В технологии зеркальных движений (технологии D-SELF) анализировались природные движения от землетрясений до глобальных вихрей в атмосфере и океане. Было установлено, что «зеркальность» связана с пространственно-временной симметрией относительно особых точек (центров симметрии), разделяющих движения на устойчивые зеркально-сопряженные интервалы. Особыми точками могут являться точки пересечения (встречи) движущихся объектов, либо значения критических параметров, таких как предельные скорости движения объектов, либо физические константы (например, скорость звука) и другие локальные параметры..
Общие центры симметрии D-SELF позволили объединить несвязанные (на первый взгляд) движения различных объектов, и представляли загадку, которая не находила решения в рамках обычной логики причинно-следственных связей.
Одно из решений проблемы пришло с неожиданной стороны – из древнегреческой физики.
Аристотель анализировал задачу с парадоксами движений. Например, в апории Зенона, где Ахиллес догонял черепаху, он детально исследовал точку встречи участников движения. Любопытно, но данная точка оказалась центром симметрии D-SELF, связывающим движения Ахиллеса и черепахи «зеркальным» сопряжением.
Ниже показано, как задача Аристотеля на простом примере раскрывает новые (зеркальные) свойства движения, которые могут использоваться в алгоритмах и кодах информационных технологий.
Новые свойства были заложены в основу D-SELF алгоритма, который использовался для анализа движений самых разных объектов, таких как, молекулярные машины, транспортные потоки, вращающиеся роторы, товарно-денежные ресурсы и многие другие объекты..
Зеркальные движения у Аристотеля и в координатах D-SELF
В одной из апорий Зенона, «афинский олимпиец» Ахиллес на большой скорости догоняет медленно ползущую черепаху. Если рассматривать (наблюдать) совместное движение обоих участников, то в системе координат наблюдателя, Ахиллес и черепаха встретятся в определенной точке с расчетными пространственно-временными координатами.
Физически, противоречия не возникает, так как движения Ахиллеса и черепахи – непрерывны. При этом, каждый из них преодолеет определенные интервалы пути и времени от старта до точки встречи. Зная координаты точек старта и скорости движения, не составит труда узнать, где и когда наступит точка встречи, то есть определить конечные интервалы пройденного пути и затраченного времени. .
Если математически разложить непрерывное движение на дискретные интервалы, то полный (искомый) интервал между стартом и точкой встречи будет равен сумме членов бесконечного ряда уменьшающихся интервалов, и Ахиллесу никак не догнать черепаху – как бы он ни старался! Длины пространственных и временных интервалов ряда будут стремиться к нулю, но конечная точка встречи, несмотря на сближение бегуна и животного, никогда не наступит. Зенон описал задачу с этим парадоксом, и ушел в небытие. Аристотель задумался, и через сто лет вернулся к истории Зенона, применив свой, проверенный опытом аппарат логики и силлогизмов.
Опуская критику Зенона Аристотелем, последний из них, вплотную подошел к особой модели движения с системой координат, начало которой попадает в точку встречи Ахиллеса и черепахи.
По Аристотелю, оба участника движения двигались в направлении попутного движения. При этом, пространственные и временные интервалы дискретизации располагались по одну сторону от точки встречи – со стороны попутного движения. Если изменить условия задачи Зенона, и представить встречное движение Ахиллеса и черепахи, то интервалы дискретизации обоих движений оказываются зеркально-сопряженными по обе стороны от точки встречи.
Исследования показали, что в обоих случаях попутного и встречного сближения сохранялась устойчивая «зеркальность» пространственных и временных интервалов, которая аналитически описывалась общим пакетом переменных движения.
Далее представлены три задачи сближения бегущего Ахиллеса и ползущей черепахи, где будет доказано, как различные сценарии движения участников управляются из единого кластера — пакета D-SELF зеркально- сопряженных переменных.
Сценарий Ⅰ . Сближение Ахиллеса и черепахи в интервале t0 . .
