Нечёткая математика. Отношения и волчьи хвосты

Характеристики

Далее будет подразумеваться $$ — нечёткие бинарные отношения в $$

Носителем нечёткого отношения $$ на множестве $$ называется такое подмножество декартова произведения $$:

$$ содержится в нечётком отношении $$, если

$$

Первая проекция (просто проекция) нечёткого бинарного отношения определяется функцией принадлежности:

$$

Вторая проекция определяется как:

$$

Глобальная проекция нечёткого множества $$ есть вторая проекция первой проекции или наоборот:

$$

Отношение нормально, если $$, иначе — субнормально.

Дополнением нечёткого отношения $$ является такой $$, что:

$$

Чётким отношением, близким к нечёткому $$ называют такое чёткое отношение $$ называют такое отношение $$, что $$ Матрица отношения $$ в таком случае будет транспонированной матрицей $$.

Операции

Объединение и пересечение:

$$

. Множество всех нечётких отношений образует дистрибутивную решётку по отношению к операциям объединения и пересечения; и из выполнения тождеств идемпотенции, коммутативности, ассоциативности, поглощения и дистрибутивности для решётки $$ следует выполнение этих тождеств для всех отношений.

В логике, основанной на теории обычных множеств, высказывание вроде «числа x и y очень близкие или/и очень различные» должно быть сокращено до «числа x и y очень близкие или очень различные». Однако в теории нечётких множеств первое высказывание вполне логично; оно выражает тот факт, что связка «и» интерпретируема при очень малых значениях функции принадлежности, когда об x и y нельзя сказать ни что они очень близки, ни что они очень отличаются друг от друга. Этот пример хорошо иллюстрирует гибкость высказываний, присущую настоящей логике.

Алгебраическое произведение: $$; алгебраическая сумма: $$.

Как и в случае нечётких множеств, нечёткое отношение можно декомпозировать на специальным образом устроенную систему обычных отношений и наоборот. Такая декомпозиция и синтез производится с помощью подмножеств $$-уровня нечёткого отношения. Это может помочь в прикладных задачах, выручает при доказательстве теорем и экономит в некоторых ситуациях вычислительные ресурсы машин. Подмножеством альфа-уровня называется обычное подмножество $$. Достаточно очевидно, что $$.

С этим связано одно очень важное утверждение (формально теорема) о декомпозиции. Любое отношение $$ можно представить в форме $$.

Композиция отношений

Важное значение в теории нечётких множеств имеет композиция нечётких отношений. Как и в случае с действиями с НМ, композицию можно определить многими способами. Одним из наиболее общих способов является (Max-*)-композиция. Однако, здесь я рассмотрю лишь 3 наиболее употребляемые.

1. max-min композиция (максиминная композиция): $$. Наиболее часто используется.
2. min-max композиция (минимаксная композиция): $$.
3. max-• композиция (максимультипликативная композиция): $$.

Свойства

Среди множества отношений выделяют особые классы. Классы множеств демаркируют свойствами:

Рефлексивность:$$;

Слабая рефлексивность: $$;

Сильная рефлексивность: $$;

Антиреflexxивность: $$;

Симметричность: $$;

Антисимметричность: $$;

Совершенная антисимметричность: $$.

… На самом деле эти и остальная куча классов нужны для вывода специфичных для конкретного класса теорем. Не вижу смысла рассматривать их подробно здесь.

Пробный пример

Пусть в гипотетической игре имеются 2 NPC-квестодателя, назовём их $$ и $$. Каждый из них требует, чтобы вы принесли ему волчьи хвосты. Из разговоров других NPC игрок узнаёт стратегии приёма предметов каждого из квестодателей:

$$ Если хвостов мало, то вероятность сдачи квеста малая, иначе не малая.

$$ Если хвостов не мало, то вероятность сдачи квеста большая, иначе — небольшая.

По условиям задачи, игроку из разговоров местных жителей также известны некоторые понятия, используемые в стратегиях:

«Мало волчьих хвостов» $$

«Малая вероятность» $$

«Большая вероятность» $$

Игрок в инвентаре персонажа после долгого гринда имеет не очень мало волчьих хвостов. Вопрос: у какого из двух NPC большая вероятность закрыть квест?

