Симплектическая геометрия – относительно новая область знаний, оказывающая влияние на большую часть современной математики. И вот, в чём она заключается.
В начале XIX века Уильям Роуэн Гамильтон обнаружил новое геометрическое пространство с практически волшебными свойствами. Оно кодировало движение и математику в едином красивом геометрическом объекте.
Из этого явления выросла область знаний под названием симплектическая геометрия. В последние несколько десятилетий она выросла из нескольких коллекций идей до динамически развивающейся области исследований с глубокими связями с таким количеством тем из математики и физики, которое Гамильтон вряд ли мог себе представить.
Симплектическая геометрия, по сути – это изучение геометрических пространств симплектические структуры. Однако нужно пояснить, что означает, что у пространства есть структура – не говоря уже о какой-то конкретной структуре.
Геометрические пространства могут быть гибкими, как брезент, или жёсткими, как палатка. «Брезент – штука податливая, но если взять кучу палок, организовать для него каркас, то получается более устойчивая конструкция», — сказала Эмми Мёрфи из Северо-Западного университета.
Менее структурированные пространства – это просто набор соединённых точек (что-то вроде брезента). Прямая – пример одномерного пространства такого рода. Поверхность шара – двумерный пример. Поскольку в этих пространствах нет структуры, их легко деформировать, не меняя на фундаментальном уровне. Искривите прямую; надуйте, сомните, скрутите шар – с точки зрения топологии, изучающей неструктурированные пространства, они не поменяются.
«С точки зрения топологов, начав с поверхности шара, можно растягивать её как угодно, и пока вы её не порвёте, для них это пространство не меняется», — сказала Айлса Китинг из Кембриджского университета. «Им интересны общие характеристики фигуры».
Естественно, когда математики рассуждают о деформации пространства, они не имеют в виду изменение его вручную. Они меняют пространства при помощи функций: в функцию входят координаты точки, а выходят координаты новой точки. Подобные преобразования переводят любую точку пространства в новую. Это математический эквивалент встряхивания брезента.
В пространство можно добавить структуру. Эта структура усиливает информацию, содержащуюся в пространстве, одновременно ограничивая возможности по его деформированию.
Неструктурированное пространство: поверхность шара – двумерное пространство. Отсутствие структуры даёт обширные возможности по его деформированию, не изменяющие его топологические свойства.
Добавляем структуры: добавив к пространству метрическую структуру – допустим, как линии широты и долготы на глобусе – мы сможем измерять расстояния между точками. Но тогда останется лишь небольшой набор вариантов деформации объекта, не нарушающих эти расстояния.
Можно, например, добавить на поверхность шара метрическую структуру, как линии широты и долготы на глобусе. Подобная структура позволит нам измерять расстояния между точками. Но после её применения уже нельзя будет надуть или смять шар, не поломав изначальной структуры – ведь тогда мы поменяем расстояния между точками. Если мы надуем шар, расстояние между Нью-Йорком и Лондоном, к примеру, увеличатся.
Мы можем добавить и ещё один вид структуры – симплектический. Он даёт нам возможность измерять площади в пространстве, и позволяет изменять форму пространства так, чтобы эти площади не менялись.
Первый пример такого пространства Гамильтон нашёл, изучая физические системы – к примеру, движения планет. При движении планеты в пространстве её местоположение определяется тремя координатами, определяющими её положение по осям x, y и z. Точки, обозначающие все возможные местоположения планеты, формируют трёхмерное пространство.
Гамильтон обнаружил, что каждой точке этого трёхмерного пространства можно назначить три дополнительных координаты, обозначающих величину импульса планеты по трём осям. Назовём их xm, ym и zm. Теперь у нас есть шесть координат: три для местоположения и три для импульса. Эти шесть координат определяют точку в новом шестимерном пространстве.
У нас есть шесть координат: три для местоположения и три для импульса. Эти шесть координат определяют точку в новом шестимерном пространстве.
Это шестимерное пространство – пример пространства с симплектической структурой, поскольку в нём есть возможность измерения площадей. И вот, как это работает.
В каждой точке пространства можно нарисовать шесть векторов (направленных стрелочек), соответствующих направлению движения или импульсу планеты вдоль того измерения, куда указывает вектор. Поскольку два вектора образую параллелограмм – двумерное пространство с ненулевой площадью – можно взять два вектора и измерить эту площадь.
