Первая часть 16-й проблемы Гильберта: перебор схем 8-й степени с ограничениями

В этой публикации мне хотелось бы затронуть одну из бесчисленных неразрешённых математических загадок.

Речь пойдёт о знаменитой Шестнадцатой проблеме Гильберта.

Шестнадцатая проблема Ги́льберта — одна из 23 задач, представленных Давидом Гильбертом 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков.

Изначально она именовалась «Проблемой топологии алгебраических кривых и поверхностей». В дальнейшем она фактически разветвилась на два самостоятельных направления в различных математических дисциплинах:

• анализ взаимного расположения овалов вещественных алгебраических кривых n-й степени (и аналогичная задача для алгебраических поверхностей);

• определение верхнего предельного значения для количества предельных циклов полиномиального векторного поля степени n (с изучением их конфигурации).

  Источник:https://ru.wikipedia.org/wiki/Шестнадцатая_проблема_Гильберта

С тех пор над этой темой трудилось множество выдающихся умов. В рамках данного материала мы сфокусируемся исключительно на первой составляющей проблемы. Для начала дадим ключевые определения, чтобы изложение было доступно широкому кругу читателей:

Овал в контексте 16-й проблемы Гильберта представляет собой замкнутую гладкую плоскую кривую, топологически изоморфную окружности. Она не имеет самопересечений и концевых точек. Конфигурации и габариты овалов могут варьироваться. Если один контур целиком охватывается другим, такую структуру именуют вложенным овалам. Ниже представлена иллюстративная схема:

Алгебраическая кривая (или плоская алгебраическая кривая) в базовом понимании задается как множество корней многочлена от двух переменных. Под степенью (порядком) кривой понимают степень соответствующего полинома.

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебраическая_кривая

Кривая называется вещественной, если все коэффициенты определяющего её полинома принадлежат множеству действительных чисел.

Кривую называют неособой (гладкой), если вектор её градиента ни в одной точке не обращается в нулевое значение.

При нарушении данного требования возникают особые точки:

• самопересечение — линия дважды проходит сквозь ту же координату (классический пример — лемниската или «восьмёрка»)

• куспид (острия возвратного типа) — резкий изгиб кривой в противоположном направлении с формированием острого угла

• двойная точка — зона локального «самокасания» контура

Вещественная алгебраическая кривая именуется неприводимой, если её полином не раскладывается на произведение двух многочленов меньших степеней с вещественными коэффициентами. Стоит оговориться, что сам Гильберт жесткого требования неприводимости над полем R в оригинальной постановке не выдвигал.

Ниже приведена поясняющая графическая иллюстрация:

Для систематизации взаимного расположения овальных контурных структур выдающиеся математики В.А. Рохлин [5] и О.Я. Виро [3] предложили специальную нотацию (линейное кодирование деревьев иерархии вложенности):

Символ	Что значит
⟨0⟩	Пустая конфигурация — отсутствие овалов (характерно для чётных порядков)
⟨J⟩	Единственная псевдопрямая — незамкнутая ветвь, уходящая в бесконечность (для нечётных порядков)
⟨1⟩	Одинокий пустой овал (не содержащий внутри себя других)
⟨k⟩	Совокупность из k независимых пустых овалов
⟨1⟨X⟩⟩	Внешний контур, внутри которого развернута подсистема X
⟨k⟨X⟩⟩	Набор из k овалов, каждый из которых охватывает конфигурацию X
⟨X⊔Y⟩	Автономные схемы X и Y, не пересекающиеся и не вложенные друг в друга

Таблица 1. Нотация Виро-Рохлина.

Рассмотрим несколько характерных примеров подобных схем.

⟨1⟩ — единичный овал.

⟨1⟨1⟩⟩ — матрешечная структура: один контур заключен внутри другого.

⟨3⟩ — три обособленных овала без взаимных вложений.

⟨1⟨2⟩⊔8⟩ — базовая оболочка, содержащая пару внутренних овалов, дополненная восемью свободными контурами снаружи (всего 11 элементов).

⟨J⊔1⊔2⟨1⟩⟩— комбинация псевдопрямой, одного обособленного контура и двух овалов, в каждом из которых находится еще по одному элементу. Относится к нечётному семейству (присутствует J).

