Случайность, физика и устройство мира

Разрабатывая теорию броуновского движения, Альберт Эйнштейн исходил из детерминистического характера молекулярно-кинетической теории. Парадоксально, но другие его работы обосновывали необходимость квантования энергии. Они внесли существенный вклад в становление квантовой механики и признание того, что классическая механика неприменима на микроуровне. Тем не менее Эйнштейн остался верен убеждению, что полная физическая теория должна быть детерминированной, а присутствие вероятностей в квантовой механике указывает на ее неполноту.

Позиция Эйнштейна способствовала дальнейшему развитию квантовой механики: дискуссия об ее основаниях привела к появлению неравенств Белла и проведению новых экспериментов. Однако стохастический характер квантовой механики был сохранен, поэтому сегодня необходим более гибкий подход. В статье рассматриваются взгляды В. В. Налимова на использование языков детерминизма и вероятности для описания мира, а также их связь с экспериментальной физикой. С одной стороны, существование случайной величины трудно представить интуитивно; с другой — эксперименты обнаруживают устойчивые стохастические закономерности.

• Введение

• Альберт Эйнштейн: вероятность как признак неполноты теории

• Случайная величина и окружающий мир

• Случайная величина в экспериментальной физике

• Обсуждение

• Список литературы

Введение

Для описания стохастических явлений физические теории обращаются к теории вероятностей. Так, в стохастическом уравнении Ланжевена присутствует случайная сила, которую обычно моделируют белым шумом, а в квантовой механике правило Борна определяет распределение вероятностей результатов измерения. Эти вопросы рассматривались в предыдущих статьях «Как движется броуновская частица при отсутствии измерений?» и «Достоверность экспериментальных измерений в квантовой механике». Здесь же речь пойдет о связи теории вероятностей с окружающим миром, а именно о случайных величинах, применяемых для описания стохастических явлений.

Теория вероятностей относится к математике, поэтому возникает вопрос о том, как ее формализм соотносится с физическими процессами. Давид Гильберт в своей шестой проблеме, в частности, поставил вопрос об аксиоматизации вероятности в статистической механике:

‘Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности в кинетической теории газов.’

Сегодня основой теории вероятностей служит аксиоматика Колмогорова. Однако она не отвечает на вопрос о том, чему математическая вероятность соответствует в реальном мире. У теории вероятностей множество приложений, и существуют различные ее интерпретации (см. обзор «Интерпретации вероятности»). Для физики наиболее подходящей представляется частотная интерпретация. Рихард фон Мизес пытался построить ее аксиоматику, но на этом пути осталось немало нерешенных вопросов. Поэтому в физике частотная интерпретация во многом опирается на интуицию и ожидания, а проблема связи вероятности с физикой, поставленная Гильбертом, в этом смысле остается открытой.

При обсуждении вероятности возникает и вопрос о ее связи со знанием или незнанием человека. Например, в теории принятия решений вероятность иногда соотносят со степенью осведомленности. Такие вероятности называют субъективными; в физике этот подход защищал, в частности, Эдвин Джейнс (см. статью «Эдвин Джейнс: Принцип максимума энтропии»). Однако физические теории принято считать объективными, что трудно совместить с субъективной трактовкой вероятности. На роль объективной вероятности лучше подходит частотная, но ее введение также нуждается в обосновании.

Основная трудность состоит в том, что существование случайной величины в мире непросто представить: интуитивно мы ожидаем обнаружить механизм возникновения случайных событий. Например, в случае броуновского движения таким механизмом служат флуктуации. Эта интуиция может привести к крайней позиции, которую занимал Эйнштейн: появление случайной величины в физической теории свидетельствует о ее неполноте. Сегодня необходим более гибкий подход, поэтому далее рассматриваются взгляды Налимова на вероятность, а затем стохастичность и детерминизм обсуждаются с точки зрения экспериментальной физики.

Альберт Эйнштейн: вероятность как признак неполноты теории

Рассмотрим бросок игрального кубика с позиций классической механики. Этот процесс детерминирован, однако незнание начальных условий и всех деталей взаимодействия кубика с окружением не позволяет предсказать, какая грань выпадет. Другая возможная причина непредсказуемости — неустойчивость динамики, или динамический хаос. Тем не менее в обоих случаях система остается детерминированной, а возникновение случайных величин получает объяснение. При таком подходе устойчивость частот выпадения различных граней представляется понятной.