Пусть Ахиллес со скоростью VА = 45 км/час бежит к черепахе, которая уползает от него со скоростью VЧ = 0.3 км/час. .
Например, если исходное расстояние между спринтером Ахиллесом и животным равно Sab = SА – SЧ = 300 м, то нетрудно посчитать, что при скоростях VА = 45 км/час и VЧ = 0.3 км/час, они встретятся через t0 = 24.16 сек, преодолев пути SА = 302 м и SЧ = 2.01 м.
Для дальнейшего совместного анализа движения введем общие характеристики, например, сопряжения пути и времени от старта до финиша, и сопряжения скоростей :
S0 = (SA SЧ)0.5 , t0 = (tA tЧ)0.5 , V0 = (VA VЧ)0.5 ,
где: — SA ,SЧ и tA, tЧ – путь и время участников от старта до точки встречи;
— S0 , t0 и V0 – расчетные значения центров сопряжения зеркальной симметрии.
Зенон и Аристотель, масштабировали пути SА и SЧ интервалами, размеры которых последовательно «сжимались» при приближении к точке встречи. Очевидно, данная точка соответствует особой (важной) границе раздела движений Ахиллеса и черепахи. Разместим в этой точке начало абсолютной координатной системы D-SELF для совместного анализа быстрого (Ахиллес) и медленного (черепаха) движений.
Система координат, у которой начало совпадает с точкой встречи участников, далее будет использоваться в алгоритме D -SELF, где реализуются зеркально-сопряженные движения.
В абсолютной системе координат D-SELF на траекториях Сценария Ⅰ (траектории a0 и b0 ), эффект «зеркальности» интервалов пути сближения Ахиллеса и черепахи проявляется более отчетливо, чем у Аристотеля в кинематической задаче движения.
Зеркальная линия определяет геометрическую симметрию движений.
Путем несложных преобразований покажем, что зеркальные интервалы движения Ахиллеса и черепахи численно равны по модулю.
Оба участника перемещаются в общем временном интервале .
t0 = SА /VА = SЧ /VЧ ,
преодолев который, они достигнут точки встречи 0.
Для анализа движения вдоль траекторий а0, b0 и g0 введем текущие интервалы пути (Si) и времени (ti), которые описывают движение Ахиллеса и черепахи от старта до точки встречи:
0 < SiA < SA , 0 < SiЧ < SЧ , 0 < Si0 < S0
при ti0 = tiА = tiЧ ,
где: Si0 – текущий интервал симметрии на траектории g0 зеркальной линии, вдоль которой «движется» расчетная точка g.
На всем протяжении от старта до финиша в точке встречи, текущие интервалы пути SiА ,SiЧ для каждого значения i будут «зеркально» сопряжены относительно текущего центра симметрии Si0 при помощи связи .
Si0 = (SiA SiЧ)0.5 ,
откуда следует равенство модулей зеркальных интервалов пути Ахиллеса и черепахи.
lg (SiA / S0) = — lg (SiЧ / S0) ,
представляющее собой полное зеркальное отражение движений в аналитическом виде.
В развиваемом подходе текущие интервалы — это координатные отрезки непрерывного сжатия пути и времени при движении Ахиллеса и черепахи между стартом и финишем.
Анализ движения путем текущих интервалов принципиально отличается от координатного описания локального объекта в виде точки. Имеется в виду интервальное, а не точечное движение объекта. На первый взгляд, эти два метода различаются лишь математически, и в итоге должны привести к общему результату. Однако, как будет показано ниже, интервальный метод (в отличие от точечного) позволил синтезировать общую группу переменных (переменных D-SELF), которая объединяет локальные кластеры (множества) из различных движений (траекторий).
Сценарий Ⅱ. Сближение Ахиллеса и черепахи в интервале S0 . .
В предыдущей задаче рассматривалось движение участников в границах общего временного интервала t0. Чтобы оценить полученные результаты, рассмотрим подобную задачу, но только в границах общего интервала пути S0.
