где q – заряд частицы, rij – расстояние между частицами, С – некоторая постоянная, зависящая от выбора единиц измерения. В системе СИ это — , в СГС — 1, в моей программе (где энергия выражена в электронвольтах, расстояние в ангстремах, а заряд в элементарных зарядах) C примерно равно 14.3996.
Ну и что, скажете вы? Просто добавим соответствующее слагаемое в парный потенциал и готово. Однако, чаще всего в МД моделировании используют периодические граничные условия, т.е. моделируемая система со всех сторон окружена бесконечным количеством её виртуальных копий. В этом случае каждый виртуальный образ нашей системы будет взаимодействовать со всеми заряженными частицами внутри системы по закону Кулона. А поскольку Кулоновское взаимодействие убывает с расстоянием очень слабо (как 1/r), то отмахнуться от него так просто нельзя, сказав, что с такого-то расстояния мы его не вычисляем. Ряд вида 1/x расходится, т.е. его сумма, в принципе, может расти до бесконечности. И что же теперь, миску супа не солить? Убьёт электричеством?
…можно не только солить суп, но и посчитать энергию Кулоновского взаимодействия в периодических граничных условиях. Такой метод был предложен Эвальдом ещё в 1921 году для расчета энергии ионного кристалла (можно также посмотреть в википедии). Суть метода заключатся в экранировании точечных зарядов и последующим вычетом функции экранирования. При этом часть электростатического взаимодействия сводится к короткойдействующему и его можно просто обрезать стандартным способом. Оставшаяся дальнодействующая часть эффективно суммируется в пространстве Фурье. Опуская вывод, который можно посмотреть в статье Блинова или в той же книге Френкеля и Смита сразу запишу решение, называемое суммой Эвальда:
где α – параметр, регулирующий соотношение вычислений в прямом и обратном пространствах, k – вектора в обратном пространстве по которым идёт суммирование, V – объём системы (в прямом пространстве). Первая часть (Ereal) является короткодействующей и вычисляется в том же цикле, что и другие парные потенциалы, смотри функцию real_ewald в предыдущей статье. Последний вклад (Eсonst) является поправкой на самовзаимодействие и часто называется «постоянной частью», поскольку не зависит от координат частиц. Её вычисление тривиально, поэтому мы остановимся только на второй части Эвальдовой суммы (Erec), суммировании в обратном пространстве. Естественно, во времена вывода Эвальда молекулярной динамики не было, кто впервые использовал этот метод в МД найти мне не удалось. Сейчас любая книга по МД содержит его изложение как некий золотой стандарт. К книге Аллена даже прилагается пример кода на фортране. К счастью, у меня остался код, написанный когда-то на С для последовательной версии, осталось только его распараллелить (я позволил себе опустить некоторые объявления переменных и другие несущественные детали):
void ewald_rec()
{
int mmin = 0;
int nmin = 1;
// массивы где хранятся iexp(x[i] * kx[l]),
double** elc;
double** els;
//... iexp(y[i] * ky[m]) и
double** emc;
double** ems;
//... iexp(z[i] * kz[n]),
double** enc;
double** ens;
// временные массивы для произведений iexp(x*kx)*iexp(y*ky)
double* lmc;
double* lms;
// и для q[i] * iexp(x*kx)*iexp(y*ky)*iexp(z*kz)
double* ckc;
double* cks;
// ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАПОЛНЕНИЕ МАССИВОВ