До конца жизни Эйнштейн полагал, что физическая теория должна быть детерминированной. Патрик Бирн в статье «Статистические и причинно-следственные концепции в ранних работах Эйнштейна» проанализировал ранние исследования ученого по статистической механике. По словам Бирна, применяя вероятности, Эйнштейн сохранял убеждение в существовании полной детерминированной теории. Так, его статья «Теория основ термодинамики» 1903 года начинается со следующего утверждения:

‘Пусть система изолирована, т. е. взаимодействие рассматриваемой системы с другими системами отсутствует. Тогда ясно, что состояние системы в определенный момент времени однозначно определяет изменение системы в следующий элемент времени.’

В работах Эйнштейна вероятности возникают потому, что исходную систему детерминированных уравнений невозможно практически использовать. При этом они рассматриваются как статистическое описание поведения огромного числа частиц. Подобная точка зрения была основополагающей при создании молекулярно-кинетической теории и классической статистической механики.

Дальнейшее развитие физики, в котором другие работы Эйнштейна также сыграли важную роль, привело к возникновению квантовой механики и квантовой статистики. Эйнштейн одним из первых поддержал идею квантования энергии, указывавшую на неприменимость классической механики к микромиру. Хотя созданная впоследствии квантовая механика не была детерминистической, Эйнштейн не пересмотрел своего отношения к вероятности.

Это привело к расхождению его взглядов с позицией других физиков. На него обращается внимание как в статье Бирна, так и в работе Макса Борна «Статистические теории Эйнштейна», где также подробно раскрывается вклад Эйнштейна в становление квантовой механики:

‘Кажется, его убеждением всегда было и остается до сих пор, что наиболее глубокие законы природы причинны и детерминистичны, что вероятность необходима только для того, чтобы прикрывать наше невежество, когда нам приходится иметь дело с большим числом частиц, и что только глубина этого невежества выдвигает статистику на передний план.’

В 1949 году, к семидесятилетию Эйнштейна, был опубликован сборник статей о его вкладе в науку. В упомянутой работе Макса Борна и статье Вольфганга Паули «Вклад Эйнштейна в квантовую теорию» особо отмечалась роль ученого в развитии статистических представлений, имевших большое значение для становления квантовой механики. Вместе с тем авторы обозначили различия в своих взглядах и позиции Эйнштейна. Приведем еще две цитаты из статьи Борна:

‘Я не нашел у него никакого определенного ответа на вопрос: «Что такое вероятность?»; он не принимал также участия в дискуссиях, разгоравшихся по поводу определения Мизеса и других подобных попыток. Я предполагаю, что он отклонял их как метафизические спекуляции или даже подшучивал над ними. Сначала он использовал вероятность в качестве умственного орудия для исследования природы точно так же, как любой другой научный метод.’

‘Нынешний Эйнштейн изменился. Я приведу здесь отрывок из его письма, которое я получил несколько лет назад (7 ноября 1944 года): «В нашем научном ожидании мы выросли антиподами. Ты веришь в Бога, играющего в кости, а я — в полную закономерность в мире чего-то объективно существующего, и эту закономерность я пытаюсь уловить дико спекулятивным способом».’

В заключительной статье сборника «Замечания к статьям» Эйнштейн сформулировал свою позицию следующим образом:

‘Оба автора [Паули и Борн] с осуждением относятся к тому, что я отвергаю основную идею современной статистической квантовой теории. Но я все же не верю, что такая фундаментальная концепция может служить надлежащей основой для всей физики в целом.’

‘Принципиально неудовлетворительным в этой теории, на мой взгляд, является ее отношение к тому, что я считаю высшей целью всей физики: полному описанию реального состояния произвольной системы (существующего, по предположению, независимо от акта наблюдения или существования наблюдателя).’

Иными словами, Эйнштейн не мог представить существование случайной величины в природе и продолжал считать, что полная теория обязана быть детерминированной. Как уже отмечалось, его критика оказалась полезной для дальнейшего развития квантовой механики. Неравенства Белла, в частности, стали основанием для новых экспериментов; доступное изложение этой истории можно найти в книге «Как хиппи спасли физику». Однако результаты экспериментов подтвердили предсказания существующего квантово-механического формализма и оставили в силе представление о стохастичности на фундаментальном уровне. Поэтому сегодня необходима более гибкая позиция.

