Уравнения Эйнштейна в общей теории относительности простыми словами

50 минут назад Прокомментировать Просмотры: 6

В ньютоновской картине гравитация действует мгновенно вдоль линии, соединяющей два тела. Эйнштейн же описывал её как искривление пространства-времени, по которому движутся частицы согласно общей теории относительности. В его теории гравитационное воздействие распространяется не мгновенно, а с конечной скоростью, равной скорости света. При этом гравитационным волнам, в отличие от обычных механических волн, не нужна среда для распространения. Источник: Научное сотрудничество LIGO, Т. Пайл, Caltech/MIT

Общая теория относительности сложна и с физической, и с математической точки зрения. Тем не менее каждому физику-теоретику необходимо в ней разбираться. Попробуем объяснить её основы.

Итан Сигел, 15 октября 2026

Главное:

Уравнения поля Эйнштейна лежат в основе общей теории относительности (ОТО) и описывают возможные конфигурации пространства-времени. Их компактная запись лишь скрывает исключительную сложность.
За кажущимся простым уравнением стоят 16 взаимосвязанных соотношений, объединяющих кривизну пространства-времени с распределением материи и энергии во Вселенной.
Эти уравнения раскрывают важные особенности гравитации, в том числе её принципиальное отличие от других взаимодействий. И хотя гравитация остаётся единственным взаимодействием, для которого нет общепринятой квантовой теории, именно её мы способны хотя бы отчасти представить интуитивно.

Альберт Эйнштейн занимает легендарное место в науке благодаря множеству достижений, среди которых E=mc², объяснение фотоэффекта и представление о постоянстве скорости света для всех наблюдателей. Однако его самое масштабное открытие одновременно остаётся одним из наименее понятных: речь о теории гравитации — общей теории относительности. До Эйнштейна гравитацию описывали в ньютоновских терминах: любые два обладающих массой тела во Вселенной мгновенно притягиваются с силой, зависящей от их масс, гравитационной постоянной и квадрата расстояния между ними. Эйнштейн предложил совершенно иной подход. Пространство и время в его теории образуют единое пространство-время, а его кривизна определяет движение материи и энергии.

Эту основополагающую мысль можно сформулировать так:

материя и энергия указывают пространству-времени, как искривляться, а искривлённое пространство-время указывает материи и энергии, как двигаться.

Так возник революционный взгляд на природу гравитации. Эйнштейн представил общую теорию относительности в 1915 году, а спустя четыре года её предсказания подтвердились во время полного солнечного затмения: отклонение света звёзд, находившихся за Солнцем, соответствовало расчётам Эйнштейна, а не Ньютона. С тех пор ОТО выдержала все проведённые наблюдательные и экспериментальные проверки. И всё же, несмотря на более чем столетнюю историю успеха, смысл единого уравнения, лежащего в её основе, понятен немногим. Попробуем объяснить его простыми словами.

Формы уравнения Эйнштейна с космологической постоянной и без неё — В исходной форме уравнение Эйнштейна связывает кривизну пространства-времени с тензором энергии-импульса системы (вверху). В него можно добавить космологическую постоянную (в центре) или, что равнозначно, представить её как тёмную энергию (внизу) — ещё один вид плотности энергии, учитываемый тензором энергии-импульса. *Источник: Токийский университет; Kavli IPMU*

На первый взгляд уравнение несложно: в нём всего несколько символов. Но стоит разобраться в их значении, и простота оказывается обманчивой. Рассмотрим второй вариант на иллюстрации: $G_{μν}+Λg_{μν}=8πGT_{μν}$ .

Первый компонент, $G_{μν}$ , называется тензором Эйнштейна и описывает кривизну пространства-времени.
Второй компонент, , — космологическая постоянная. Она связана с положительной или отрицательной плотностью энергии, присущей самому пространству.
Третий компонент, $g_{μν}$ , — это метрика, или метрический тензор, математически описывающий геометрические свойства пространства-времени в каждой точке.
Четвёртый компонент, , представляет собой произведение постоянных, известное как гравитационная постоянная Эйнштейна. Это аналог более привычной ньютоновской гравитационной постоянной (). Множитель в этой записи часто опускают, поскольку физики, работающие с ОТО, обычно принимают .
Наконец, пятый компонент, $T_{μν}$ , называется тензором энергии-импульса. Он описывает локальное распределение энергии, импульса и напряжений, в том числе давления, в пространстве-времени.