eng = 0.0;
for (i = 0; i < Nat; i++) // цикл по атомам
{
// emc/s[i][0] и enc/s[i][0] уже заполнены на этапе инициализации
// в массив elc/s нужно обновить, см. далее
elc[i][0] = 1.0;
els[i][0] = 0.0;
// iexp(kr)
sincos(twopi * xs[i] * ra, els[i][1], elc[i][1]);
sincos(twopi * ys[i] * rb, ems[i][1], emc[i][1]);
sincos(twopi * zs[i] * rc, ens[i][1], enc[i][1]);
}
// заполняем следующие элементы массива emc/s[i][l] = iexp(y[i]*ky[l]) итеративно, используя комплексное умножение
for (l = 2; l < ky; l++)
for (i = 0; i < Nat; i++)
{
emc[i][l] = emc[i][l - 1] * emc[i][1] - ems[i][l - 1] * ems[i][1];
ems[i][l] = ems[i][l - 1] * emc[i][1] + emc[i][l - 1] * ems[i][1];
}
// заполняем следующие элементы массива enc/s[i][l] = iexp(z[i]*kz[l]) итеративно, используя комплексное умножение
for (l = 2; l < kz; l++)
for (i = 0; i < Nat; i++)
{
enc[i][l] = enc[i][l - 1] * enc[i][1] - ens[i][l - 1] * ens[i][1];
ens[i][l] = ens[i][l - 1] * enc[i][1] + enc[i][l - 1] * ens[i][1];
}
// ГЛАВНЫЙ ЦИКЛ ПО ВСЕМ K-ВЕКТОРАМ:
for (l = 0; l < kx; l++)
{
rkx = l * twopi * ra;
// записываем exp(ikx[l]) в ikx[0] для сохранения памяти
if (l == 1)
for (i = 0; i < Nat; i++)
{
elc[i][0] = elc[i][1];
els[i][0] = els[i][1];
}
else if (l > 1)
for (i = 0; i < Nat; i++)
{
// iexp(kx[0]) = iexp(kx[0]) * iexp(kx[1])
x = elc[i][0];
elc[i][0] = x * elc[i][1] - els[i][0] * els[i][1];
els[i][0] = els[i][0] * elc[i][1] + x * els[i][1];
}
for (m = mmin; m < ky; m++)
{
rky = m * twopi * rb;
// заполняем временный массив произведением iexp(kx*x[i]) * iexp(ky*y[i])
if (m >= 0)
for (i = 0; i < Nat; i++)
{
lmc[i] = elc[i][0] * emc[i][m] - els[i][0] * ems[i][m];
lms[i] = els[i][0] * emc[i][m] + ems[i][m] * elc[i][0];
}
else // для отрицательных значений m используем комплексное сопряжение:
for (i = 0; i < Nat; i++)
{
lmc[i] = elc[i][0] * emc[i][-m] + els[i][0] * ems[i][-m];
lms[i] = els[i][0] * emc[i][-m] - ems[i][-m] * elc[i][0];
}
for (n = nmin; n < kz; n++)
{
rkz = n * twopi * rc;
rk2 = rkx * rkx + rky * rky + rkz * rkz;
if (rk2 < rkcut2) // используем радиус обрезания
{
// вычисляем сумму (q[i]*iexp(kr[k]*r[i])) - зарядовую плотность
sumC = 0; sumS = 0;
if (n >= 0)
for (i = 0; i < Nat; i++)
{
//считываем заряд частицы
ch = charges[types[i]].charge;
ckc[i] = ch * (lmc[i] * enc[i][n] - lms[i] * ens[i][n]);
cks[i] = ch * (lms[i] * enc[i][n] + lmc[i] * ens[i][n]);
sumC += ckc[i];
sumS += cks[i];
}
else // для отрицательных индексов используем комплексное сопряжение:
for (i = 0; i < Nat; i++)
{
//считываем заряд частицы
ch = charges[types[i]].charge;
ckc[i] = ch * (lmc[i] * enc[i][-n] + lms[i] * ens[i][-n]);
cks[i] = ch * (lms[i] * enc[i][-n] - lmc[i] * ens[i][-n]);
sumC += ckc[i];
sumS += cks[i];
}
//наконец вычисляем энергию и силы
akk = exp(rk2 * elec->mr4a2) / rk2;
eng += akk * (sumC * sumC + sumS * sumS);
for (i = 0; i < Nat; i++)
{
x = akk * (cks[i] * sumC - ckc[i] * sumS) * C * twopi * 2 * rvol;
fxs[i] += rkx * x;
fys[i] += rky * x;
fzs[i] += rkz * x;
}
}
} // end n-loop (over kz-vectors)
nmin = 1 - kz;
} // end m-loop (over ky-vectors)
mmin = 1 - ky;
} // end l-loop (over kx-vectors)
engElec2 = eng * С * twopi * rvol;
}
