Разбор дифференциалов первого и второго порядков для продвинутых

4 часа назад Прокомментировать Просмотры: 14

Этот материал будет полезен всем энтузиастам точных наук, желающим проверить глубину своего понимания базовых, на первый взгляд, математических концепций.

Введение

Сегодня с понятием производной и дифференциала школьники знакомятся уже в старших классах. Безусловно, вряд ли это знакомство отличается глубоким осознанием сути, однако я заметил, что и подавляющее большинство студентов не до конца улавливает всю тонкость данных определений. Именно поэтому я решил систематизировать знания и подготовить материал, проливающий свет на различия между дифференцируемостью, дифференциалами, производными по направлению, вторыми дифференциалами и прочими смежными понятиями.

Уважаемый читатель, готовы ли вы поручиться, что отчетливо представляете себе, чем является дифференциал функции? А что насчет второго дифференциала?

Если вы испытываете хоть малейшие сомнения, предлагаю пройти короткий опрос и попытаться ответить на вопрос: «Что представляет собой дифференциал функции?»

Чрезвычайно малая величина.
Приращение значения функции при смещении из исходной точки на бесконечно малое расстояние.
Производная функции, помноженная на бесконечно малый шаг.
Линейная составляющая изменения функции в заданном направлении.
Линейный оператор.
Функция двух переменных.

Если вы выбрали варианты 1, 2 или 3, вы, скорее всего, просто любознательный интернет-пользователь, чей багаж математических знаний пока невелик. Но расстраиваться не стоит — напротив, радуйтесь, ведь этот материал написан специально для вас.

Если же ваши варианты — 4, 5 или 6, то мои поздравления: вы успешно справились с тестом и заслуживаете звания знатока математического анализа! Или нет?

Дифференциал первого порядка

Одномерный случай

Начнем с самого фундаментального — введем определение дифференцируемости для функции одной переменной.

Функция называется дифференцируемой в точкетогда и только тогда, когда $\exists A \in \mathbb{R}$ при $x \rightarrow x_0$

Если обозначение вызывает у вас вопросы, поясню: неформально говоря, это величина, которая стремится к нулю быстрее, чем аргумент приближается к заданной точке $x \rightarrow x_0$

Отсюда вытекает простое следствие: функция обладает дифференцируемостью в точке тогда и только тогда, когда в ней существует конечная производная $\exists y’(x_0) \in \mathbb{R}$

Вспомните второй вариант из нашего теста — приращение значения функции при смещении из исходной точки на бесконечно малое расстояние. Как ни странно, в роли дифференциала независимой переменной выступает именно банальная разность $dx \stackrel{\text{def}}{=} x - x_0$ . Соответственно, дифференциал самой функции записывается как $dy \stackrel{\text{def}}{=} Adx$ , или же, учитывая наши выкладки, $dy \stackrel{\text{def}}{=} y'(x_0)dx$ .

Теперь вернемся к третьему варианту ответа — произведению производной на очень маленькое приращение. Его тоже можно считать отчасти корректным, но с существенными оговорками. Крайне важно осознавать, что требование «малости» не заложено в строглое определение дифференциала. Да, понятие дифференцируемости опирается на стремление приращения к нулю, однако сам по себе дифференциал не обязан вычисляться исключительно в предельном случае $x \rightarrow x_0$ . Следовательно, приращение аргумента и, как следствие, дифференциал функции совершенно не обязаны быть крошечными величинами. Из-за этого первый вариант ответа категорически неверен.

Для наглядности обратимся к первому рисунку.

Как мы видим, дифференциал выражает приращение линейной аппроксимации функции в заданной точке. В свою очередь, член служит компенсатором, нивелирующим погрешность между графиком функции и ее касательной (линеаризацией). Поэтому четвертый вариант довольно точно передает геометрическую суть дифференциала первого порядка. Заметим, что чем ближе точка расположена к, тем меньше остаточный член и тем сильнее функция локально напоминает прямую — что и отражает определение дифференцируемости.

Многомерный случай

Теперь совершим скачок из одномерного пространства в многомерное. Удивительно, но формулировка дифференцируемости практически не претерпевает изменений. Единственное отличие заключается в том, что теперь является вектором, а умножение между и заменяется на скалярное произведение.

В этом контексте дифференциал функции выражается точно так же, как и в случае с одной переменной: через формулу. Что же это такое? Совершенно верно — это наш пятый вариант ответа! Иными словами, дифференциал предстает в виде линейного оператора, принимающего приращение аргумента и выдающего приращение линейной аппроксимации функции. Строго говоря, в одномерном пространстве мы тоже могли интерпретировать дифференциал как линейный оператор, однако привычка использовать этот термин для размерностей выше единицы укрепилась сильнее.

Но как быть, если функция принципиально не поддается линеаризации? Представьте себе торт, от которого отрезали ровный кусок. Если мы окажемся точно в центре его верхней плоскости, то какую бы касательную плоскость мы ни попытались провести, нам не удастся избежать резкого провала вниз при малейшем шаге в сторону отсутствующего сегмента. Выражаясь математическим языком, в этой центральной точке функция не дифференцируема, и классическое понятие дифференциала здесь неприменимо (к слову, дифференциал в привычном понимании называют дифференциалом Фреше).

Для обхода подобных ограничений вводят понятие дифференциала по направлению (также известного как производная Гато).