Случайная величина и окружающий мир

В статье Налимова «Почему мы пользуемся вероятностными представлениями при описании внешнего мира» содержится интересное сопоставление языка детерминизма и вероятностного языка. Работа начинается с краткого обзора истории представлений о детерминизме и случайности. Налимов понимает детерминизм как установку на применение логики и причинно-следственных связей. Он прослеживает отрицательное отношение к случайности в европейской культуре — от Аристотеля и схоластов до Канта — и формирование идеала детерминизма в классической физике. Среди философов Налимов выделяет Гегеля с его «Наукой логики»: тот не отвергал случайность, хотя понять его взгляды непросто. Кроме того, Налимов рассматривает проникновение вероятностных представлений в современную науку, начавшееся с изучения азартных игр и погрешностей измерений.

Значительная часть статьи посвящена применению математической статистики. В ней обсуждаются логические трудности, связанные с введением вероятности, и способы их преодоления средствами статистического языка:

‘Как удалось построить такой язык? Случайность нельзя ввести непосредственно в систему логических суждений – система немедленно окажется отягченной грубыми противоречиями. Пришлось создать систему теоретических построений, порождающих понятия, в рамках которых возможно логически четкое описание случайных явлений. Такими понятиями оказались: «генеральная совокупность», «выборка», «вероятность», «функция распределения», «независимые наблюдения»… Эти четко определенные понятия и логические высказывания, построенные над ними, лишены противоречий.’

Важную роль в этой конструкции играет наблюдаемая устойчивость частот статистических событий, хотя сама она остается без объяснения. В последнем разделе, «Онтология случая», Налимов указывает на трудности, возникающие при попытке найти случайную величину непосредственно в мире:

‘Всякие попытки осмыслить онтологию случая ведут к явно несерьезным высказываниям. Видимо, лучше говорить о том, что случайность – это не онтологическая, а гносеологическая категория. Или так же, как и причинность, – это есть просто одна из двух категорий, порождающих два разных языка для описания мира. В обоих случаях мы имеем дело не с представлениями, возникшими как зеркальное отражение реальности, а с некоторыми абстракциями, построенными над наблюдениями о внешнем мире. Абстракциями, порождающими две разные грамматики для упорядочивания и осмысления результатов наших наблюдений.’

Таким образом, Налимов признает, что ясного ответа на вопрос о природе вероятности в реальном мире нет, но подчеркивает: это не препятствует успешному применению теории вероятностей в науке:

‘Приходится просто признать, что сейчас мы вынуждены пользоваться языком, включающим такие понятия, физический смысл которых, если над ними серьезно задуматься, остается неясным. И как раз с помощью таких понятий удается описывать мир и овладевать им. В этом удивительная особенность языка науки. Почему обо всем этом не говорить прямо?’

В этом контексте интересно и замечание Борна о словах Эйнштейна «Ты веришь в Бога, играющего в кости»:

‘я хочу сделать одно замечание, используя образный язык самого Эйнштейна: если Бог и сотворил мир в виде совершенной механической системы, то нашему несовершенному разуму он позволил по меньшей мере столько, что для предсказания малой части процессов в этой системе мы, безусловно, не должны решать бесчисленные дифференциальные уравнения, а с надеждой на успех можем взять игральные кости. То, что это так, я узнал вместе с многими из моих современников от самого Эйнштейна. Я думаю, что ситуация сильно не изменилась из-за введения квантовой статистики. Мы, смертные люди, все еще играем в кости для наших маленьких целей прогноза, а действия Бога в классическом броуновском движении таинственны так же, как и в радиоактивности, и в квантовом излучении или вообще во всей жизни.’

В словах Борна, как и в выводах Налимова, проявляется прагматический подход, основанный на экспериментальных исследованиях. Оба признают загадочность природы случайной величины, но подчеркивают существование устойчивых статистических закономерностей. Отсюда следует несколько парадоксальный вывод: применение случайных величин расширяет возможности детерминистического описания, делая его более гибким.

Случайная величина в экспериментальной физике

Случайные величины вошли в астрономию и геодезию при попытках описать результаты измерений с помощью детерминированных физических теорий. В начале XIX века для решения этой задачи был разработан метод наименьших квадратов и возникла вероятностная интерпретация наблюдаемых отклонений. По мере развития экспериментальной физики погрешности воспроизводимости стали неотъемлемой частью лабораторной практики. Следовательно, потребность в случайных величинах возникла уже при использовании детерминированных теорий.

