У всех должны быть числа… Не так ли?
Пришельцы прибывают на звездолете. Конечно, можно подумать, чтобы обладать всеми этими технологиями, они должны иметь представление о числах. Или, может быть, можно найти изолированное племя глубоко в джунглях. Несомненно, они тоже должны иметь представление о числах. Нам числа кажутся настолько естественными — и «очевидными», что трудно представить, что ни у кого их не было бы. Но если копнуть немного глубже, все не так ясно.
Говорят, что есть человеческие языки, в которых есть слова, обозначающие «один», «пара» и «много», но нет слов для конкретных больших чисел. В нашем современном технологическом мире это кажется немыслимым. Но представьте, что вы находитесь в джунглях со своими собаками. У каждой собаки есть определенные характеристики и, скорее всего, определенное имя. Зачем вообще думать о них вместе, как о всех «просто собаках», поддающихся подсчету?
Представьте, что у вас есть сложный искусственный интеллект. Может, это часть звездолета. И в нем происходит такое вычисление:
Где здесь числа? Что тут считать?
Давайте немного изменим правило вычислений. Вот что мы получаем:
И теперь у нас появляется кое-что, где числа кажутся более полходящими. Мы можем выделить несколько структур. Они не все одинаковы, но у них есть определенные общие характеристики. И мы можем представить, что описываем то, что видим, просто говоря, например, «Есть 11 объектов…».
Что лежит в основе идеи чисел?
Собаки. Овцы. Деревья. Звезды. Неважно, что это за вещи. Если у вас есть коллекция, которая, как вы считаете, состоит из одних и тех же вещей, вы можете представить себе, как произвести их подсчет. Просто рассмотрите каждую из них по очереди, на каждом этапе применяя какую-либо конкретную операцию к последнему результату вашего подсчета, чтобы в вычислительном отношении вы выстроили что-то вроде этого:
Для наших обычных целых чисел мы можем интерпретировать s как «функцию-преемник» или «добавить 1». Но на фундаментальном уровне все, что действительно имеет значение, — это то, что мы свели рассмотрение каждой из наших исходных вещей по отдельности до простого многократного применения одной операции, которая дает цепочку результатов.
Однако, чтобы добраться до этого момента, необходимо сделать важный шаг на раннем этапе: у нас должно быть какое-то определенное понятие «вещей» — или, по сути, понятие отдельных объектов. Наш повседневный мир, конечно, полон ими. Есть разные люди. Определенные жирафы. Определенные стулья. Но это становится намного менее ясным, если мы думаем, например, об облаках. Или порывах ветра. Или абстрактных идеях.
Так что же позволяет нам идентифицировать некую определенную «исчисляемую вещь»? Каким-то образом «вещь» должна иметь определенное существование — некоторую степень постоянства или универсальности и некоторую способность быть независимой и отделенной от других вещей.
Мы можем представить себе множество различных критериев. Но есть один общий подход, который нам, людям, очень хорошо знаком: то, как мы говорим о «вещах» на человеческом языке. Возьмем некоторую визуальную сцену. Но когда мы описываем это на человеческом языке, мы, по сути, всегда придумываем символическое описание сцены.
Там кластер оранжевых пикселей. Вон там коричневые. Но на человеческом языке мы пытаемся свести все эти детали к гораздо более простому символическому описанию. Вон там стул. Стол вон там.
Не очевидно, что мы сможем провести такую «символизацию» каким-либо имеющим значение образом. Но что делает это возможным, так это то, что части того, что мы видим, достаточно воспроизводимы, чтобы мы могли считать их «такими же вещами» и, например, давать им определенные имена на человеческом языке. «Это стол, это стул, и т.д.»
Есть сложный цикл обратной связи, о котором я писал в другом месте. Если мы видим что-то достаточно часто, имеет смысл дать этому название («это куст»; «это гарнитура»). Но как только мы дадим вещи имя, нам будет намного легче говорить и думать об этом. И поэтому мы склонны находить или создавать больше того, что будет более распространенным в нашей среде и более привычным для нас.
Говоря абстрактно, не очевидно, что «символизация» возможна. Может случиться так, что фундаментальное поведение мира всегда будет порождать все больше и больше разнообразия и сложности и никогда не будет производить какие-либо «повторяющиеся объекты», которым, например, можно было бы разумно дать последовательные имена.
Можно представить себе, что, как только кто-то поверит, что мир следует определенным законам, неизбежно возникнет достаточная регулярность, чтобы гарантировать возможность «символизации». Но это игнорирует феномен вычислительной несводимости.
Рассмотрим правило:
Можно представить, что с помощью такого простого правила мы неизбежно сможем описать действие, которое оно производит, простым способом. И да, мы всегда можем воспользоваться правилом, чтобы понять, какое действие оно вызывает. Но фундаментальный факт вычислительной вселенной заключается в том, что результат не должен быть простым:
И в целом мы можем ожидать, что действие будет вычислительно неразложимым, в том смысле, что невозможно воспроизвести его без эффективного отслеживания каждого шага в применении правила.
С таким действием
Вполне возможно представить полное символическое описание происходящего. Но как только появится вычислительная несводимость, это станет невозможным. Не будет возможности получить «сжатое» символическое описание всего действия.
Так почему же нам удается так много описывать языком «символическим» способом? Оказывается, даже когда система — такая как наша Вселенная — принципиально неприводима в вычислительном отношении, неизбежно, что у нее будут «карманы» вычислительной сводимости. И эти карманы вычислительной сводимости критически важны для того, как мы действуем во Вселенной. Потому что они позволяют нам иметь целостное восприятие мира, когда все случается предсказуемо в соответствии с определенными законами и так далее.
И эти карманы также означают, что — даже если мы не можем описывать вещи символически, — всегда существует что-то, что мы можем описать. И мы можем ожидать, что концепция чисел будет полезной.
Продолжение следует…