Чтобы гарантировать, что величина получится ненулевой, нужно брать определённые части векторов – обозначающих направление движения и импульс вдоль одной и той же оси. Несоответствующие вектора, к примеру, вектор направления движения по оси z вместе с вектором импульса по оси y дают параллелограмм с нулевой площадью.
Такие пары векторов также отражают ещё одно важное свойство симплектического пространства – их связь с комплексными числами. В этих числах есть i, квадратный корень из -1, и они имеют вид a + bi, где a – действительная часть, а b – мнимая. Один из способов определить шестимерное симплектическое пространство – задать три комплексных числа, две части каждого из которых дают по одной координате. Две этих части также соответствуют двум векторам, которые мы объединяем для измерения площади.
Так что для каждой точки, к примеру, отложенные по оси x вектора направления движения и импульса не только дают способ измерить площадь, но и составляют одно из трёх комплексных чисел, определяющих пространство. Эта взаимосвязь отражается в названии, ведь «симплектический» происходит от греческого слова sumplektikós, что значит то же самое, что латинское complex – «переплетённые вместе». Название отражает сплетение симплектической структуры и комплексных чисел.
Также это одна из основных причин, по которым симплектическое пространство захватывает воображение математиков. «Математики уже и так интересовались комплексными числами, и движениями планет, — сказала Мёрфи. – Поэтому если вы расскажете математику о существовании геометрии, которая показывает, почему две эти вещи являются разными проявлениями единой базовой структуры, он, конечно же, заинтересуется этим вопросом».
Симплектическая геометрия изучает преобразования пространств, сохраняющие их симплектическую структуру и не меняющие величину площадей. Такое ограничение даёт не очень большую свободу действий для разрешённых преобразований. В итоге симплектическая геометрия занимает промежуточное место между гибкой топологией брезента и жёсткой геометрией палатки. Преобразования, сохраняющие симплектическую структуру, называются в честь первооткрывателя, гамильтоновыми диффеоморфизмами.
Однако Гамильтон открыл лишь первый пример симплектического пространства, и останавливаться на этом причин не было. Вскоре математики начали задумываться о том, как могут выглядеть симплектические явления в геометрических пространствах, не связанных с физическим миром.
«Математики всегда стремятся к обобщениям, мы хотим спросить: как бы выглядела классическая механика, если бы мы жили не в трёхмерном, а в восьмимерном пространстве?» – сказала Мёрфи.
Владимир Игоревич Арнольд выдвинул несколько основных гипотез в области симплектической геометрии
В 1960-х годах Владимир Игоревич Арнольд выдвинул несколько влиятельных гипотез, описывающих определённые свойства симплектического пространства, делающие их более твёрдыми по сравнению с обычными топологическими. Одна из них, гипотеза Арнольда о неподвижных точках симплектоморфизмов, предсказывает, что у гамильтоновых диффеоморфизмов есть неожиданно большое количество «неподвижных» точек, не меняющих своего местоположения во время преобразований. Изучая их, можно точно сказать, что отличает симплектическое пространство от других видов геометрических пространств.
В конце 1980-х немецкий математик Андреас Флоер разработал гомологию Флоера, мощную платформу, которой сегодня математики пользуются для исследования симплектических явлений. Она использует т.н. псевдоголоморфные кривые, косвенным образом позволяющие математикам подсчитывать количество неподвижных точек, определяя некое минимальное их число, которое должно быть у симплектического пространства.
«Гомология Флоера позволяет доказать, что нельзя просто отбросить неподвижные точки, — сказала Китинг. – Она позволяет доказать, что эти точки обязаны там быть».
С развитием теории симплектической геометрии обнаруживались связи со всё более растущим спектром тем в математике и физике, от теории струн до маломерной топологии и изучения сбивающей с толку математической дуальности под названием «зеркальная симметрия». Один из недавних примеров применения симплектической геометрии – решение топологической задачи о квадратных колышках.
Однако для многих математиков притягательность симплектической геометрии почти не связана с её пересечениями с физикой или другими областями математики. Они считают чудом само её существование. «Мы начинаем находить красоту в самой структуре, вне зависимости от её связей с чем-либо ещё», — сказала Мёрфи.