⟨J⊔1⟨1⊔1⟨4⟩⟩⟩ — псевдопрямая в сочетании со сложным контуром, вмещающим одиночный пустой овал и еще один узел с четырьмя внутренними объектами.

Исчерпывающий разбор нотации Виро-Рохлина доступен в первоисточнике:https://theses.hal.science/tel-04737045/document

Ниже наглядно проиллюстрированы различные вариации подобных схем:

Ознакомившись с терминологической базой, обратимся к уже установленным систематическим достижениям науки.

В 1876 году немецкий математик Аксель Гарнак сформулировал и строго доказал фундаментальную теорему:

Теорема Гарнака о кривых — классическое утверждение алгебраической геометрии, определяющее предельно возможное число связных компонент, которыми способна обладать алгебраическая кривая заданной степени. Для всякой кривой порядка m на вещественной проективной плоскости количество таких компонент c ограничено неравенством:

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Гарнака_о_кривых

Более того, для каждого целого числа c внутри этого интервала гарантированно существует неособая кривая порядка m, обладающая ровно c компонентами.

Систематизация по порядкам кривых:

Для порядков от 1 до 5 исчерпывающая классификация была известна задолго до знаменитого выступления Гильберта — все возможные конфигурации легко перебирались вручную, а рассуждения носили элементарный характер.

Советский математик Д.А. Гудков в 1969 году завершил классификацию для шестой степени, насчитывающую 56 вещественных схем. Среди них обнаружились неожиданные варианты: например, схема ⟨1⊔1⟨9⟩⟩ (один внешний овал, содержащий внутри себя девять других), которую Гильберт в 1900 году считал принципиально невозможной. Как выяснилось, она вполне реализуема. Эти 56 топологических типов распадаются на 64 класса жесткой изотопии. Научная статья с полной систематизацией секстик доступна по ссылке:https://arxiv.org/pdf/1703.01660

В этой работе авторы для каждого типа и класса изотопии представили конкретные аналитические формулы полиномов в явном виде.

Олег Виро в 1980 году опубликовал полную классификацию для седьмой степени, включающую 121 вещественную схему (Источник [3] О. Я. Виро. Кривые степени 7 и склейка Виро // Успехи матем. наук. — 1980. — Т. 35, вып. 1. — С. 93–96.). Ради этого исследования Виро разработал инновационный метод — склейку (patchworking), заложившую фундамент современной тропической геометрии. В другой своей работе (источник [4] О. Я. Виро. Плоские вещественные кривые степеней 7 и 8: новые запреты // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1983. — Т. 47, № 5. — С. 1135–1150.) он вывел критические ограничения для кривых 8-го порядка и сформулировал новые запреты, однако исчерпывающего перечня схем под эти критерии не привел.

Позднее для септик (степень 7) были построены 4 триангуляции, согласующиеся со всеми схемами, хотя таблицы явных многочленов не публиковались (источник [7]: Z. Geiselmann, M. Joswig, L. Kastner et al. Limits of combinatorial patchworking // arXiv:2602.06888). В этой же работе доказано существование таких схем 8-й степени, которые невозможно воспроизвести с помощью вировской склейки, что требует принципиально иных подходов.

В свежем препринте на arXiv за 2026 год (источник [9]:https://arxiv.org/pdf/2604.09221) коллектив из восьми исследователей сконструировал как минимум 2359 реализуемых схем T-кривых (позже планка была поднята до 2367 вариантов, что на сегодня является рекордной известной нижней оценкой, согласно [7]). При этом авторы [7] прямо отмечают, что вне максимальных случаев систематические исследования не проводились.

Для степеней, превышающих 8, ситуация усложняется на порядки, и о полных систематических результатах говорить пока не приходится.

В данной статье мы не ставим целью изобретать революционные методы — это титанический труд даже для признанных экспертов. Вместо этого мы реализуем элементарный алгоритм полного перебора для всех возможных схем 8-й степени с учетом запретов из работы Олега Виро 1983 года (Источник:https://www.researchgate.net/publication/230998196_REAL_PLANE_CURVES_OF_DEGREES_7_AND_8_NEW_PROHIBITIONS). Мы классифицируем их по количеству овалов и типам, получив точное число и исчерпывающий перечень. Подобная задача вполне по силам энтузиасту без академических регалий. Она имеет важнейшее значение для общей систематизации, фактически формируя верхнюю оценку для количества T-кривых.