Изменим начальные условия, связанные со стартом движения Ахиллеса и черепахи. Основным отличием от Сценария Ⅰ, где точки старта разнесены в пространстве и совмещены во времени, в Сценарии Ⅱ участники стартуют из общей точки пространства, но в разные моменты времени.
На временной оси, из точки d черепаха стартует первой. Затем через время tdc = tЧ — tА , из точки c начинает движение Ахиллес. В итоге, оба участника преодолевают расстояние S0 за разное время с различными скоростями :.
S0 = VА tА = VЧ tЧ.
В абсолютной системе координат D-SELF хорошо видно, как организуется режим движения по Сценарию Ⅱ, при котором «зеркально» отражаются временные интервалы внутри общего интервала пути.
На общем пространственном интервале S0 , текущие временные интервалы tiА Ахиллеса и tiЧ черепахи, отраженные от зеркальной линии, на траекториях с0 и d0 связаны:
ti0 = (tiA tiЧ)0.5
при SiА = SiЧ = Si0 .
Нормируя на t0 получим полное зеркальное отражение tiA и tiЧ .
lg(tiA / t0) = — lg(tiЧ / t0) .
Сценарий Ⅲ . Сближение Ахиллеса и черепахи в интервалах S0 и t0 . .
Комбинированный вариант сближения участников, при котором реализуется совместная «зеркальность» интервалов пути и времени, выглядит следующим образом.
Начальные условия задачи: Ахиллес находится в точке а, а черепаха в точке d. На пространственной оси удаление точек a и d от точки встречи составляет SА и S0, соответственно. На временной оси – это интервалы t0 и tЧ.
Черепаха, первая начинает движение, пока не пройдет время tdb = tЧ – t0 . В момент времени tdb стартует Ахиллес. Далее, двигаясь в интервале времени 0 < ti < tА вдоль траекторий a0 и b0, оба участника достигнут точки встречи.
В Сценарии Ⅲ «зеркальность» определяется отражением текущих интервалов пути и времени на траекториях а0 — d0 и с0 — b0 .
Можно выделить две группы зеркальных интервалов.
Интервалы пути а0 (Ахиллес) и времени d0 (черепаха) .
lg (SiА / S0) = lg (tiЧ / t0 ) .
Интервалы времени с0 (Ахиллес) и пути b0 (черепаха) :
lg (tiА / t0 ) = lg (SiЧ / S0) ,
где : t0 = (tА tЧ )0.5, S0 = (SА SЧ)0.5 .
Относительные координаты D-SELF. .
Сценарии Ⅰ, Ⅱ и Ⅲ опираются на общие свойства движений в абсолютной системе координат D-SELF. К таким свойствам относятся:
1) точка встречи участников движения в начале системы координат.
2) граничные (SА, SЧ и tА , tЧ) и текущие(SiА, SiЧ и tiА , tiЧ) пространственные и временные интервалы при разных начальных условиях движения.
3) зеркально-сопряженные связи пространственных и временных интервалов.
Анализ трех сценариев движения отражает общую природу «зеркальных» движений, определяемую симметрией пространственных и временных интервалов (размерных масштабов) в движущихся системах.
Наиболее убедительно «зеркальная» симметрия представляется в относительных координатах D-SELF, откуда в явном виде следует равенство сопряженных интервалов после нормировки на центры симметрии и логарифмирования.
В относительных координатах D-SELF эффект зеркальности движений выражается в равенстве модулей интервалов пути и времени.
Роль зеркальных линий выполняют координатные оси, относительно которых происходит отражение движений Ахиллеса и черепахи.
Кластер зеркально-сопряженных переменных (пакет D-SELF)
Зеркально-сопряженные интервалы играют важное практическое значение при диагностике, анализе и прогнозировании движений различных объектов.
