Книга «Теоретический минимум. Все, что нужно знать о современной физике»

Лекция 9. Фазовая жидкость и теорема Гиббса—Лиувилля

Ленни любил смотреть на реку, особенно следить за мелкими соринками, плывущими по поверхности. Он пытался представить себе, как они будут двигаться между камнями или попадая в водовороты. Но течение реки как целого — совокупное движение большого объема воды, с разделяющимися, сходящимися и обгоняющими друг друга потоками, — это было за пределами его понимания.

Фазовая жидкость

Сконцентрироваться на конкретных начальных условиях и следить за отдельной траекторией в фазовом пространстве — это очень естественно для классической механики. Но есть и более широкий взгляд, который охватывает целое семейство траекторий. Вместо того чтобы помещать кончик карандаша в некую точку фазового пространства и прослеживать оттуда единственную траекторию, попытаемся сделать нечто более амбициозное. Представим, что у нас бесконечное число карандашей, и используем их так, чтобы однородно заполнить точками фазовое пространство (под однородностью я имею в виду то, что плотность точек в пространстве q, p везде одинакова). Считайте эти точки частицами, составляющими воображаемую жидкость, заполняющую фазовое пространство.

Пусть теперь каждая точка перемещается согласно гамильтоновым уравнениям движения:


чтобы наша жидкость бесконечно текла по фазовому пространству.

Гармонический осциллятор — хороший начальный пример. В лекции 8 мы видели, что каждая точка движется по круговой орбите с постоянной угловой скоростью. (Напомню, что мы говорим о фазовом, а не о координатном пространстве. В координатном осциллятор движется взад и вперед в одном измерении.) Вся жидкость в целом совершает твердотельное движение, равномерно вращаясь вокруг начала координат фазового пространства.

Теперь вернемся к общему случаю. Если число координат равно N, то фазовое пространство и жидкость в нем 2N-мерные. Жидкость течет, но весьма специ­фическим образом. У ее потока есть особые свойства. Одно из них состоит в том, что если точка стартует с определенной энергией — то есть при заданном значении H(q, p), — то она сохраняет это значение энергии. Поверхности постоянной энергии (например, с энергией равной E) определяются уравнением H(q, p) = E. (2)

Для каждого значения E у нас есть одно уравнение с 2N переменными фазового пространства, которое определяет поверхность размерностью 2N – 1. Другими словами, для каждого значения E имеется своя поверхность; когда вы пробегаетесь по всем значениям E, эти поверхности заполняют все фазовое пространство. Можно рассматривать фазовое пространство с поверхностями, заданными уравнением (2), как карту изолиний (рис. 1), на которой горизонтали представляют не высоту, а значения энергии. Если точка жидкости находится на определенной поверхности, она останется на ней вечно. Это закон сохранения энергии.

Фазовое пространство гармонического осциллятора двумерно, а энергетические поверхности являются окружностями:

В общем случае энергетические поверхности механической системы слишком сложны для визуализации, но принцип остается тем же самым: энергетические поверхности заполняют фазовое пространство как слои, а поток движется так, что точки остаются на той поверхности, на которой были изначально.

Короткое напоминание

Здесь хочется остановиться и напомнить, о чем говорилось в самой первой лекции, где обсуждались монеты, кости и простейшие представления о законах движения. Мы описывали эти законы с помощью набора стрелок, соединяющих точки, которые представляют состояния системы. Мы также объяснили, что законы бывают допустимые и недопустимые, причем допустимые — обратимы. Суть в том, что каждая точка должна иметь ровно одну входящую стрелку и ровно одну исходящую. Если хотя бы в одной точке число входящих стрелок превосходит число исходящих (это называется конвергенцией), то такой закон необратим. То же самое относится и к случаю, когда исходящих стрелок больше, чем входящих (это называется дивергенцией). Как дивергенция, так и конвергенция стрелок нарушают обратимость и запрещены. До сих пор мы не возвращались к этой линии рассуждений. Теперь время пришло.

Поток и дивергенция

Рассмотрим некоторые простые примеры течения жидкости в обычном пространстве. Забудем на время о фазовом пространстве и просто рассмотрим обычную жидкость, движущуюся в привычном трехмерном пространстве с осями, обозначенными как x, y, z. Поток можно описать полем скоростей. Поле скоростей

определяется заданием в каждой точке пространства вектора скорости (рис. 2).

Можно также описать поле скоростей компонентами скорости:

Также скорость в точке может зависеть от времени, но давайте будем считать, что этой зависимости нет. В этом случае течение называется стационарным.

Рис. 2. Поле скоростей

занимает одинаковый объем. Это также значит, что плотность жидкости — число молекул в единице объема — везде одинакова и неизменна во времени. Кстати, термин «несжимаемость» означает также и нерастяжимость. Иными словами, жидкость не может увеличиваться в объеме. Рассмотрим небольшую кубическую ячейку, заданную условиями:

Несжимаемость подразумевает, что число точек жидкости в каждой такой ячейке постоянно. Это также означает, что суммарный поток жидкости, входящий в ячейку (в единицу времени), должен быть нулевым. (Сколько точек потока входит, столько же и выходит.) Рассмотрим число молекул, проходящих в единицу времени через поверхность ячейки x = x0. Оно будет пропорционально скорости потока на этой поверхности vx(x0).

