Задача об электронах в идеальном и беспредельном кристалле

11 Апр в 19:23

Здравствуйте, друзья!

Согласно законам квантовой механики, электрон в изолированном атоме может находиться только на определенных дискретных энергетических уровнях. Однако, когда атомы объединяются в периодическую кристаллическую решетку, ситуация меняется: вместо отдельных уровней возникают разрешенные и запрещенные энергетические зоны.

Как образуются зоны? Разобраться в этом поможет квантовая механика!

Постановка задачи

Рассмотрим предельный случай модели Кронига-Пенни. Пусть потенциал, создаваемый одномерной решёткой имеет вид:

$U\left ( x \right )=\alpha\sum_{n=-\infty }^{+\infty}\delta\left ( x-na \right )$

Нужно найти энергетический спектр и отвечающий ему волновые функции. Для этого нужно решить следующее стационарное уравнение Шрёдингера.

$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi^{''}+\alpha \sum_{n=-\infty }^{\infty}\delta\left ( x-na \right )\psi =E\psi$

Но в каком виде искать решение?

Трансляционная симметрия. Теорема Блоха

Нетрудно заметить, что если данную систему сместить на величину кратную а, то система перейдёт сама в себя. Это так называемая трансляционная симметрия. Данному преобразованию отвечает оператор трансляции, имеющий вид:

$\hat{T_{a}}=\exp\left ( i\frac{\hat{p}a}{\hbar} \right )$

Также нетрудно показать, что данный оператор коммутирует с оператором Гамильтона системы, а значит можно найти общие собственные функции для обоих операторов. Данный факт упрощает поиск решения, вид которого примет:

$\psi\left ( x \right )=\chi \left ( x \right )u\left ( x \right )$

Где первую функцию выберем в качестве собственной оператора трансляции, а вторая функция будет иметь периодику потенциала.

Предлагаю найти собственные функции оператора трансляции, решив следующее уравнение на поиск собственных функций и значений оператора:

$\chi \left ( x+a \right )=\lambda \chi \left ( x \right )$

Получили функциональное уравнение Коши, решение которого известно:

$\chi\left ( x \right )=\exp \left ( ikx \right )$

Данная функция отвечает собственному значению:

$\lambda=\exp \left ( ika \right )$

Возвращаясь к исходной задаче, решение уравнения Шрёдингера будем искать в виде:

$\psi \left ( x \right )=\exp \left ( ikx \right )u\left ( x \right )$

Мы получили функцию Блоха. В 1928 году физик Феликс Блох сформулировал теорему, в которой установил вид волновой функции в периодическом потенциале.

Решение уравнение Шрёдингера

Перейдём к непосредственному отысканию волновых функций, подставим установленный вид решения в уравнение Шрёдингера и получим новое уравнение на функцию u(x), рассмотрим его в области -a

$\begin{matrix} u^{''}+2iku^{'}+\left ( \beta^2-k^2 \right )u=0 \\ \beta^2=\frac{2mE}{\hbar^2}\end{matrix}$

А его решение:

$u_1\left ( x \right )=A_1\exp\left [ -i(k+\beta)x \right ]+B_1\exp\left [ -i(k-\beta)x \right ]$

Тогда волновая функция в этой области примет вид:

$\psi_1\left ( x \right )=A_1\exp\left [ -i\beta x \right ]+B_1\exp\left [ i\beta x \right ]$

Очевидно, что в области 0

$\psi_{2}\left ( x \right )=A_{2}\exp\left [ -i\beta x \right ]+B_{2}\exp\left [ i\beta x \right ]$

Но как связать коэффициенты A и B из этих областей? Подействуем оператором трансляции на решение из 1-й области, но тогда оно должно совпадать с решением из 2-й области:

$\hat{T}_a\psi_1\left ( x \right )=\psi_{2}\left ( x \right )$

Из данного условия и получаем связь коэффициентов:

$\begin{matrix} A_{2}=\exp\left [ i\left ( k+\beta \right )a \right ]A_1 \\ B_{2}=\exp\left [ i\left ( k-\beta \right )a \right ]B_1\end{matrix}$

Тогда волновая функция во 2-й области принимает вид:

$\psi_2\left ( x \right )=\exp\left\{ ika\right\}\left\{ A_1\exp\left [ -i\beta\left ( x-a \right ) \right ]+B_1exp\left [ i\beta\left ( x-a \right ) \right ]\right\}$

Теперь нужно «сшить» полученные решения в точке x=0:

$\left\{\begin{matrix} \psi_1\left ( 0 \right )=\psi_2\left ( 0 \right )\\ \left [ \psi^{'} \right ]_{x=0}=\frac{2m\alpha}{\hbar^2}\psi_1\left ( 0 \right )\end{matrix}\right.$

Подробно останавливаться на получении условий сшивки не буду.

Получаем однородную систему линейных уравнений относительно А и B, нетривиальное решение которой существует при равенстве определителя нулю:

$\begin{matrix} \cos \left ( \beta a\right )+\frac{\gamma }{\beta}\sin \left ( \beta a \right )=\cos \left ( ka \right ) \\ \gamma =\frac{m\alpha}{\hbar^2}\end{matrix}$

Получили трансцендентное уравнение на энергетический спектр.

Квазиволновой вектор и энергетические зоны

Находя собственные функции оператора трансляции и решая уравнения Шрёдингера, мы пока не задумывались над физическом смыслом введённой постоянной k. Взглянув на вид Блоховских функций, можно сделать вывод, что постоянная k описывает распространение плоской волны с волновым вектором k. В физике твёрдого тела данный вектор носит название квазиволнового.

Чем же он отличается от обычного волнового вектора? Ответ кроется в полученном выше уравнении на энергетический спектр. В отличие от обычного волнового вектора, квазиволновой определён неоднозначно. Действительно, если к произведению ka прибавить 2π, то полученное уравнение не изменится, и совсем другому значению квазиволнового вектора отвечает тот же спектр энергий, а значит состояния с волновыми векторами k и k+2π/a физически эквивалентны. Для удобства значение k полагают: —π/a. Такое определение исчерпывает физически неэквивалентные состояния.