Наглядная Великая теорема Ферма: эллиптические кривые, кривые Фрея, теория Ивасавы и когомологии

В одном из наших недавних материалов мы представили гипотезу Пуанкаре в иллюстрациях.

В текущей публикации мы подготовили наглядную компьютерную визуализацию ключевых этапов и фундаментальных концепций доказательства Великой теоремы Ферма, которое было успешно осуществлено британским математиком Эндрю Уайлсом в 1995 году.

Классическая формулировка Великой теоремы Ферма предельно лаконична:

Теорема утверждает, что для любого натурального числа n>2 уравнение

a^n+b^n=c^n не имеет решений в целых ненулевых числах a,b,c

Источник:[1]

Она обладает поистине легендарной историей: Пьер Ферма записал её на полях книги в 1637 году в следующем виде:

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Источник:[1]

Впоследствии поколения профессиональных математиков и энтузиастов безуспешно пытались отыскать то самое «простое» рассуждение, поскольку в подлинных записях Ферма оно обнаружено не было (сам он справился лишь с частным случаем n=4). Это утверждение по праву удерживает пальму первенства по числу предложенных ошибочных доказательств.

Эйлер в 1770 году подтвердил теорему для n=3, Дирихле совместно с Лежандром — в 1825 году для n=5, а Ламе — для n=7. Куммер установил справедливость теоремы для всех простых n, не достигающих 100, за исключением потенциальных иррегулярных простых чисел 37, 59 и 67.

Источник:[1]

И лишь в 1995 году, после семи лет изнурительного труда в режиме строгой изоляции, британский математик Эндрю Уайлс обнародовал свой монументальный 130-страничный труд (источник 2) в престижном издании «Annals of Mathematics». Эта работа завершила доказательство гипотезы Таниямы — Симуры, из которой напрямую вытекает Великая теорема Ферма (первичная редакция 1993 года содержала неточность, однако совместные усилия Уайлса и Тейлора позволили устранить изъян, после чего исправленный вариант успешно прошел независимое рецензирование).

Разумеется, в рамках данной статьи мы не станем построчно препарировать столь масштабный научный труд — его глубинную суть (подобно доказательству гипотезы Пуанкаре) во всем мире способна полностью постичь едва ли тысяча специалистов. Вместо этого мы попытаемся на популярном уровне выделить опорные шаги и основные моменты его адаптированной версии, представленной здесь.

Шаг 1:

Мы стартуем с допущения (методом от противного), что Великая теорема Ферма ошибочна. Это подразумевает существование как минимум одного ненулевого набора чисел (a,b,c,n) (где все компоненты рациональны, а n>2 является простым числом), удовлетворяющего равенству

a^n+b^n=c^n.

Источник: [4], перевод с английского.

Шаг 2:

Исходя из теоремы Рибета (основанной на изысканиях Фрея и Серра), гипотетическое решение (a,b,c,n) позволяет сконструировать полустабильную эллиптическую кривую Фрея E, которая заведомо не является модулярной.

Источник: [4], перевод с английского.

Шаг 3:

Прежде всего Уайлс выводит вспомогательное утверждение о гамусовых представлениях: если полустабильная эллиптическая кривая E обладает модулярным представлением Галуа ρ(E,p), то и сама эта кривая обязана быть модулярной.

Данный подход чрезвычайно удобен по двум причинам: он оптимизирует вычислительные процедуры и, что принципиально важно, для доказательства модулярности представления достаточно подтвердить ее лишь для единственного простого числа p. При этом разрешено задействовать *любое подходящее простое число*, что существенно облегчает задачу.

Источник: [4], перевод с английского.

Шаг 4:

Изначальная тактика Уайлса строилась на сопоставлении с помощью метода математической индукции и формулы числа классов (CNF): если гипотеза справедлива для одной эллиптической кривой, она автоматически транслируется на все прочие. Именно на этом направлении исследователь столкнулся с барьерами — сначала в рамках классической теории Ивасавы, а затем при попытке использовать ее обобщение Коливагина — Флэча.

Источник: [4], перевод с английского.

Шаг 5:

На этом этапе доказательство обнажает важнейшее свойство представлений Галуа: если геометрическое представление ρ(E,p) полустабильной эллиптической кривой E является неприводимым и модулярным (при некотором простом p>2) в сочетании с выполнением ряда технических критериев, то сама кривая E модулярна. Это так называемая *теорема Уайлса о поднятии* (или *теорема о поднятии модулярности*), ставшая революционным прорывом своей эпохи.

Источник: [4], перевод с английского.

Шаг 6:

Успешно доказав теорему о поднятии, мы возвращаемся к исходной проблеме. Все полустабильные эллиптические кривые классифицируются по признаку приводимости их представлений Галуа, после чего к ним применяется мощный аппарат поднятия.