Связи между этими пятью компонентами, выраженные уравнениями поля Эйнштейна, позволяют соотнести геометрию пространства-времени с находящимися в нём материей и энергией. Именно в этом состоит отличительная особенность общей теории относительности.

Фреска с уравнениями Эйнштейна и иллюстрацией отклонения света во время затмения — На фреске изображены уравнения поля Эйнштейна и отклонение света вблизи Солнца во время затмения. Наблюдения 1919 года впервые подтвердили ОТО, предложенную четырьмя годами ранее. Слева тензор Эйнштейна представлен через тензор и скаляр Риччи; к ним добавлен член с космологической постоянной. Эйнштейн ввёл её, стремясь получить модель статической Вселенной, а не расширяющейся или сжимающейся. *Источник: Высоцкий / Wikimedia Commons*

Что же означают индексы — греческие буквы «μν» внизу обозначений тензора Эйнштейна, метрики и тензора энергии-импульса? Обычно мы записываем скалярное уравнение: одно равенство, в котором величина слева равна величине справа. Однако одной компактной формулой можно выразить и целую систему связанных уравнений.

Например, E=mc² — скалярное уравнение: энергия (E), масса (m) и скорость света (c) в нём представлены отдельными значениями. А ньютоновское F=ma объединяет три уравнения: F_x=ma_x для направления «x», F_y=ma_y для направления «y» и F_z=ma_z для направления «z». Это связано с тем, что пространство имеет три измерения. Следовательно, F=ma — пример не скалярного, а векторного уравнения.

В ОТО измерений четыре — три пространственных и одно временное, — а индексов два. Поэтому речь идёт не об одном и даже не о трёх или четырёх уравнениях. Каждый из четырёх индексов (t,x,y,z) может сочетаться с каждым из четырёх других, что даёт 4×4, или 16 компонентов. Так мы переходим на следующий уровень сложности: от скалярных и векторных уравнений к тензорному уравнению второго ранга.

Искривление пространственной сетки под действием массы — Если поместить массу в пустую трёхмерную сетку, линии, которые в её отсутствие были бы прямыми, искривятся. В ОТО пространство и время считаются непрерывными, а вклад в кривизну пространства-времени вносят все формы энергии, включая массу. Кроме того, из-за расширения Вселенной расстояния между гравитационно не связанными объектами со временем меняются. *Источник: Кристофер Витале из Networkologies и Института Пратта*

Почему для описания гравитации требуется столько уравнений, если Ньютон обошёлся одним? Причина в сложности геометрии и четырёхмерности пространства-времени. События в одном месте или измерении способны распространяться и со временем влиять на другие области Вселенной. Наличие трёх пространственных и одного временного измерения позволяет математически описывать пространство-время как четырёхмерное многообразие.

В римановой геометрии многообразия не обязаны быть плоскими: они могут искривляться различными способами. Кривизну можно разделить на составляющие, связанные с изменением объёма и формы объекта. Первая связана с кривизной Риччи и входит в тензор Эйнштейна, который строится из тензора Риччи, скаляра Риччи, метрики и постоянных коэффициентов. Вторая составляющая описывается тензором Вейля и, вопреки ожиданиям, непосредственно в уравнения поля Эйнштейна не входит.

Искривление пространства-времени точечной массой — Даже единственная точечная масса искривляет окружающее пространство-время. Уравнения поля Эйнштейна позволяют связать эту кривизну с заданным распределением материи и энергии. Для бесконечно плотной точечной массы возникает чёрная дыра, положение горизонта событий которой зависит от её массы. Чем меньше масса чёрной дыры, тем меньше её горизонт и тем сильнее кривизна вблизи него. *Источник: JohnsonMartin/Pixabay*

Итак, уравнение поля Эйнштейна объединяет 16 компонентных уравнений — по одному для каждой комбинации индексов в таблице «4×4». Изменение одного аспекта Вселенной, например кривизны в определённой точке или направлении, может сопровождаться изменениями других компонентов. В этом смысле ОТО поднимает понятие дифференциального уравнения на новый уровень.

