В этих играх сочетаются квантовая запутанность, бесконечности и невозможность подсчёта вероятности выигрыша. Но если исследователи сумеют раскусить их, они откроют нам глубокие секреты математики.
В 1950-х четыре военнослужащих армии США, увлекавшихся математикой, использовали примитивные электронные калькуляторы для расчёта оптимальной стратегии игры в блэкджек. Их результаты были позднее опубликованы в журнале американской статистической ассоциации, и описывали наилучшие решения, которые может принимать игрок в любой ситуации в игре.
Однако такая стратегия, которую любители азартных игр позже окрестят «правилами» [the book], не гарантирует победы игроку. У блэкджека, а также пасьянса, шашек или множества других игр, есть определённый «потолок» по проценту игр, в которые игрок может выиграть – даже если он будет каждый раз играть идеально.
Однако существуют особенно странные игры, в которых в принципе невозможно подсчитать максимальную вероятность выигрыша. Вместо этого математики и специалисты по информатике пытаются определить, можно ли хотя бы дать примерную оценку процента выигрышей для таких игр. И существование этой возможности зависит от совместимости двух очень разных подходов к физике.
Такие «нелокальные» игры впервые придумал в 1960-м физик Джон Стюарт Белл, пытаясь понять такое странное квантовое явление, как квантовая запутанность. Хотя запутанность – штука сложная, нелокальные игры по своей сути просты. Есть два игрока, каждому из которых задают простой вопрос. Они выигрывают, если их ответы определённым образом связаны. К сожалению, друг с другом общаться они не могут, поэтому им приходится догадываться об ответе другого. Белл доказал, что если игроки смогут использовать пары запутанных квантовых частиц, они могут улучшить корреляцию ответов и выигрывать игры чаще, чем можно было бы ожидать.
В последние годы исследователи развивали работы Белла, о чём мы уже писали в статье «Простые квантовые игры раскрывают первичную сложность Вселенной«. Работа Уильяма Слофстры от 2016 года и Андреа Коладанджело и Ялекса Старка от 2018 доказали, что в некоторых нелокальных играх соблюдается закономерность – чем больше пар запутанных частиц есть у игроков, тем лучше они играют. И это взаимоотношение сохраняется в бесконечности, то есть, для наилучшей возможной игры игрокам потребуется бесконечное количество пар частиц (или частицы с бесконечным количеством независимых свойств).
Одно из следствий этих результатов – невозможно подсчитать вероятность максимального процента выигрыша для некоторых нелокальных игр. Компьютеры не работают с бесконечными величинами, поэтому если идеальная стратегия требует бесконечного числа запутанных частиц, компьютер не может подсчитать, как часто стратегия оправдывает себя.
«Нет такого обобщённого алгоритма, чтобы можно было ввести описание игры и получить ответ в виде вероятности максимального процента выигрышей», — сказал Генри Юйэнь, специалист по теоретической информатике из университета Торонто.
Но если мы не знаем точную вероятность максимального процента выигрышей, не можем ли мы подсчитать её хотя бы с какой-то погрешностью?
Математики активно трудятся над этим вопросом. Как ни странно, их успех зависит от совместимости двух очень разных подходов к физике.
Вспомним, что игрокам в нелокальной игре нельзя координировать ответы. Этого можно достичь двумя способами. Первый – физически изолировать их друг от друга, разместив их в разных комнатах или на разных концах Вселенной. Пространственная изоляция обеспечивает отсутствие коммуникаций. Исследователи анализируют эту ситуацию, используя модель «тензорного произведения«.
Однако есть и другой способ не дать игрокам сговориться. Вместо их разделения можно выдвинуть другое требование: последовательность, в которой два игрока измеряют запутанные частицы и выдают ответ, не может влиять на их ответы. «Если порядок, в котором они проводят измерения, не имеет значения, то они очевидно не могут общаться друг с другом», — сказал Юйэнь.
Когда в математике порядок действий не влияет на ответ, говорят, что операция коммутативна: a × b = b × a. Такой подход к нелокальным играм – на основе независимости последовательности, а не пространственного разделения – называется моделью «коммутирующего оператора».