Пусть, например, пара объектов способны перемещаться вдоль одного направления. Предположим, что траектория одного объекта известна на 100%, а траектория другого, частично определена процентов на 5 или 10. Тогда, используя «зеркальные» связи Сценария Ⅲ, можно с высокой точностью (в пределе до 100%) спрогнозировать траекторию второго объекта по известной траектории первого.
Кроме Сценариев Ⅰ-Ⅲ можно рассмотреть другие траектории «зеркальных» движений. Возникает вопрос. Сколько всего сценариев движения может входить в локальную группу с общими свойствами? Иначе говоря, как определить границы данного множества траекторий или группы «зеркальных» движений.
Сравнительный анализ показал, что различные движения с указанными общими свойствами управляются кластером зеркально-сопряженных переменных — пакетом D-SELF. Кластер включает 9 переменных, и описывает различные траектории движения с общими сопряженными связями в системе координат D-SELF..
В Лаборатории проблем моделирования сложных систем (Санкт-Петербург) исследовались зеркально-сопряженные движения локальных (сосредоточенных) и потоковых объектов. Анализ переменных движения подтвердил наличие кластера из 9-ти переменных, или пакета D-SELF, который лег в основу одноименного алгоритма.
Оказалось, что пакет переменных включает многочисленные сценарии (варианты, классы, подобия, фракталы и т.д.) зеркально-сопряженных движений, а не только рассмотренные выше Сценарии движений Ахиллеса и черепахи.
Отдельные траектории движения внутри пакета D-SELF описываются различными комбинациями переменных.
Например, Сценарии Ⅰ, Ⅱ и Ⅲ движений Ахиллеса и черепахи, управляются комбинацией (локальным кластером) из трех констант – V0 ,VА ,VЧ , и шести вариабельных переменных – Si0 ,SiА ,SiЧ, ti0 , tiА , tiЧ . Внутри данного кластера выделяются три подкластера (сценария) с дополнительными связями переменных, а именно.
Сценарий Ⅰ при tiА = tiЧ, .
Сценарий Ⅱ при SiА = SiЧ, .
Сценарий Ⅲ при (SiА /Si0) = (VА /V0), (tiЧ /ti0) = (VЧ /V0) .
Локальные кластеры могут иметь более сложный вид. В случае ускоренного или замедленного движения траектории пути в системе координат D-SELF будут искривляться. При этом сохраняются сопряженные связи переменных, хотя потребуется ввести в анализ дополнительные поправки.
Развиваемый подход можно использовать для анализа произвольного количества движущихся объектов. При этом функциональность зеркальной линии зависит от четности объектов движения. Если количество объектов четное, то зеркальная линия выполняет функцию расчетного сопряжения (объединения в пары) движений с различными скоростями. Количество парных движений может быть неограниченным. Если объектов нечетное количество, то зеркальная линия описывает движение реального объекта. Например, в случае трех движущихся объектов с постоянными скоростями при
V1 < V2 < V3,
зеркальной линии будет соответствовать объект, скорость которого равна:
V2 = (V1V3)0.5.
Важным является использование пакета D-SELF при движении одиночного объекта. В этом случае зеркальная линия отражает максимальную (в пределе) скорость, которая является характеристикой любого движения. В этом случае сопряженного (парного) процесса движения в реальности не происходит. Однако, при анализе первичного (искомого) движения, несмотря на отсутствие для него сопряженной пары, сохраняются «зеркальные» пространственные и временные интервалы в пакете D-SELF.
Алгоритм D-SELF
Исследования показали, что функциональность пакета D-SELF позволяет структурировать данные и проводить машинное обучение на основе алгоритма D-SELF. Ключевой задачей здесь является оценка степени детерминированности (регулярности) движения по шкале «хаос — порядок». В случае хаотического движения все переменные в пакете D-SELF являются вариабельными и несвязанными между собой. С другой стороны, в случае строго определенной задачи (единственно возможный сценарий), все переменные взаимно сопряжены, и описывают максимально-упорядоченное «зеркальное» движение.