Применительно к результатам реального эксперимента проблему можно выразить уравнением:

y_i = f(Θ, x_i) + ε_i

Набор экспериментальных точек {y_i, x_i}, где подстрочный индекс i нумерует точки, относится к реальности лабораторной работы. Это полученные в эксперименте данные, которые затем подлежат обработке. Выражение f(Θ, x_i) относится к физической теории и содержит неизвестные параметры Θ, определить которые и был призван эксперимент. Здесь возникает затруднение: предсказания теории не удается точно согласовать с измеренными точками. Предполагается, что они должны описываться непрерывной гладкой функцией, однако на практике наблюдаются неожиданные отклонения.

Тогда вводятся случайные ошибки воспроизводимости ε_i, поскольку считается, что расхождения сами по себе не опровергают теорию. Иными словами, распределение вероятностей позволяет сохранить исходную теорию. Предполагается, что на эксперимент воздействовали неконтролируемые факторы, хотя установить их природу и устранить их не удается. С помощью теории вероятностей отклонения измеренных точек от теоретических ожиданий объясняются случайными ошибками воспроизводимости.

Следовательно, случайные величины всегда присутствовали в экспериментальной физике, тогда как теоретическая физика опиралась на детерминированные модели. Это позволяло теоретикам и философам представлять мир детерминированным — в духе демона Лапласа. Погрешности воспроизводимости при этом оставляли без внимания, относя их на счет неспособности человека обеспечить надлежащий контроль над экспериментом.

В физических теориях вероятности появились в молекулярно-кинетическом описании. Их введение также связывали с ограниченностью человеческих возможностей: невозможно определить положения и скорости всех частиц и решить соответствующую систему уравнений. Применение вероятностей и переход к статистическому описанию в молекулярно-кинетической теории не были непосредственно связаны с экспериментальной физикой, которая продолжала опираться на механику сплошных сред.

Ситуация изменилась с появлением теории броуновского движения: обработка данных о положении броуновской частицы оказалась связана с использованием стохастического уравнения Ланжевена. Этот вопрос рассматривался в статье «Как движется броуновская частица при отсутствии измерений?», где подчеркивалось, что измерение положения частицы следует понимать как испытание связанной с теорией случайной величины. Следующий этап — становление квантовой механики, в которой механизм возникновения стохастичности отсутствовал. Однако с точки зрения экспериментальной физики ситуация осталась той же, что и при изучении броуновского движения. Это обстоятельство обсуждалось в статье «Достоверность экспериментальных измерений в квантовой механике».

Таким образом, в применении случайных величин в экспериментальной физике можно выделить три этапа:

• Случайные ошибки воспроизводимости.

• Стохастичность, обусловленная флуктуациями.

• Стохастичность в квантовой механике.

Практика проведения реальных экспериментов во всех трех случаях принципиально не различается. В качестве примера рассмотрим двухщелевой эксперимент, описанный в статье «Контролируемая двухщелевая дифракция электронов». Для него используется крупная и сложная установка, требующая тщательной подготовки. Электроны испускаются вольфрамовой проволокой посредством термоэлектронной эмиссии, проходят через область с двумя щелями и регистрируются детектором. Интенсивность источника снижают так, чтобы можно было регистрировать отдельные электроны.

Отличие от других экспериментов состоит в том, что движение электрона от испускания до регистрации описывается квантовой механикой. Однако подготовка и эксплуатация установки по своей сути не отличаются от обычной экспериментальной практики. Различие возникает при интерпретации результатов. Квантовый формализм связывается с экспериментом посредством правила Борна: свойства электрона на рассматриваемом участке описываются случайной величиной, а механизм возникновения случайности не объясняется. Тем не менее это не означает, что эксперимент утрачивает объективность.

Обсуждение

При прагматическом подходе Борна и Налимова механизм фундаментальной стохастичности и переход от стохастического описания к детерминистическому остаются загадкой. Приходится признать, что мы не знаем, почему это происходит. Вместе с тем использование случайной величины ставит вопрос о реализме. Так, Стивен Браш в статье «Эйнштейн и индетерминизм» формулирует его следующим образом:

‘Что Эйнштейну не нравилось в квантовой теории, так это не просто то, что она постулировала присущую природе стохастичность, но и то, что она отрицала существование реального мира, независимого от наших наблюдений за ним.’

Рассмотрим этот вопрос применительно к каждому из этапов использования случайных величин в экспериментальной физике. В большинстве случаев механизм возникновения случайных ошибок воспроизводимости неизвестен, но это не смущало физиков-теоретиков, включая Эйнштейна. Возможно, теоретики просто не обращают внимания на такие ошибки. Однако тогда их рассуждения о природе случайности оказываются неполными.