Пара пояснений к коду: функция считает комплексную экспоненту (в комментариях к коду она обозначена iexp, чтобы убрать мнимую единицу из скобок) от векторного произведения k-вектора на радиус-вектор частицы для всех k-векторов и для всех частиц. Эта экспонента домножается на заряд частицы. Далее вычисляется сумма таких произведений по всем частицам (внутренняя сумма в формуле для Erec), у Френкеля она называется зарядовой плотностью, а у Блинова — структурным фактором. Ну а далее, на основании этих структурных факторов вычисляется энергия и силы, действующие на частицы. Компоненты k-векторов (2π*l/a, 2π*m/b, 2π*n/c) характеризуются тройкой целых чисел l, m и n, которые и пробегаются в циклах до заданных пользователем пределов. Параметры a, b и c – это размеры моделируемой системы в измерениях x, y и z соответственно (вывод верен для системы с геометрией прямоугольного параллелепипеда). В коде 1/a, 1/b и 1/с соответствуют переменным ra, rb и rc. Массивы под каждую величину представлены в двух экземплярах: под действительную и мнимую части. Каждый следующий k-вектор в одном измерении получается итеративно из предыдущего путем комплексного умножения предыдущего на единичный, чтобы каждый раз не считать синус с косинусом. Массивы emc/s и enc/s заполняются для всех m и n, соответственно, а массив elc/s значение для каждого l>1 помещает в нулевой индекс по l в целях экономии памяти.
В целях распараллеливания выгодно «вывернуть» порядок циклов так, чтобы внешний цикл пробегался по частицам. И тут мы видим проблему – распараллелить эту функцию можно только до вычисления суммы по всем частицам (зарядовой плотности). Дальнейшие вычисления опираются на эту сумму, а она будет рассчитана только когда все потоки закончат работу, поэтому придётся разбить эту функцию на две. Первая вычисляет считает зарядовую плотность, а вторая – энергию и силы. Замечу, что во второй функции снова потребуется величина qiiexp(kr) для каждой частицы и для каждого k-вектора, вычисленная на предыдущем этапе. И тут есть два подхода: либо пересчитать её заново, либо запомнить. Первый вариант требует больше времени, второй – больше памяти (количество частиц * количество k-векторов * sizeof(float2)). Я остановился на втором варианте:
__global__ void recip_ewald(int atPerBlock, int atPerThread, cudaMD* md)
// calculate reciprocal part of Ewald summ
// the first part : summ (qiexp(kr)) evaluation
{
int i; // for atom loop
int ik; // index of k-vector
int l, m, n;
int mmin = 0;
int nmin = 1;
float tmp, ch;
float rkx, rky, rkz, rk2; // component of rk-vectors
int nkx = md->nk.x;
int nky = md->nk.y;
int nkz = md->nk.z;
// arrays for keeping iexp(k*r) Re and Im part
float2 el[2];
float2 em[NKVEC_MX];
float2 en[NKVEC_MX];
float2 sums[NTOTKVEC]; // summ (q iexp (k*r)) for each k
extern __shared__ float2 sh_sums[]; // the same in shared memory
float2 lm; // temp var for keeping el*em
float2 ck; // temp var for keeping q * el * em * en (q iexp (kr))
// invert length of box cell
float ra = md->revLeng.x;
float rb = md->revLeng.y;
float rc = md->revLeng.z;
if (threadIdx.x == 0)
for (i = 0; i < md->nKvec; i++)
sh_sums[i] = make_float2(0.0f, 0.0f);
__syncthreads();
for (i = 0; i < md->nKvec; i++)
sums[i] = make_float2(0.0f, 0.0f);
int id0 = blockIdx.x * atPerBlock + threadIdx.x * atPerThread;
int N = min(id0 + atPerThread, md->nAt);
ik = 0;
for (i = id0; i < N; i++)
{
// save charge
ch = md->specs[md->types[i]].charge;
el[0] = make_float2(1.0f, 0.0f); // .x - real part (or cos) .y - imagine part (or sin)