Как отмечалось ранее, выбор конкретного простого числа не принципиален — допустимо использовать любое, с которым удобнее оперировать. Число 3 является наименьшим простым после 2, к тому же теория представлений для ρ(E,3) уже имела определенный задел, так что выбор тройки выглядел логично. Уайлс установил, что модулярность проще доказывать при p=3 для неприводимых представлений, тогда как в случае приводимости эффективнее переключаться на p=5. На этом рубеже рассуждение разветвляется.

Источник: [4], перевод с английского.

Шаг 7:

Обратимся к сценарию, когда ρ(E,3) (при p=3) является неприводимым. Еще с начала 1980-х годов было известно, что в подобных обстоятельствах представление автоматически оказывается модулярным. Уайлс оперативно закрывает этот случай с помощью своей теоремы о поднятии модулярности:

• Если представление ρ(E,3)

   неприводимо, то автоматически гарантируется его модулярность (согласно Лэнглендсу и Таннеллу), но…

• … из одновременной неприводимости и модулярности представления следует модулярность самой кривой E (благодаря теореме о поднятии).

  Фундаментальный результат Лэнглендса — Таннелла был опубликован в начале 1980-х годов в виде двух отдельных статей.

  Источник: [4], перевод с английского.

Шаг 8:

Рассмотрим альтернативный вариант, когда ρ(E,3) приводимо. Уайлс обнаружил, что в этой ситуации проще задействовать p=5 и привлечь новый инструмент поднятия для доказательства модулярности ρ(E,5), нежели пытаться напрямую установить модулярность ρ(E,3) (помним, что достаточно подтвердить свойство хотя бы для одного простого числа).

Источник: [4], перевод с английского.

Шаг 8.1:

Если оба представления, ρ(E,3) и ρ(E,5), оказываются приводимыми, Уайлс строго обосновал модулярность ρ(E,5).

Источник: [4], перевод с английского.

Шаг 8.2:

Финальный сценарий: ρ(E,3) приводимо, тогда как ρ(E,5) неприводимо. В этом случае Уайлс доказал возможность отыскания другой полустабильной эллиптической кривой F, обладающей неприводимым представлением ρ(F,3), причем представления ρ(E,5) и ρ(F,5) оказываются изоморфными (структурно идентичными). Первое свойство гарантирует модулярность кривой F (в силу тех же результатов Лэнглендса и Таннелла для неприводимых представлений при p=3). Из модулярности F немедленно вытекает модулярность ρ(F,5).

Источник: [4], перевод с английского.

Шаг 8.3:

Таким образом, при приводимости ρ(E,3) мы гарантируем модулярность ρ(E,5). А раз представление ρ(E,5) модулярно, то теорема о поднятии модулярности утверждает модулярность самой кривой E.

Источник: [4], перевод с английского.

Шаг 9:

В результате мы доказали, что независимо от характера представления ρ(E,3) любая полустабильная эллиптическая кривая E неизменно является модулярной. Следовательно, все полустабильные эллиптические кривые модулярны. Отсюда следует:

(а) подтверждение гипотезы Таниямы — Симуры — Вейля для полустабильных эллиптических кривых и

(б) в силу невозможности логического противоречия доказывается несуществование кривых Фрея. А раз таковых нет, не могут существовать и нетривиальные решения уравнения Ферма.

Источник: [4], перевод с английского.

Дополнительно проиллюстрируем важнейшие составляющие доказательства:

Группы когомологий:

Алгебры Гекке:

Кольца Горенштейна (симметричность ряда Гильберта при условии градуированности отражает его самодвойственность):

Группы Сельмера:

Стоит подчеркнуть, что за решение этой величайшей задачи Эндрю Уайлс был удостоен высочайших почестей:

он был награжден Абелевской премией (наиболее престижной наградой в мире математики, сопоставимой по статусу с Нобелевской) и возведен в рыцарское достоинство.

Вывод: таким образом, мы постарались в сжатом и доступном для широкого круга читателей формате визуализировать упрощенную логическую схему доказательства Великой теоремы Ферма.

Данный материал служит прекрасным примером того, как можно переводить сугубо абстрактные, сложные для восприятия математические концепции на язык наглядных образов и доступных объяснений.

Публикация носит исключительно научно-популярный и ознакомительный характер.

Автор не обладает профильным физико-математическим образованием и не позиционирует себя как профессионального математика!

Если подобное задание включить в школьный экзамен, это неминуемо приведет к коллапсу всей системы — у меня самого от таких перспектив сдают нервы!

Литература:

1.https://ru.wikipedia.org/wiki/Великая_теорема_Ферма

2.https://annals.math.princeton.edu/1995/141-3/p01

3.https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_о_модулярности

4.https://en.wikipedia.org/wiki/Wiles’s_proof_of_Fermat’s_Last_Theorem

5.https://ru.wikipedia.org/wiki/Уайлс,_Эндрю

 

Источник