В теории броуновского движения стохастичность включается в физическое описание и объясняется флуктуациями. При этом в классической статистической механике вопрос о механизме возникновения устойчивых частот флуктуаций остается открытым. Предлагались различные идеи и предпринимались попытки доказать, что распределения вероятностей возникают при детерминированном поведении системы, но завершить такое доказательство в общем случае не удалось. Появление квантовой механики изменило ситуацию: сегодня доказательства на уровне классической статистической механики представляют главным образом академический интерес, поскольку корректное описание требует квантовой статистики. Таким образом, даже вопрос о броуновском движении в конечном счете приводит к стохастичности квантовой механики.

Вернемся к двухщелевому эксперименту из упомянутой статьи. Попробуем разобраться в логике теоретиков, которые на основании подобных результатов приходят к выводу, что эксперимент отрицает существование реального мира. Речь идет о связи между прохождением электрона и его зарегистрированным положением на детекторе. Для описания этого участка используется волновая функция электрона. С одной стороны, ее унитарную эволюцию определяет детерминированное уравнение Шрёдингера; с другой — правило Борна задает вероятности регистрации электрона в различных положениях. В результате свойства электрона на пути к детектору описываются случайной величиной, а измерение становится ее испытанием.

Попытки объяснить возникновение случайности на основе детерминированного уравнения Шрёдингера приводят теоретиков к различным экстравагантным интерпретациям происходящего между эмиттером и детектором. В такой ситуации было бы полезно пригласить их в лабораторию и попросить показать, где в эксперименте находится наблюдатель, якобы необходимый квантово-механическому формализму, когда происходит расщепление вселенной и каким образом сознание экспериментатора влияет на ход опыта.

На мой взгляд, признание того, что свойства электрона описываются случайной величиной, выглядит значительно более простым объяснением. Кроме того, стоит вспомнить о случайных погрешностях воспроизводимости, присутствующих во всех экспериментах. Мы не знаем ни точной причины их возникновения, ни причины случайности при прохождении электрона, но едва ли это повод выдвигать экстравагантные теории об устройстве мира. Проще признать, что представление физиков-теоретиков о детерминированном мире невозможно подтвердить ни одним реальным экспериментом.

В заключение вспомним ответ Эйнштейна во время обсуждения квантово-механического формализма Гейзенберга после его доклада в 1926 году. Гейзенберг подчеркивал, что его теория построена исключительно на наблюдаемых величинах. Эйнштейн возразил:

‘Но с принципиальной точки зрения желание строить теорию только на наблюдаемых величинах совершенно нелепо. Потому что в действительности все ведь обстоит как раз наоборот. Только теория решает, что именно можно наблюдать’.

Однако этот аргумент можно обратить и против самого Эйнштейна: именно формализм случайной величины в квантовой механике определяет, что представляет собой реальное измерение. Связь квантовой механики с миром устанавливается правилом Борна. Механизм квантовой стохастичности и ее сочетание с детерминизмом по-прежнему остаются загадкой, но это не мешает продолжать экспериментальные исследования.

Список литературы

Предыдущие статьи:
Как движется броуновская частица при отсутствии измерений?
Достоверность экспериментальных измерений в квантовой механике
Эдвин Джейнс: Принцип максимума энтропии

Д. Гильберт, Избранные труды. Т. II. 1998. Математические проблемы (1901). 6. Математическое изложение аксиом физики. с. 415-416.

Alan Hájek, Interpretations of Probability, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2023. Открытый доступ.

P. H. Byrne, Statistical and causal concepts in Einstein’s early thought. Annals of Science 37, no. 2 (1980): 215-228.

М. Борн, Статистические теории Эйнштейна, В кн. М. Борн, Физика в жизни моего поколения, 1963. с. 172-188.

А. Эйнштейн, Замечания к статьям, в кн. Собрание научных трудов, 1967, т. 4, с. 294 — 315.

D. Kaiser, How the Hippies Saved Physics: Science, Counterculture, and the Quantum Revival, 2011.

В. В. Налимов, Почему мы пользуемся вероятностными представлениями при описании внешнего мира, В кн. Облик науки, 2018, с. 123 — 177.

Roger Bach et al, Controlled double-slit electron diffraction, New J. Phys. 2013, 15, 033018. Открытый доступ.

S. G. Brush, Einstein and indeterminism. Journal of the Washington Academy of Sciences 69, no. 3 (1979): 89-94.

В. Гейзенберг, Физика и философия. Часть и целое, 1989. V. Квантовая механика и беседа с Эйнштейном (1925—1926). с. 187-197.

 

Источник