Описание разработанного алгоритма:

Набор ограничений 2.2А-2.2F заимствован из оригинальной публикации Олега Виро 1983 года.

(Источник:https://www.researchgate.net/publication/230998196_REAL_PLANE_CURVES_OF_DEGREES_7_AND_8_NEW_PROHIBITIONS)

Пусть N — общее количество овалов. Согласно теореме Гарнака, для 8-й степени N варьируется от 0 до 22.

Выделено семь базовых типов схем (в соответствии с ограничением 2.2.А):

• Т1: ⟨α⟩ — α внешних овалов при полном отсутствии вложений

• Т2: ⟨α⊔1⟨β⟩⟩— одиночный внешний овал, содержащий β внутренних

• Т3: ⟨α⊔1⟨β⟩⊔1⟨γ⟩⟩ — два внешних контура с вложениями, причем β≤γ

• Т4: ⟨α⊔1⟨β⟩⊔1⟨γ⟩⊔1⟨δ⟩⟩— три внешних контура с вложениями, где β≤γ≤δ

• Т5: ⟨4⟨1⟩⟩ — фиксированная конфигурация, допустимая лишь при N=8

• Т6: ⟨α⊔1⟨β⊔1⟨γ⟩⟩⟩— каскад вложенных гнезд

• Т7: ⟨1⟨1⟨1⟨1⟩⟩⟩⟩ — цепочка из четырех последовательно вложенных овалов, только при N=4

Алгоритм перечислительного поиска:

1. Для каждого N=0,…,22 и каждого структурного типа Ti (где i=1,…,7) генерируются все комбинации, формально удовлетворяющие условию 2.2.А (что является следствием теоремы Безу).

2. Для случаев N=22 и N=21 задействуется фильтр 2.2.С (модулярные конгруэнции: p−n≡0(mod8) при N=22 и p−n≡±1(mod8) при N=21).

3. При N=22 дополнительно применяется фильтр 2.2.Е (требующий нечетности всех параметров β,γ,δ для типа Т4).

4. Для N=20 активируются фильтр 2.2.D (табу на конфигурацию ⟨20⟩) и фильтр 2.2.F (в типе Т4 при β+γ+δ≡0(mod4) среди параметров β,γ,δ должно быть ровно два нечетных и один четный).

5. Производится строгая проверка на дубликаты: как внутри каждого типа, так и между типами для конкретного N, а также между различными N.

6. Полученные результаты сопоставляются с известными контрольными реперами из научной литературы (104 M-схемы по данным Виро и Оревкова; 40 отсеянных фильтром 2.2.Е; 9 отсеянных фильтром 2.2.F).

7. Формируется исчерпывающий перечень схем для каждого N, структурированный по типам и шаблонам, а также сводная таблица.

   В качестве иллюстрации приведем результаты работы алгоритма для N=3:

   — Тип 1: ⟨α⟩ — α изолированных овалов — Расчетная формула: α = 3

   1. ⟨3⟩

   — Тип 2: ⟨α ⊔ 1⟨β⟩⟩ — α изолированных + 1 гнездо (1 внешний + β внутренних) — Расчетная формула: α + 1 + β = 3, β ≥ 1

   1. ⟨1⟨2⟩⟩

   2. ⟨1 ⊔ 1⟨1⟩⟩

   — Тип 3: ⟨α ⊔ 1⟨β⟩ ⊔ 1⟨γ⟩⟩ — α изолированных + 2 гнезда — Расчетная формула: α + β + γ + 2 = 3, 1 ≤ β ≤ γ

   (для данного n схемы отсутствуют)

   — Тип 4: ⟨α ⊔ 1⟨β⟩ ⊔ 1⟨γ⟩ ⊔ 1⟨δ⟩⟩ — α изолированных + 3 гнезда — Расчетная формула: α + β + γ + δ + 3 = 3, 1 ≤ β ≤ γ ≤ δ

   (для данного n схемы отсутствуют)

   — Тип 5: ⟨4⟨1⟩⟩ — 4 гнезда по 1 овала (актуально только для n=8) — Расчетная формула: всегда 8 овалов