Произведение тензоров и коммутирующий оператор используются в физике, в особенности при изучении взаимодействий субатомных частиц в квантовой теории поля. Эти модели – два разных подхода к рассуждениям о причинно-следственной независимости физических явлений. И хотя модель произведения тензоров более интуитивна – мы обычно представляем себе причинно-следственную независимость как пространственное разделение – модель коммутирующего оператора даёт более логичную математическую платформу. Всё потому, что «пространственная независимость» – идея размытая, а коммутирующее взаимоотношение можно описать чётко.
«Для людей, изучающих квантовую теорию поля, понятие пространственного разделения объектов неестественно, — сказал Юйэнь. – На математическом уровне не всегда можно разместить две независимые вещи в двух отдельных местах Вселенной».
И вот, как всё это связано с нелокальными играми.
Специалисты по информатике могут использовать модель тензорного произведения для подсчёта минимума вероятности максимального процента выигрышей. Используемый ими алгоритм гарантирует, что это вероятность окажется выше некоего порога. Сходным образом исследователи могут использовать модель коммутирующего оператора для ограничения вероятности сверху. Этот алгоритм гарантирует, что вероятность не превышает некоторого порога.
Имея такие инструменты, исследователи хотят как можно ближе свести эти ограничения вместе, как два поршня. Им известно, что нельзя заставить эти пределы соприкоснуться и выдать единственную и точную величину вероятности максимального процента выигрышей – в недавней работе Слофстра, Коладэнджело и Старк доказали, что точную вероятность подсчитать нельзя – но чем ближе они их сведут, тем точнее смогут определить эту вероятность.
И действительно, чем дольше эти алгоритмы работают, тем сильнее сближаются два поршня, выдавая всё более точное приближение к невыразимому среднему значению, которого они никогда не достигнут. Однако неясно, будет ли это видимое сближение наблюдаться вечно. «Эти алгоритмы совершенно загадочны. Это не постепенное и плавное улучшение значений. Мы просто не понимаем, как быстро они сближаются», — сказал Юйэнь.
Стратегия поршней зиждется на эквивалентности двух моделей. Она предполагает, что верхнее и нижнее ограничение выдавливают среднее значение. Если две этих модели и правда эквивалентны, тогда два поршня действительно будут сближаться на сколь угодно малое расстояние. И наоборот, если доказать, что два поршня будут сближаться на сколь угодно малое расстояние, это докажет эквивалентность моделей.
Однако возможно, что две этих модели – это не разные способы обозначения одного и того же. Возможно, что они несоизмеримы, и что в итоге окажется, что верхнее ограничение опустится ниже нижнего. Тогда специалисты по информатике потеряют свою лучшую стратегию аппроксимации вероятностей. К сожалению, точно никому это не известно.
За последние пару лет наибольший прогресс выражают два доказательства, которые демонстрируют только лишь сложность всей этой задачи.
В 2018 году Томас Видик и Ананд Натараджан доказали, что оценивать вероятности максимального процента выигрыша в нелокальной игре по меньшей мере так же сложно, как решать безумно сложные задачи типа задачи коммивояжёра. В том же году Юйэнь, Видик, Джозеф Фитсимонс и Чжэнфэн Цзи доказали, что в процессе сближения поршней вычислительные ресурсы, необходимые для их дальнейшего сближения, растут экспоненциально.
Ещё один поворот в истории – вопрос эквивалентности моделей является прямой аналогией важной и сложной открытой задачи математики под названием «гипотеза Конна о встраиваемости». Такая ситуация ставит математиков и специалистов по информатике в положение, когда можно убить одним выстрелом трёх зайцев. Доказав эквивалентность моделей тензорного произведения и коммутирующего оператора, они сразу же получат алгоритм для вычисления вероятностей максимального процента выигрышей и определят истинность гипотезы Конна. Такое достижение заслужит признание во всех связанных с ним областях.
Подходящим будет сказать, что все эти вопросы глубоко запутаны между собой.
Источник