Целевое использование алгоритма D-SELF интерпретируется следующим образом. Функция непрерывного движения, состоящая из трех базовых переменных – пути, времени и скорости, дискретизируется единичными интервалами V0 , S0 и t0. Далее, в системе координат с базовой метрикой V0, S0, t0, анализируется искомая траектория движения, и производится анализ датасетов (шести сопряженных переменных) на предмет наличия в них зеркально-сопряженных связей. Процедура напоминает измерение отрезков школьной линейкой. Разница лишь в том, что измеряются не «сантиметры», а текущие интервалы движения, отражающие внутреннюю «зеркальную» сопряженность переменных. Причем степень (или уровень) сопряженности может быть различным. Упорядоченное движение говорит о высоком уровне сопряженности переменных, а хаотическое движение сигнализирует о нарушении сопряженных связей. В этом смысле пакет D-SELF можно интерпретировать как особую интервальную калибровочную инвариантность, присущую зеркальным движениям. .
Аналогом алгоритма D-SELF является «Модель связанных вариантов» (Interacting Multiple Model (IMM)), которая на основе фильтров Калмана аналитически описывает траектории движения объектов. Например, IMM используют для рисковой оценки движения автомобилей. При этом управление движением производится переключением вариантных базовых моделей, таких как Постоянная Скорость (Constant Velocity – CV), Постоянное Ускорение (Constant Acceleration — CV), Координации Скорости Поворота (Coordinated Turn Rate – CT) и других моделей.
Применение алгоритма D-SELF для оптимизации IMM позволяет использовать значительно меньшие ресурсы при управления траекториями. В этом случае не требуется проводить полный анализ движения, а можно ограничиться отдельными интервалами траектории, которые, при необходимости, дополняются расчетными данными «зеркальных отражений» движения.
Кроме того, алгоритм D-SELF позволяет «сгладить» триггерные переключения между базовыми моделями IMM. В подходе IMM общее управление производится дискретно при помощи марковских цепей, а в алгоритме D-SELF переходы между вариантами движения можно производить непрерывно..
Информационная технология D-SELF
Ниже представлено четыре примера, которые охватывают широкий диапазон областей использования универсального D-SELF алгоритма анализа движущихся объектов.
Практика применения показывает, что информационная технология D-SELF может использовать оптимальный уровень математического аппарата, которого необходимо и достаточно для автоматизации данных при диагностике и прогнозировании сложных движущихся систем..
Ожидается, что новая информационная технология найдет применение в таких актуальных областях, как:
— беспилотная навигация;
— анимационная графика;
— роботизированная хирургия;
— кинематика экспрессии генов;
— геометрический дизайн;
и других областях.
В основу новой технологии заложена фундаментальная связь зеркально-сопряженных интервалов любого движения, к которой вплотную подошел еще Аристотель. Причем потенциальные возможности универсального алгоритма до конца не изучены и требуют более глубоких исследований и осмысления.
Библиография
1. А.Г. Иванов – Ростовцев, Л.Г. Колотило. Моделирование дискретно-непрерывного движения системным алгоритмом D-SELF/ Международный журнал открытых информационных технологий (INJOIT), т.10, № 12, 2022, с. 35-44. (online)
2. А.Г. Иванов – Ростовцев, Л.Г. Колотило. D-SELF регуляция качества управления товарными и денежными потоками предприятия/ INJOIT, т.12, № 1, 2023, с. 83-91. (online)
3. А.Г. Иванов – Ростовцев, Л.Г. Колотило. S — движение планет по эллиптическим орбитам/ Общество. Среда. Развитие. (Terra Humana), №4, 2024, с. 97-104. (online)
4. А.Г. Иванов – Ростовцев, Л.Г. Колотило. Орбитальные знакопеременные ускорения искусственных спутников Земли (приложение алгоритма D-SELF) / INJOIT, т.13, № 2, 2025, с. 24-31. (onlne)