Решение

Для начала определим вспомогательные функции, которые могут понадобиться в связи с условием:

def very(arr: List[set]):
    return [(elem[0]**2, elem[1]) for elem in arr]


def no(arr: List[set]):
    return [(1 - elem[0], elem[1]) for elem in arr]


def attitude(a: List[set], b: List[set], func = lambda x, y: min(x, y)):
    return [[func(i[0], j[0]) for j in b] for i in a]


def attitude_unite(a: List[List], b: List[List]):
    return [[max(a[i][j], b[i][j]) for j in range(len(a[i]))] for i in range(len(a))]


def composition(a: List[List], b: List[List]):
    result = [[0 for j in range(len(b[0]))] for i in range(len(a))]

    for x in range(len(a)):
        for z in range(len(b[0])):
            maximum = min(a[x][0], b[0][z])

            for y in range(0, len(a[0])):
                if maximum < min(a[x][y], b[y][z]):
                    maximum = min(a[x][y], b[y][z])
            
            result[x][z] = maximum

    return result


def index_plus(a: List[List]):
    maximum = max([elem[1] for elem in a])
    result = 0
    for i in range(len(a)):
        result += a[i][0] * (a[i][1] + maximum) / 2

    return result


def ranking_index(a: List[List], b: List[List]):
    return index_plus(a) - index_plus(b)

В качестве нечётких множеств используются списки кортежей, в качестве матриц — списки строк-списков. Все функции должны быть понятны и знакомы, за исключением, вполне вероятно, index_plus и ranking_index. Эти две функции реализуют индекс ранжирования для двух нечётких множеств. В общем виде этот индекс ранжирования (используемый в данной статье; на самом деле индекс ранжирования нечётких множеств может быть определён иначе, это отдельная тема для статей и исследований) выглядит так:

$$

$$ и $$ — нечёткие множества. Начнём решение. Для начала следует определить используемые нечёткие величины и отношения:

A = [(0.8, 3), (0.4, 15), (0.3, 30)]
B = [(0.1, 0.9), (0.5, 0.5), (0.8, 0.1)]
C = [(0.8, 0.9), (0.5, 0.5), (0.3, 0.2)]

Пусть $$ — «не очень мало». $\$inline\$"Не\; очень\; мало"\; =\; overline\{"очень\; мало"\}\; =\; overline\{CON("очень")\}.\$inline\$$ Для нужд последующих вычислений преобразуем полученный результат к матрице 1 на 3 только со значением функции принадлежности в ячейках:

x = no(very(A))
x = [[elem[0] for elem in x]]

Обозначим общую стратегию NPC $$ переменной R1. Из условия $$:

AonB = attitude(A, B)
notAonnotB = attitude(no(A), no(B))
R1 = attitude_unite(AonB, notAonnotB)

В итоге рассчитаем вектор $$, полученный композицией входного вектора (количества хвостов) с отношением $$.

y1 = composition(x, R1)
print('y1 = ', y1)
# >> y1 =  [[0.63, 0.3599999999999999, 0.3599999999999999]]

Те же процедуры соответственно выполним для второго квестодателя:

notAonC = attitude(no(A), C)
AonnotC = attitude(A, no(C))
R2 = attitude_unite(notAonC, AonnotC)
y2 = composition(x, R2)
print('y2 = ', y2)
# >> y2 =  [[0.5599999999999999, 0.3599999999999999, 0.3599999999999999]]

Восстановим из полученных векторов $$ и $$ нечёткие множества с соответствующими им значениями вероятности:

y1 = [(y1[0][i], B[i][1]) for i in range(len(y1[0]))]
y2 = [(y2[0][i], C[i][1]) for i in range(len(y2[0]))]

Теперь у нас есть возможность посчитать индекс ранжирования для этих двух векторов и узнать приоритетного для сдачи игроком квеста NPC:

print('index = ', ranking_index(y1, y2))
# >> index =  -0.020000000000000018

Малое отрицательное значение указывает на то, что $$ более лояльно примет предметы и с большей вероятностью засчитает квест для игрока, нежели $$.

А на сегодня всё.