Возьмем некоторую точкуи вектор. Дифференциалом функциив точкепо направлению вектора называется величина

$dy(x_0, h) = \frac{dy(x_0 + th)}{dt}|_{t=0}$

В ряде источников дифференциал по направлению отождествляют с производной по направлению. Частная производная — это частный случай такого дифференциала, когда в качестве вектора берется единичный отрезок, направленный вдоль одной из главных осей координат. Обобщая, дифференциал по направлению можно представить как приращение функции, которое мы бы зафиксировали, продвигаясь вдоль прямой, аппроксимирующей функцию в сечении, образованном вектором на расстояние, равное длине этого вектора. Если эта словесная конструкция кажется запутанной, взгляните на рисунок 2 — после него все должно встать на свои места.

Представьте эллиптический параболоид, рассеченный плоскостью, которая параллельна базисным осям аргументов функции . Из точки вдоль указанной плоскости отходит вектор. По вертикальной оси и вектору формируется секущая плоскость, образующая в сечении параболу. Вычисляя стандартный дифференциал вдоль этой параболы, мы и получаем искомый дифференциал по направлению.

Если функция дифференцируема, то оператор по-прежнему выражается через производную — в многомерном случае это градиент. Однако обратное утверждение неверно: само по себе существование градиента $\nabla y$ еще не гарантирует дифференцируемость функции. Более того, даже если во всех направлениях существуют дифференциалы и они равны нулю, это вовсе не значит, что функция дифференцируема. Рассмотрим простой контрпример:

$y(x_1, x_2) = \begin{cases} 1, & \text{если } x_2 = x_1^2 \text{ и } x_1 \neq 0 \\ 0, & \text{иначе} \end{cases}$

Анализируя начало координат (0, 0), нетрудно заметить, что любые дифференциалы по направлениям обращаются в нуль. Следовательно, и $\nabla y = 0$ . Однако в таком случае получалось бы, что, что не соответствует действительности — функция в этой точке не является дифференцируемой.

Дифференциал Фреше в сущности представляет собой частный случай производных по направлениям при условии дифференцируемости функции в точке. Вернемся на мгновение к привычному одномерному случаю: когда мы оперировали символом, мы тоже неявно задавали направления — правда, их было всего два: вдоль оси и против нее. Привычная нам классическая производная — это частный случай дифференциала по направлению единичной оси (в чем нетрудно убедиться самостоятельно).

К какому выводу мы пришли? Дифференциал — это функция двух аргументов! Он зависит как от базовой точки, так и от выбранного направления. Из этого следует, что шестой вариант нашего теста точнее всего раскрывает сущность понятия, поскольку пятое определение справедливо лишь при жестко зафиксированной точке — в противном случае линейность оператора нарушается.

Дифференциал второго порядка

Вот мы и подошли к кульминации нашего повествования. Что же такое второй дифференциал? Недавно я устроил небольшой опрос среди знакомых математиков. Люди они, мягко говоря, далеко не глупые, но практически каждый второй уверенно заявлял: «Очевидно, что это дифференциал, взятый от дифференциала первого порядка». И хотя формально это действительно так, внятно объяснить внутренний смысл или наглядно показать геометрическую интерпретацию этого объекта не смог никто.

Мы выяснили, что дифференциал — это не число, а функция. Раз мы уже умеем брать дифференциал от функции, что мешает проделать ту же процедуру еще раз? Главным препятствием здесь становится вектор. Мы только что установили, что дифференциал зависит от двух переменных, в то время как дифференцировать мы привыкли функции одной переменной (тут стоит сделать оговорку: кто-то возразит, что мы научились работать и в многомерном пространстве, но там переменные разделяются по своему «физическому» смыслу — на начальную точку и направление).

На практике все гораздо проще. Будем рассматривать дифференциал как функцию от одной переменной, зафиксируем некоторое направление и возьмем новый дифференциал вдоль того же вектора.

$d^2y = d(dy) = d(\nabla y dx) = d(\nabla y) dx = dx^T H dx$

Предпоследнее преобразование стало возможным благодаря фиксации (замораживанию) приращения. здесь обозначает матрицу Гессе функции (а в случае одной переменной — обычную вторую производную). Заметим, что при сохранении исходного направления (что типично для разложения в ряды Тейлора), второй дифференциал превращается в квадратичную форму.

Итак, если дифференциал первого порядка отражает приращение функции вдоль вектора, то второй дифференциал демонстрирует, как изменяется сам дифференциал первого порядка при смещении в том же направлении. Посмотрим на следующую анимацию.

Как мы видим, величина остается неизменной, в то время как варьируется в зависимости от перемещения начальной точки.

До этого момента для второго дифференциала мы выбирали тот же самый вектор направления, получая функцию двух переменных — и. Однако ничто не мешает нам зафиксировать первое направление, а для второго дифференциала задать совершенно иной вектор, обозначив его как.

В этом сценарии второй дифференциал превращается в функцию уже трех переменных —,, — и наглядно показывает, как изменится первичный дифференциал (ориентированный вдоль вектора), если точка смещается в направлении вектора.

Если переобозначить вектор в привычный, а в, то запись второго дифференциала примет вид:, что соответствует билинейной форме.

Заключение

Если вы внимательно изучили материал и не встретили для себя ничего принципиально нового, смело причисляйте себя к гуру математического анализа. Ну а если эта статья помогла вам открыть хотя бы одну новую грань привычных понятий, я рад, что потратил время на структурирование собственных знаний. В любом случае, теперь вы по праву можете называть себя знатоком дифференциалов.

Источник