em[0] = make_float2(1.0f, 0.0f);
en[0] = make_float2(1.0f, 0.0f);
// iexp (ikr)
sincos(d_2pi * md->xyz[i].x * ra, &(el[1].y), &(el[1].x));
sincos(d_2pi * md->xyz[i].y * rb, &(em[1].y), &(em[1].x));
sincos(d_2pi * md->xyz[i].z * rc, &(en[1].y), &(en[1].x));
// fil exp(iky) array by complex multiplication
for (l = 2; l < nky; l++)
{
em[l].x = em[l - 1].x * em[1].x - em[l - 1].y * em[1].y;
em[l].y = em[l - 1].y * em[1].x + em[l - 1].x * em[1].y;
}
// fil exp(ikz) array by complex multiplication
for (l = 2; l < nkz; l++)
{
en[l].x = en[l - 1].x * en[1].x - en[l - 1].y * en[1].y;
en[l].y = en[l - 1].y * en[1].x + en[l - 1].x * en[1].y;
}
// MAIN LOOP OVER K-VECTORS:
for (l = 0; l < nkx; l++)
{
rkx = l * d_2pi * ra;
// move exp(ikx[l]) to ikx[0] for memory saving (ikx[i>1] are not used)
if (l == 1)
el[0] = el[1];
else if (l > 1)
{
// exp(ikx[0]) = exp(ikx[0]) * exp(ikx[1])
tmp = el[0].x;
el[0].x = tmp * el[1].x - el[0].y * el[1].y;
el[0].y = el[0].y * el[1].x + tmp * el[1].y;
}
//ky - loop:
for (m = mmin; m < nky; m++)
{
rky = m * d_2pi * rb;
//set temporary variable lm = e^ikx * e^iky
if (m >= 0)
{
lm.x = el[0].x * em[m].x - el[0].y * em[m].y;
lm.y = el[0].y * em[m].x + em[m].y * el[0].x;
}
else // for negative ky give complex adjustment to positive ky:
{
lm.x = el[0].x * em[-m].x + el[0].y * em[-m].y;
lm.y = el[0].y * em[-m].x - em[-m].x * el[0].x;
}
//kz - loop:
for (n = nmin; n < nkz; n++)
{
rkz = n * d_2pi * rc;
rk2 = rkx * rkx + rky * rky + rkz * rkz;
if (rk2 < md->rKcut2) // cutoff
{
// calculate summ[q iexp(kr)] (local part)
if (n >= 0)
{
ck.x = ch * (lm.x * en[n].x - lm.y * en[n].y);
ck.y = ch * (lm.y * en[n].x + lm.x * en[n].y);
}
else // for negative kz give complex adjustment to positive kz:
{
ck.x = ch * (lm.x * en[-n].x + lm.y * en[-n].y);
ck.y = ch * (lm.y * en[-n].x - lm.x * en[-n].y);
}
sums[ik].x += ck.x;
sums[ik].y += ck.y;
// save qiexp(kr) for each k for each atom:
md->qiexp[i][ik] = ck;
ik++;
}
} // end n-loop (over kz-vectors)
nmin = 1 - nkz;
} // end m-loop (over ky-vectors)
mmin = 1 - nky;
} // end l-loop (over kx-vectors)
} // end loop by atoms
// save sum into shared memory
for (i = 0; i < md->nKvec; i++)
{
atomicAdd(&(sh_sums[i].x), sums[i].x);
atomicAdd(&(sh_sums[i].y), sums[i].y);
}
__syncthreads();
//...and to global
int step = ceil((double)md->nKvec / (double)blockDim.x);
id0 = threadIdx.x * step;
N = min(id0 + step, md->nKvec);
for (i = id0; i < N; i++)
{
atomicAdd(&(md->qDens[i].x), sh_sums[i].x);
atomicAdd(&(md->qDens[i].y), sh_sums[i].y);
}
}
// end 'ewald_rec' function
__global__ void ewald_force(int atPerBlock, int atPerThread, cudaMD* md)
// calculate reciprocal part of Ewald summ
// the second part : enegy and forces
{
int i; // for atom loop
int ik; // index of k-vector
float tmp;
// accumulator for force components
float3 force;
// constant factors for energy and force
float eScale = md->ewEscale;
float fScale = md->ewFscale;
int id0 = blockIdx.x * atPerBlock + threadIdx.x * atPerThread;
int N = min(id0 + atPerThread, md->nAt);
for (i = id0; i < N; i++)
{
force = make_float3(0.0f, 0.0f, 0.0f);
// summ by k-vectors
for (ik = 0; ik < md->nKvec; ik++)
{
tmp = fScale * md->exprk2[ik] * (md->qiexp[i][ik].y * md->qDens[ik].x - md->qiexp[i][ik].x * md->qDens[ik].y);
force.x += tmp * md->rk[ik].x;
