Распределение чисел Мерсенна

Числа Мерсенна определяются формулой М = 2^n − 1, где n — натуральное число. Своим названием они обязаны французскому математику XVII века Марену Мерсенну, который первым начал детально изучать их специфические свойства.

Фундаментальная особенность этих чисел заключается в том, что условие простоты числа М требует, чтобы показатель n также был простым числом (p). Однако обратное утверждение не является безусловным: не для любого простого n число Мерсенна будет простым (к примеру, М(11) = 2047 = 23 × 89).

Ряд начальных простых чисел Мерсенна выглядит следующим образом: М(р) = 3 (при p=2), 7 (3), 31 (5), 127 (7), 8191 (13), 131 071 (17), 524 287 (19), 2 147 483 647 (31), 2 305 843 009 213 693 951 (61) и так далее.

Меня давно интриговал вопрос закономерностей в распределении чисел Мерсенна на простые и составные, а также причины, по которым при определенных простых показателях (11, 23, 29 и др.) они теряют свою простоту.

Чтобы найти ответ, я взглянул на проблему через призму информатики, рассматривая эти числа как элементы, обладающие собственным «идентификатором последовательности». Это позволило внедрить методы «информационной математики» в область классической теории чисел.

Задача свелась к поиску зависимости идентификаторов, разделяющих числа на простые и составные, где n выступает в роли идентификатора числа М(n) = 2^n − 1. В итоге была выявлена закономерность в ряду 2(а^2) − 1, где числа Мерсенна проявляются при а = 2^b (где b — натуральное число).

Для наглядности принципов распределения составных чисел в рамках ряда А(а) = 2(а^2) − 1, предлагаю ознакомиться с таблицей, где сопоставлены идентификаторы (а), значения ряда, их делители и принадлежность к числам Мерсенна.

а	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
А(а) = 2(а^2) –1	1	7	17	31	49	71	97	127	161	199	241	287	337	391	449	511	577
Делители					7*7				7*23			7*41		17*23		7*73
Число Мерсенна		М(3)		М(5)				М(7)								М(9)

а	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
А(а) = 2(а^2) – 1	647	721	799	881	967	1057	1151	1249	1351	1457	1567	1681	1799	1921	2047
Делители		7*103	17*47			7*151			7*193	31*47		41*41	7*257	17*113	23*89
Число Мерсенна															М(11)

Если к идентификатору (а) прибавить значение А(а), мы получим новый идентификатор, соответствующий числу, которое гарантированно будет кратно А(а). Например, для А(2)=7: А(7+2) = А(9) = 161 (делится на 7). Этот циклический процесс повторяется: А(7+7+2) = А(16) = 511 (делится на 7) и так далее.

Аналогично, вычитая идентификатор (а) из А(а) и наращивая результат с шагом А(а), мы обнаруживаем другие кратные значения: А(7-2)=А(5)=49, А(7+7-2)=А(12)=287 — всё это кратно 7.

В общем виде идентификаторы составных чисел ряда можно выразить как s = k·А(а) ± a. Однако существует и более сложная, скрытая структура делителей. Делители составных чисел сами становятся «генераторами» новых составных чисел. К примеру, для А(9)=161 (делитель 23) последующие кратные числа будут возникать с использованием этого делителя.

Для классификации предлагаю ввести понятие уровней делителей: «нулевой» (явные делители, значения ряда А(а)), «первый» (скрытые делители, возникающие из делителей нулевого уровня) и так далее. Это позволяет формализовать поиск составных чисел с помощью алгоритма, который я называю «решето Вдовина».

Применяя этот подход (формула s_n+1 = k_n·А_n ± s_n), мы можем вычислить иерархию делителей А_n+1, последовательно переходя от одного уровня к другому. Математическое обоснование распределения простых и составных чисел в ряду А(а) = 2(а^2) − 1 становится прозрачным через эти рекуррентные связи.

В контексте чисел Мерсенна, которые являются подмножеством ряда А(а) (при а = 2^b), мы наблюдаем, как именно составные числа Мерсенна «наследуют» свои свойства от этих делителей. Например, составное М(11) = 2047 = 23 × 89 формируется скрытым делителем первого уровня, который берет начало от А(9), кратного 7 и 23.

Подводя итог:

1) Междисциплинарный подход позволил расширить инструментарий теории чисел.
2) «Решето Вдовина» предлагает новый, систематизированный метод выявления составных чисел.
3) Мы получили логическое объяснение причин распределения чисел Мерсенна на простые и составные.

Коллеги, предлагаю вам изучить аналогичную возможность применения «решета Вдовина» (s_n+1 = k_n·А_n ± s_n) к числам Ферма, представленным в виде ряда А(а) = (а^2) + 1. Буду рад любой обратной связи по данной теме!

 

Источник