Если скорость vx одинакова в x0 и в x0 + dx, то поток в ячейку через x = x0 будет таким же, как поток из нее через x = x0 + dx. Но если vx меняется на протяжении ячейки, то эти два потока окажутся несбалансированными. Совокупный поток, идущий в ячейку через эти две грани, будет пропорционален

Точно такие же рассуждения применимы к граням y0 и y0 + dy, а также z0 и z0 + dz. Если все их сложить, то суммарный поток молекул внутрь ячейки (приток минус отток) составит

Комбинация производных в скобках носит название дивергенции векторного поля
и обозначается

Дивергенция отражает степень рассеяния молекул, или увеличения занимаемого ими объема. Если жидкость несжимаема, этот объем не должен меняться, а значит, дивергенция должна быть равна нулю.

Один из способов понимания несжимаемости состоит в том, чтобы представлять себе каждую молекулу или точку как занимающую объем, который не может быть изменен. Их нельзя сжать в меньший объем, они не исчезают и не появляются ниоткуда. Немного подумав, можно увидеть, как похожи несжимаемость и обратимость. В примерах, которые мы разбирали в лекции 1, стрелки тоже определяли своего рода поток. И по сути этот поток был несжимаемым, по крайней мере если он был обратим. Естественный вопрос, который отсюда вытекает: является ли поток в фазовом пространстве обратимым? Ответ — да, если система удовлетворяет уравнениям Гамильтона. И теорема, выражающая эту несжимаемость, называется теоремой Лиувилля.

Теорема Лиувилля

Вернемся к потоку жидкости в фазовом пространстве и рассмотрим компоненты скорости жидкости в каждой точке фазового пространства. Нет надобности говорить, что фазовая жидкость не является трехмерной в координатах x, y, z. Она является 2N-мерной жидкостью в координатах pi, qi.

Таким образом, имеется 2N компонент поля скоростей — по одной для каждой координаты q и каждой координаты p. Обозначим их

Понятие дивергенции, выраженное уравнением (4), легко обобщается на любое число измерений. В трех измерениях — это сумма производных от компонент скорости по соответствующим направлениям. Точно так же она определяется для любого числа измерений. В случае фазового пространства дивергенция потока — это сумма 2N членов:

Если жидкость несжимаема, то это выражение должно быть равно нулю. Чтобы вычислить его, нужно знать компоненты поля скоростей — они, конечно, не что иное, как скорости частиц фазовой жидкости.

Вектор течения в данной точке идентифицируется со скоростью воображаемой частицы в этой точке. Иными словами,

Причем
— это как раз те величины, которые входят в уравнения Гамильтона (1):


Все, что нужно сделать, — это подставить уравнения (6) в формулу (5) и получить

Вспомнив, что вторая производная вида

не зависит от порядка дифференцирования, мы поймем, что члены уравнения (7) попарно в точности уничтожают друг друга:

Итак, фазовая жидкость несжимаема. В классической механике несжимаемость фазовой жидкости называется теоремой Лиувилля, хотя она не имеет почти никакого отношения к французскому математику Джозефу Лиувиллю. Первым в 1903 году ее опубликовал великий американский физик Джозайя Уиллард Гиббс, и она также известна как теорема Гиббса—Лиувилля.

Мы определили несжимаемость жидкости, потребовав, чтобы общее количество жидкости, входящей в любую малую ячейку, было равно нулю. Существует другое строго эквивалентное определение. Представим себе объем жидкости в некоторый момент времени. Этот объем может иметь любую форму: сферическую, кубическую, каплеобразную — какую угодно. Теперь проследим за движением всех точек этого объема. Спустя некоторое время капля жидкости будет находиться в другом месте и иметь другую форму. Но если жидкость несжимаема, объем капли останется таким же, каким он был первоначально. Так что можно переформулировать теорему Лиувилля: объем, занимаемый каплей фазовой жидкости, сохраняется во времени.

Рассмотрим пример гармонического осциллятора, в котором жидкость вращается вокруг начала отсчета. Очевидно, что капля сохраняет объем, поскольку все ее движение сводится к твердотельному вращению. Форма капли остается неизменной, но это имеет место именно для гармонического осциллятора. Рассмотрим другой пример. Допустим, гамильтониан имеет вид H = pq.

Возможно, это покажется вам непохожим на гамильтониан, хотя он совершенно корректный. Выведем уравнения движения:

Согласно этим уравнениям, q экспоненциально возрастает со временем, а p с такой же скоростью экспоненциально убывает. Другими словами, поток прижимает жидкость к оси p, одновременно и в той же степени расширяя ее вдоль оси q. Любая капля растягивается вдоль q и сжимается вдоль p. Очевидно, что капля испытывает колоссальные деформации, но ее фазовый объем не меняется.

Теорема Лиувилля — это ближайший вообразимый аналог того типа необратимости, который мы обсуждали в лекции 1. В квантовой механике теорема Лиувилля заменяется квантовой версией, которая называется унитарностью. Унитарность еще больше похожа на то, что мы обсуждали в лекции 1, но это тема следующего выпуска «Теоретического минимума».