С помощью дифференциального уравнения можно:

задать начальное состояние системы: какие объекты в ней присутствуют, где и когда они находятся и как движутся;
подставить эти условия в уравнение;
определить, как система изменится к следующему моменту времени;
использовать полученные данные повторно, чтобы рассчитать её дальнейшую эволюцию.

Это чрезвычайно мощный инструмент. Именно для описания таких явлений, как движение и гравитация, Ньютону потребовалось разработать методы математического анализа, включая дифференциальное исчисление.

Гравитационное линзирование света далёких галактик — Гравитационное линзирование показывает, как расположенная на пути света масса искривляет пространство и меняет видимое положение далёких галактик. Если несколько фоновых объектов находятся за одной линзой, наблюдатель может увидеть несколько наборов их изображений. При идеальном выравнивании образуется «кольцо Эйнштейна». Кратковременное событие в фоновой галактике, например вспышка сверхновой, появляется на разных изображениях с временными задержками. *Источник: NASA, ESA и Л. Кальсада*

В общей теории относительности мы имеем дело не с одним уравнением и не с набором независимых уравнений для отдельных направлений. Изменения в одном направлении могут влиять на другие, поэтому 16 компонентных уравнений взаимосвязаны. По мере движения и ускорения объектов меняется тензор энергии-импульса, а вместе с ним — и кривизна пространства-времени.

При этом все 16 уравнений не являются различными. Тензор Эйнштейна симметричен: компоненты, связывающие два направления, совпадают при перестановке индексов. Если обозначить координаты как (t,x,y,z), то:

компонент «tx» равен компоненту «xt»;
компонент «ty» равен компоненту «yt»;
компонент «tz» равен компоненту «zt»;
компонент «yx» равен компоненту «xy»;
компонент «zx» равен компоненту «xz»;
компонент «zy» равен компоненту «yz».

Таким образом, различных компонентных уравнений остаётся не 16, а 10.

Кроме того, существуют четыре соотношения, связывающие компоненты кривизны, — тождества Бианки. Они накладывают дополнительные ограничения на десять уравнений. С этим связана и свобода выбора системы координат: законы физики, включая уравнения ОТО, сохраняют свой вид независимо от положения и движения наблюдателя.

Эмми Нётер и иллюстрация закона сохранения импульса — Эмми Нётер доказала теорему, связывающую симметрии физической теории с законами сохранения. Справа показано сохранение импульса, вытекающее из инвариантности относительно пространственных сдвигов. *Источник: Mathematical Association of America (L)/R Nave (R); Big Think*

У этой системы есть и другие важные свойства. В частности, ковариантная дивергенция тензора энергии-импульса равна нулю. Это выражается четырьмя соотношениями — для временного направления и каждого из трёх пространственных. Согласно теореме Нётер, симметрии физических законов связаны с сохраняющимися величинами.

Такими величинами являются энергия, связанная со сдвигами во времени, и компоненты импульса, связанные со сдвигами вдоль осей x, y и z. В ОТО энергия и импульс удовлетворяют локальным законам сохранения. При этом определить глобальную энергию для произвольного пространства-времени в целом не всегда возможно. Локальное сохранение энергии-импульса — не вопрос предпочтений, а требование теории.

Гравитационные волны от двух движущихся тел — Движущиеся относительно друг друга массивные тела могут излучать гравитационные волны — рябь пространства-времени. Математически она описывается метрическим тензором ОТО. Волны уносят энергию орбитальной системы, из-за чего орбита постепенно сужается и тела могут слиться. *Источник: ESO/L. Calçada*

Ещё одна особенность, отличающая ОТО от многих других физических теорий, — её нелинейность. Допустим, мы нашли ответ на вопрос: «Как выглядит пространство-время в присутствии одной точечной массы?» Тогда может возникнуть соблазн рассуждать так:

«Если добавить вторую точечную массу, достаточно сложить решения для первой и второй, чтобы получить решение для всей системы».

