Виды бесконечностей и вынос мозга

Эта статья — продолжение статьи про громадные числа. Но сейчас мы пойдем еще дальше — в бесконечности бесконечностей.

Для этого нам понадобится ZFC — теория множеств Zermelo, Frenkel + Choice. Choice — это аксиома выбора, самая спорная аксиома теории множеств. Она заслуживает отдельной статьи. Предполагается, что вы знаете, что такое «мощность» множества. Если нет, то погуглите, наверняка это изложено лучше, чем смогу я. Здесь я лишь напомню некоторые

Известные факты

• Мощность множества целых чисел обозначается $$. Это первая бесконечная мощность, такие множества называются счетными.
• Мощность любого бесконечного подмножества целых чисел — простые, четные итд. — тоже счетна.
• Множество рациональных чисел, то есть дробей p/q тоже счетно, их можно пройти змейкой.
• Для любой мощности есть операция powerset — множество всех подмножеств, которая создает мощность бОльшую, чем исходная. Иногда эта операция обозначается как возведение двойки в степень, то есть $$. powerset от счетной мощности есть мощность континуума.
• Мощностью континуума обладают: конечные и бесконечные отрезки, плоские и объемные фигуры, и даже n-мерные пространства целиком
• Для обычной математики следующая мощность, $$ практически не нужна, обычно вся работа происходит со счетными множествами и множествами мощности континуума

Теперь

Малоизвестные факты

В ZFC не все собрания элементов могут быть множествами. Бывают коллекции столь широкие, что позволить им быть множествами нельзя, возникают парадоксы. В частности, «множество всех множеств» не есть множество. Впрочем, есть теории множеств, где такие множества разрешены.

Дальше. Теория множеств… Каких объектов? Чисел? Яблок? Апельсинов? Как ни странно, ZFС не нуждается ни в каких объектах. Возьмем пустое множество {} и договоримся, что оно означает 0. 1 обозначим с помощью {{}}, двойку как {{{}}} итд. {5,2} есть {{{{{{{}}}}}}, {{{}}}}. С помощью целых чисел мы можем создать вещественные, а коллекции вещественных создают любые фигуры.

Таким образом, теория множеств это… как бы сказать… пустотелая теория. Это теория ни о чем. Точнее, о том как можно нестить (nest, то есть вкладывать друг в друга) фигурные скобки.

Единственная операция, которая определена в теории множеств, это $$ — символ принадлежности. А как же объединение, исключение, равенство итд.? Все это макросы, например:

$$

То есть, в переводе на русский язык, два множества считаются одинаковыми, когда при тестировании любого элемента на принадлежность к им мы будем получать одинаковые результаты

Множества не упорядочены, но это можно исправить: пусть упорядоченная пара (p,v) это {{p}, {p, v}}. Неэлегантно с точки зрения программиста, но достаточно для математика. Теперь множество всех пар param-value задает функцию, которая теперь тоже множество! Et voila! весь математический анализ, который работает на уровне языков второго порядка, так как говорит не о существовании чисел, а существовании функций — коллапсирует в язык 1 порядка!

Таким образом, теория множеств — это убогая теория без объектов и с одним значком отношения, которая обладает совершенно чудовищной силой — без каких то новых допущений она порождает из себя формальную арифметику, вещественные числа, анализ, геометрию и многое другое. Это своеобразное TOE математики.

Гипотеза континуума — CH

Существует ли мощность между $$ и $$? Это проблему не мог решить Кантор, «король математиков» Гильберт высоко оценивал ее важность, но лишь позже было доказано что эту гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Она независима от ZFC.

Это означает, что вы можете создать две разных математики: одну с ZFC+CH, другая ZFC+(not CH). На самом деле даже больше, чем две. Допустим, мы отвергнем CH, то есть будем верить, что между $$ и $$ есть еще мощности. Сколько их может быть? Одна, две? Гедель верил, что только одна. Но, как оказалось, предположение о том, что их 2, 17, 19393493 не приводит к противоречиям. Любое число, но не бесконечное!

Когда в формальной арифметике мы сталкиваемся с недоказуемым утверждением, то в силу определенных причин мы знаем, что, тем не менее, это утверждение, хоть и не доказуемо, но на самом деле либо истинно, либо ложно. В теории множеств это не работает, мы реально получаем разные математики. Как к этому относиться? Есть три философских подхода:

Формализм: а чему, собственно, удивляться? Мы задаем правила игры в символы, разные правила — разный результат. Не надо искать проблему там, где ее нет

Платонизм: Но как тогда объяснить, что совершенно разные теории, например ZFC и New Foundations, построенные по совершенно разным принципам, дают почти всегда один и тот же результат? Не говорит ли это о том, что за формулами стоит какая то реальность, которую мы изучаем? Такой точки зрения придерживался, например, Гедель

Multiverse: У нас может быть много аксиоматик, иногда дающих одинаковый результат, иногда нет. Мы должны воспринимать картину в целом — если с разными системами аксиом ассоциировать цвет, то цветное дерево следствий и есть математика. Если что-то верное везде — это белый цвет, но есть и цветные ветви.

Все выше и выше.

