Задача уровня «nightmare»: 4 случайные точки на сфере

Математическая олимпиада им. Уильяма Лоуэлла Патнема (William Lowell Putnam Mathematical Competition) — математическая олимпиада для студентов бакалавриата, обучающихся в университетах (колледжах) США и Канады. Вдохновителем олимпиады был Уильям Лоуэлл Патнем, американский юрист и банкир. Проводится Математической ассоциацией Америки ежегодно с 1938 года. Денежными призами награждаются пять лучших университетских команд (приз $25 000 за первое место) и двадцать пять студентов, лучших в личном зачете (приз $1000 за первое место).
Википедия

Длится олимпиада два раза по 3 часа, всего 12 задач по 10 баллов за каждую. Средний балл, который набирают студенты — 1 или 2. Рассмотрим одну из самых сложных задач из этой олимпиады.

image

Выберем 4 случайные точки на сфере. Какова вероятность что центр сферы будет внутри тетраэдра, образованного этими точками?

Рассмотрим двумерный вариант этой задачи.

image

Рассмотрим 3 случайные точки на окружности. Какова вероятность, что центр окружности будет внутри треугольника?

image

Можно закрепить две точки и поиграться с третьей. Легко заметить, что есть определенная зона, проекции закрепленных точек относительно центра, внутрь которой должна попасть третья точка, чтобы выполнилось условие. Окружность тем самым разделяется на 4 части. Вероятность попадания третей точки в дугу, равна отношению длины дуги к длине окружности. Какова длина дуги?

image

Вероятность колеблется от 0 до 0,5 в зависимости от расположения первых двух точек.

Какова средняя вероятность?

image

Зафиксируем первую точку и поиграемся со второй. Вероятность будет меняться от 0 до 0,5, то есть средняя вероятность будет 0,25.

Решение задачи для окружности и трёх точек — 25%.

Можно ли перенести такой подход на сферу и 4 точки?

image

Фиксируем три точки и играем с четвертой. Нарисуем проекции фиксированных точек относительно центра и плоскостями разделим сферу на 8 частей.

image

Центр сферы будет находиться внутри тетраэдра, если четвертая точка попадает на зеленый сферический треугольник, который находится «напротив» зафиксированных точек относительно центра. Каков средний размер зеленой секции?

//Дальше не придумали, импровизируй.

Можно вернуться к двумерному случаю и подумать откуда взялась 1/4. Откуда 4?

image

Можно перейти от 3 случайных точек на окружности к другой задаче. Выберем два случайных диаметра. Потом для каждого диаметра бросим монетку, выбирая тем самым, где будет точка Pi, с какого конца диаметра. Потом случайно выберем третью точку на окружности.

А потом еще хитрый ход.

Давайте сначала выберем случайным образом третью точку, а потом случайно выберем два диаметра. У нас будет 4 варианта размещения точек P2 P1:

image

Но только один из этих 4 вариантов содержит решение, когда центр окружности внутри треугольника:

image

Какую бы мы ни выбирали рандомную начальную позицию третей точки и двух диаметров, только один из вариантов содержит центр окружности внутри треугольника:

image

То как мы переформулировали задачу:

image

Со сферой получается 8 вариантов выбора точек, после того, как зафиксирована первая точка и выбраны три диаметра:

image

Только 1 из 8 удовлетворяет условию, что центр сферы внутри тетраэдра:

image

Ответ: 1/8

 

Источник

математика

Читайте также