общего тренда. К 2023 году они продемонстрировали, что специфическая вариация уравнений Эйлера с довольно искусственной внешней силой действительно порождает сингулярности.

Кордоба любит иронизировать: «Зачем мне искусственный интеллект, у меня есть Луис». Мартинес-Сороа вторит ему, уточняя, что они вовсе не противники прогресса: просто до определенного момента нейросети плохо стыковались с их исследовательским методом. Впрочем, теперь приходится адаптироваться к новой реальности.

Если обрисовывать их подход в общих чертах, он опирается на генерацию бесконечной последовательности «слоев», каждый из которых представляет собой регулярное решение. Аналогичные приемы использовались для обеих систем уравнений. Впоследствии эти фрагменты интегрируются в единую структуру, которую Мартинес-Сороа называет «бесконечным каскадом».

Как выяснилось, результирующая конструкция содержит искомую сингулярность. Проблема заключалась в том, что при сведении гладких компонентов воедино общая функция внешней силы утрачивала требуемые свойства, выходя за рамки условий задачи тысячелетия. Требовалось построить такой каскад, который приводил бы к сингулярности, сохраняя при этом гладкость внешней силы.

Судя по всему, именно этот рубеж и смогли преодолеть обе соревнующиеся команды с помощью нейросетей.

Интригующий синтез

Параллельно с изысканиями Кордобы и Мартинеса-Сороа в математическом сообществе развернулся настоящий бум применения искусственного интеллекта. С наступления лета передовые языковые модели от OpenAI и Anthropic задействовались для вывода теорем в самых разных дисциплинах. Зачастую эти выкладки подкреплялись машинной верификацией на языке Lean, гарантирующей абсолютную логическую корректность. Единственным звеном, требующим участия человека, оставалось подтверждение того, что формализованное в Lean утверждение тождественно первоначальному научному замыслу.

До определенного момента это соревнование протекало в относительно мирном ключе, однако ситуация обострилась за считанные часы.

Поздним вечером в понедельник, 7 сентября, Бакмастер обнародовал официальное заявление об итогах совместной работы с Алпёге. «Большую часть прошлого года продвижение вперед давалось с трудом», — признался он. Тем не менее, к 22 августа у них уже имелось верифицированное в Lean доказательство для системы Эйлера. «Присланное Левентом первое сгенерированное LLM доказательство выглядело самым чудовищным текстом из всех, что мне доводилось читать», — отметил Бакмастер.

Авторы планировали облачить результаты в более элегантную форму, но утечка сведений в OpenAI заставила их поторопиться. Бакмастер даже принес извинения за одну из готовящихся к печати статей, охарактеризовав ее как «настоящий нейрошлак».

В OpenAI подтверждают, что обратились к уравнениям Навье — Стокса на волне слухов о достижениях дуэта Алпёге — Бакмастер. Хотя те формально еще не закрыли саму проблему тысячелетия, у них имелось незадокументированное подтверждение взрыва решения для упрощенной версии. Задействовав новейшую внутреннюю архитектуру, OpenAI бросила на задачу пулы автономных агентов. «Почти сотня агентов в течение 50 часов координировала усилия для опровержения регулярности в уравнениях Эйлера», — отчиталась компания.

На втором этапе был задействован колоссальный кластер из 10 000 агентов, нацеленный уже на уравнения Навье — Стокса. Спустя 88 часов они добыли доказательство сингулярности, а еще через 17 часов сопутствующая нейросеть провела его формализацию. Совокупный объем обмена сообщениями между агентами превысил 5 млн транзакций, а финансовые затраты на вычисления, по оценке Себастьяна Бюбека из OpenAI, исчисляются миллионами долларов.

На момент публикации детали взаимодействия между Бакмастером, Алпёге и OpenAI остаются предметом дискуссий: стороны представляют события по-разному. В OpenAI признают приоритет конкурентов в трехмерных уравнениях Эйлера, но настаивают на собственном первенстве в проблеме Навье — Стокса. В свою очередь, Бакмастер прозрачно намекает, что исследователи OpenAI могли воспользоваться материалами, которые он разрабатывал с Алпёге с использованием тех же моделей OpenAI.

[Детали этого академического спора освещены в отдельной публикации на нашем ресурсе / прим. пер.]

Для восстановления точной хронологии и беспристрастной оценки этих машинных доказательств потребуется время, несмотря на их прохождение формальной верификации. Тем не менее, фундаментальный интеллектуальный долг перед Кордобой и Мартинесом-Сороа остается непреложным фактом.

«Я искренне рад за Тристана, — заявил Мартинес-Сороа. — Разумеется, нам хотелось бы первыми дойти до финиша самим, но я разделяю его успех».

 

Источник