В дальнейшем мы, для простоты, примем гипотезу континуума, то есть $$ — это очень удобно. На самом деле мы примем и более сильную аксиому, обобщенную гипотезу континуума, что между x и powerset(x) никогда нет промежуточных мощностей. Теперь мы итерируем powerset и все просто:

$$

Как далеко мы можем продвинуться? После бесконечного количества итераций мы дойдем до $$ — бесконечная по порядку мощность! Кстати, ее существование было неочевидно Кантору. Но секунду! Ведь функция powerset всегда определена, поэтому $$ не может быть последней!

$$

Чтобы получить $$ надо повторить powerset бесконечность и еще три раза. У вас уже начало сносить крышу? То ли еще будет. Потому что снова проитерировав powerset бесконечное число раз, мы дойдем до $$, после чего, естественно, идет $$

Дойдя до бесконечности бесконечное число раз, мы получим индекс $$. Как вам такая мощность, например: $$? Пока мы итерировали powerset по списку ординалов, вот начальные ординалы:

но их значительно, значительно больше. Так что мы сразу все это пропустим и сделаем

Сразу большой шаг

Внимание! То что написано дальше, может быть опасно для вашего мозга! Мы итерировали powerset счетное число раз, а не замахнуться ли нам на континуум? Честно, меня самого немного колбасит от того, что цикл может выполняться континуум раз, но теория множеств требует существования

$$

Далее мы пойдем быстрее:

$$

У последнего алефа индекс ноль, но местный latex не дает его поставить — слишком много уровней. Но главное вы поняли, какую бы новую чудовищную мощность мы бы не создали, мы можем сказать — ага, это всего лишь повторитель, и поставить всю эту конструкцию к новому алефу в виде индекса. Теперь мощности растут как снежный ком, нас не остановить, пирамида алефов все выше, и мы можем создать любую мощность… Или нет?

Недостижимые мощности

Что если есть мощность настолько большая, $$, что как бы мы ее ни пытались достичь «снизу», выстраивая конструкции из алефов, мы ее не достигнем? Оказывается, существование такой мощности независимо от ZFC. Вы можете принять ее существование или нет.

Я слышу шепот «бритва Оккама»… Нет, нет. Математики придерживаются противоположного принципа, который называется онтологический максимализм — пусть существует все, что возможно. Но существуют еще как минимум две причины, почему эту гипотезу хочется принять.

• Во первых, это не первая недостижимая мощность, которую мы знаем. Первая… это всем знакомая счетная мощность. Как ни странно, она обладает всеми свойствами недостижимой — просто ее не принято так называть:
• Бесконечную мощность никак не получить «снизу» — ни добавляя элементы конечное количество раз, ни итерируя powerset() конечное число раз, используя конечные множества для затравки, бесконечности вы не получите. Чтобы получить бесконечность, вы где-то должны уже иметь ее.
• Существование бесконечной мощности вводится специальной аксиомой — аксиомой бесконечности. Без нее существование бесконечной мощности недоказуемо.

Второе: если отвергнуть аксиому бесконечности, то мы получим FinSet, простую игрушечную теорию множеств с конечными множествами. Давайте выпишем все эти множества (так называемая модель теории)

{}
{{}}
{{{}},{}}
{{{{}}}}
{{{{}}},{{}}}
{{{{}}},{{}}}
{{{{}}},{{}},{}}
…

И получим… бесконечное множество конечных множеств… То есть, модель теории конечных множеств бесконечна, и играет в ней роль «множества всех множеств». Может быть, это поможет понять, почему теория не может говорить о «множестве всех множеств» — такое множество всегда существует как модель вне теории и обладает другими свойствами, чем множества внутри. Вы не можете добавить в теорию конечных множеств бесконечное.

И да, $$ это «множество всех множеств» теории ZFC. В этом видео в конце очень красиво сказано про недостижимую мощность, но нам пора дальше.

Еще дальше.

Разумеется, мы моем пойти дальше, итерируя $$. Пройдя все описанные этапы, построив огромные башни повторителей, мы снова упремся в недостижимый кардинал (но теперь нам не нужны новые аксиомы, с аксиомой существования недостижимой мощности, которую мы только что добавили, это стало доказуемо). И снова и снова.

$$

Заметьте, что теперь стрелка у нас имеет смысл не как выполнение функции Powerset(), а GetNextInaccessible(). В остальном все выглядит очень похоже, мы имеем:

$$

Теперь то мы точно достигнем чего угодно… Или нет?

Иерархия больших мощностей.

Да, с помощью GetNextInaccessible мы упремся уже в гипер-недостижимую мощность. Существование ее требует принять еще одну аксиому. Есть и гипер-гипер-недостижимые мощности. И так далее. Но есть и другие способы определять мощности, не только через недостижимость:

За каждой ссылкой стоит, как правило, целая бесконечная иерархия с произвольным количеством приставок hyper- и повторителей. Однако, общее количество формул, определяющие недостижимые кардиналы, не такое уж большое — ведь количество формул счетно!!! Поэтому рано или поздно они кончатся. Там, где они кончаются, проведена красная черта. Все, что ниже этой черты, определяется более зыбко, хотя и формально.

Сама красная черта обозначает конец вселенной Геделя (но не забываем, что Гедель создал ДВЕ разные вселенные) — вселенная множеств, конструируемых «снизу» с помощью формул. Мощности выше красной черты называются хм, «малыми», а ниже — большими:

Главная идея в них в том, что вселенная множеств становится столь большой, что начинает повторять себя в разных смыслах. Каждая строчка, как всегда, требует отдельной аксиомы, и нескольких. И что еще интереснее, все это не настолько бесполезно, как вы могли подумать. Например, самая сильная аксиома (rank-into-rank), в самой нижней строчке, нужна, чтобы доказать факт о табличках.

Ниже опрос, последний вариант выбора расшифрован тут.