force.y += tmp * md->rk[ik].y;
force.z += tmp * md->rk[ik].z;
}
md->frs[i].x += force.x;
md->frs[i].y += force.y;
md->frs[i].z += force.z;
} // end loop by atoms
// one block calculate energy
if (blockIdx.x == 0)
if (threadIdx.x == 0)
{
for (ik = 0; ik < md->nKvec; ik++)
md->engCoul2 += eScale * md->exprk2[ik] * (md->qDens[ik].x * md->qDens[ik].x + md->qDens[ik].y * md->qDens[ik].y);
}
}
// end 'ewald_force' function
Надеюсь, вы мне простите, что я оставил комментарии на английском, код практически повторяет последовательную версию. Код даже стал читабельнее за счет того, что массивы потеряли одно измерение: elc/s[i][l], emc/s[i][m] и enc/s[i][n] превратились в одномерные el, em и en, массивы lmc/s и ckc/s – в переменные lm и ck (пропала мерность по частицам, поскольку отпала необходимость хранить это для каждой частицы, промежуточный результат накапливается в shared memory). К сожалению, тут же возникла и проблема: массивы em и en пришлось задать статическими, чтобы не использовать глобальную память и не выделять память динамически каждый раз. Количество элементов в них определяется директивой NKVEC_MX (максимальное количество k-векторов по одному измерению) на этапе компиляции, а runtime используются только первые nky/z элементов. Кроме того, появился сквозной индекс по всем k-векторам и аналогичная директива, ограничивающая общее количество этих векторов NTOTKVEC. Проблема возникнет, если пользователю понадобится больше k-векторов, чем определено директивами. Для вычисления энергии предусмотрен блок с нулевым индексом, поскольку неважно какой именно блок выполнит этот расчет и в каком порядке. Тут может быть надо было использовать готовые функции FFT, раз уж метод основан на нём, но я так и не сообразил, как это сделать.
Ну а теперь попробуем что-нибудь посчитать, да тот же содиум хлорайд. Возьмём 2 тысячи ионов натрия и столько же хлора. Заряды зададим целыми, а парные потенциалы возьмём, например, из этой работы. Стартовую конфигурацию зададим случайно и слегка перемешаем её, рисунок 2а. Объём системы выберем так, чтобы он соответствовал плотности поваренной соли при комнатной температуре (2,165 г/см3). Запустим все это на небольшое время (10’000 шагов по 5 фемтосекунд) с наивным учетом электростатики по закону Кулона и используя суммирование по Эвальду. Результирующие конфигурации приведены на рисунках 2б и 2в, соответственно. Вроде бы в случае с Эвальдом система чуть больше упорядочилась чем без него. Важно также, что флуктуации полной энергии с применением суммирования существенно уменьшились.
Рисунок 2. Начальная конфигурация системы NaCl (a) и после 10’000 шагов интегрирования: наивным способом (б) и со схемой Эвальда (в).
Вместо заключения
Замечу, что структура, получаемая на рисунке, не соответствует кристаллической решетки NaCl, а скорее – решетке ZnS, но это уже претензия к парным потенциалам. Учет же электростатики очень важен для молекулярно-динамического моделирования. Считается, что именно электростатическое взаимодействие ответственно за образование кристаллических решёток, поскольку действует на больших расстояниях. Правда с этой позиции сложно объяснить как при охлаждении кристаллизуются такие вещества как аргон.
Кроме упомянутого метода Эвальда, есть ещё и другие способы учета электростатики, смотрите, например, этот обзор.