Такой подход работает только для линейных теорий. Например, в ньютоновской гравитации результирующее поле получается сложением полей отдельных объектов — это принцип суперпозиции. Аналогично в электромагнетизме Максвелла можно отдельно рассчитать поля двух зарядов, двух токов или заряда и тока, а затем сложить их. Принцип действует и в квантовой механике: уравнение Шрёдингера линейно относительно волновой функции.

Уравнения Эйнштейна нелинейны, поэтому простое сложение решений не даёт точного ответа. Зная геометрию пространства-времени для одной точечной массы, нельзя таким способом определить, какой она станет после добавления второй. Несмотря на более чем вековую историю ОТО, точные решения известны лишь для ограниченного числа специальных случаев; общая задача о двух движущихся точечных массах к ним не относится.

Итан Сигел и первое уравнение Фридмана — Итан Сигел у гиперстены Американского астрономического общества в 2017 году; справа приведено первое уравнение Фридмана. В его левой части находится квадрат параметра Хаббла, характеризующего расширение Вселенной. Правая часть учитывает различные формы материи и энергии, пространственную кривизну и космологическую постоянную. Вместе они определяют эволюцию Вселенной. Это одно из важнейших уравнений космологии; Фридман вывел его практически в современной форме в 1922 году. *Источник: Харли Тронсон (фотография) и Институт Периметра (композиция)*

Изначально Эйнштейн записал уравнения ОТО с тензором Эйнштейна по одну сторону и тензором энергии-импульса, умноженным на соответствующую гравитационную постоянную, — по другую. Согласно распространённой истории, космологическую постоянную он добавил потому, что хотел избежать вывода о неизбежном расширении или сжатии Вселенной и получить статическую модель.

Космологическая постоянная была важным дополнением независимо от того, равно ли её значение в природе нулю. Сегодня её рассматривают как один из возможных способов описания тёмной энергии. Причина её особого положения увлекательна: это единственный такой дополнительный член, который можно включить в стандартные уравнения ОТО, не меняя фундаментального характера связи между материей, энергией и кривизной пространства-времени.

Однако в основе ОТО лежит не космологическая постоянная, которую можно связать с особой формой энергии, а два более общих компонента. Тензор Эйнштейна $G_{μν}$ описывает кривизну пространства-времени и связан с тензором энергии-импульса $T_{μν}$ , который характеризует распределение материи и энергии.

Иллюстрация квантовых поправок к гравитации — Теории квантовой гравитации стремятся объединить общую теорию относительности и квантовую механику. Квантовые поправки к классической гравитации здесь представлены петлевой диаграммой белого цвета. Существует и альтернативная возможность: гравитация всегда остаётся классической и непрерывной, а пересмотра требует квантовая теория поля. Проблема согласования квантовой физики и ОТО известна давно, но удовлетворительного решения пока нет. *Источник: Национальная лаборатория ускорителей SLAC*

При описании реальной Вселенной мы почти всегда используем приближения: они позволяют строить простые модели, отбрасывая детали, несущественные для конкретной задачи. В подходящем пределе слабого поля и малых скоростей уравнения Эйнштейна приводят к закону всемирного тяготения Ньютона. Если же рассматривать однородную, изотропную и невращающуюся Вселенную, получаются уравнения Фридмана, описывающие её расширение или сжатие. На крупнейших космических масштабах такая модель, по всей видимости, хорошо соответствует наблюдаемой Вселенной.

В принципе можно задать и другие распределения материи и энергии, различные поля и частицы. Тогда уравнения Эйнштейна свяжут геометрию пространства-времени с соответствующим тензором энергии-импульса, описывающим энергию, импульс и напряжения.

Если существует «теория всего», объединяющая гравитацию с квантовым описанием Вселенной, ей предстоит согласовать фундаментальные различия между этими подходами, включая нелинейность теории Эйнштейна. Пока же объединение гравитации с другими взаимодействиями остаётся одной из самых масштабных задач теоретической физики.

Впервые статья опубликована в сентябре 2021 года и обновлена в октябре 2026 года.

Источник