Квадратура круга: наглядное доказательство

Словесные доказательства с трудом даются тем, кто привык мыслить визуально. Поэтому в математике так важна визуальная интуиция. Доказательства из таких пособий, как и «Евклид Начала: первые 6 книг» и «Доказательства без слов: учебник по визуальному мышлению» даются пониманию при взгляде на их страницы. Я рекомендую эти книги к прочтению каждому, кто интересуется доказательствами других математических проблем.

К примеру, мы помним из школьного курса, что площадь круга вычисляется по формуле π x r², но можем ли мы доказать, что эта формула справедлива для каждой возможной окружности?

Величайший из математиков Евклид нашёл доказательства этой формулы настолько простое, что теперь студенты изучают начала интегрального исчисления по нему. Евклид рассуждал так: круг можно поделить на четыре, шесть, шестнадцать, или бесконечно много равных частей, а потом расставить их так, чтобы получился прямоугольник.

Первое что нам нужно сделать — начертить окружность. Затем, мы разделим круг на 8 равных частей и расставим их в похожую на прямоугольник форму. Мы почти получили прямоугольник.

Повторим процесс, на этот раз с 32 равными частями. Если расставить их таким же образом как в предыдущем примере, то мы получим что-то ещё более похожее на прямоугольник.

Это значит, что если разделить круг на ещё больше равных частей — происходит удивительное, форма начинает приближаться к идеальному прямоугольнику.

Насколько много должно быть частей чтобы получить идеальный прямоугольник? Для этого его части должны быть бесконечно малыми — такими, что невозможно различить толщину, и стороны становятся почти вертикальными.

Мы знаем, что площадь прямоугольника это его ширина x высота. Высота прямоугольника будет равна радиусу окружности. Чтобы найти ширину, нужно знать длину окружности. Если сравнить ширину прямоугольника и окружность, видно, что ширина это две половины от длины окружности. Для длины окружности равной 2πr следует, что ширина должна быть πr.

Выражение ширина x высота означает тоже самое что π x r x r. Иными словами — квадрат радиуса, умноженный на π, то есть πr². Это и есть искомый прямоугольник, площадь которого равна площади круга.

Таким образом, πr² может использоваться для вычисления площади любой из существующих окружностей.