   (для данного n схемы отсутствуют)

   — Тип 6: ⟨α ⊔ 1⟨β ⊔ 1⟨γ⟩⟩⟩ — α изолированных + 1 вложенное гнездо — Расчетная формула: α + β + γ + 2 = 3, γ ≥ 1, β ≥ 0

   1. ⟨1⟨1⟨1⟩⟩⟩

   — Тип 7: ⟨1⟨1⟨1⟨1⟩⟩⟩⟩ — 4 вложенных овала (только для n=4) — Расчетная формула: всегда 4 овала

   (для данного n схемы отсутствуют)

   ============================================================ Суммарное количество схем: 4

На базе описанной логики был написан скрипт на языке Python, выполнивший полный перебор. Исходный код программы, полный каталог конфигураций и ранжирование по количеству овалов опубликованы в открытом репозитории на GitVerse: https://gitverse.ru/mshshukin2005/real-schemes-degree8

Процедура перебора позволила установить верхнюю границу на уровне 2926 формально разрешенных схем. Примечательно, что показатель 104 для N=22 идеально совпал с результатами Олега Виро, что служит весомым подтверждением корректности написанного алгоритма и достоверности общего счета.

Важное примечание! В процессе генерации я опирался исключительно на ограничения 2.2A–2.2F, не привлекая никаких дополнительных условий и не вводя собственных запретов, вытекающих из трудов более поздних исследователей. Следовательно, полученный результат является абсолютной верхней оценкой.

Заключение:

Таким образом, данная работа носит сугубо вычислительный и технический характер и не претендует на глобальные научные открытия. Все задействованные теоретические положения были известны специалистам еще с 1983 года.

Сам алгоритм перебора устроен довольно просто, интуитивно понятен даже тем, кто далек от проблематики 16-й задачи Гильберта, и легко реализуем. Его можно рассматривать как отличный практический кейс по программированию древовидных структур на любом языке. Все дальнейшие выкладки сводятся к базовым комбинаторным и арифметическим операциям.

Автор не имеет профильного академического образования по физико-математическому профилю и не позиционирует себя как профессионального математика. Тем не менее, в случае отсутствия более ранних аналогичных публикаций полного перебора схем 8-й степени, данный проект фиксирует приоритет автора в этом вопросе. Из-за сжатых сроков подготовки статьи автор приносит извинения за возможные шероховатости в библиографии и мелкие погрешности.

Логичным продолжением начатой работы по полной систематизации кривых 8-го порядка должно стать построение явных уравнений полиномов для каждой схемы из полученного списка либо строгой доказательство ее нереализуемости. Частично эта задача уже решается в научной среде (например, в упомянутой работе [7]), однако исчерпывающей классификации пока не создано.

Список литературы

[1] Д. Гильберт. Математические проблемы // Труды Международного конгресса математиков. — М.: Наука, 1901. — С. 253–297.

[2] Д. А. Гудков. Топология вещественных плоских алгебраических кривых шестой степени // Докл. АН СССР. — 1969. — Т. 188, № 1. — С. 27–30.

[3] О. Я. Виро. Кривые степени 7 и склейка Виро // Успехи матем. наук. — 1980. — Т. 35, вып. 1. — С. 93–96.

[4] О. Я. Виро. Плоские вещественные кривые степеней 7 и 8: новые запреты // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1983. — Т. 47, № 5. — С. 1135–1150.

[5] В. А. Рохлин. Сравнения по модулю 16 в 16-й проблеме Гильберта // Успехи матем. наук. — 1978. — Т. 33, вып. 5. — С. 77–89.

[6] S. Yu. Orevkov. Flexible M-curves of degree 8 // Geom. Funct. Anal. — 2002. — Vol. 12, no. 4. — P. 723–755.

[7] Z. Geiselmann, M. Joswig, L. Kastner et al. Limits of combinatorial patchworking // arXiv:2602.06888 [math.AG]. — 2026.

[8] OEIS Foundation Inc. Entry A001399: Number of partitions of n into at most 3 parts [Электронный ресурс] // The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

[9] Z. Geiselmann, M. Joswig, L. Kastner et al. Fast isotopy computation for T-curves // arXiv:2604.09221 [math.AG]. — 2026. https://arxiv.org/pdf/2604.09221

 

Источник