За объективность энтропии: Возвращение к Больцману

Квантово-скорректированный подход с применением ансамблей Гиббса находит широкое применение в решении прикладных задач. Тем не менее, как отмечалось в предыдущих публикациях, статистическая энтропия по Гиббсу неоднократно давала исследователям повод соотносить это понятие с мерой человеческого невежества. Весьма показательна в этом смысле цитата из труда А. Семихатова «Всё, что движется», а именно из главы с красноречивым заголовком «Измельчение в незнание»:

‘Незнание, на которое мы обречены согласиться, оказывается не только философской категорией – оно еще и выражается некоторой величиной, которую в принципе можно даже измерить. Она называется энтропией: чем больше энтропия, тем больше незнание (тем больше молекулы могут вытворять такого, что полностью ускользает от нашего внимания).’

Это наводит на мысль, что реальные процессы, протекающие в системе, зависят от степени информированности наблюдателя-экспериментатора. Более того, под угрозой оказывается сама концепция стрелы времени, также получающая эпистемическую окраску. В результате часть научного сообщества выступила за пересмотр фундаментальных принципов статистической физики под лозунгом «Назад к Больцману». Данный материал посвящен детальному разбору и критическому осмыслению этих воззрений.

• Введение

• Модифицированный подход Больцмана

• Взаимосвязь между неравновесным макросостоянием и микросостояниями

• Практическая применимость метода Гиббса

• Библиографический список

Введение

В рамках клеточной модели Больцмана энтропия макроскопического состояния прямо пропорциональна количеству совместимых с ним микросостояний в фазовом μ-пространстве. Данный метод изначально применим лишь к разреженным газам, что побудило Гиббса обобщить статистическую механику на произвольные системы посредством перехода к глобальному Г-пространству. Однако энтропия Гиббса стала определяться через интеграл по всему Г-пространству, из-за чего наглядная связь между макро- и микропараметрами оказалась утраченной.

Еще в программной статье супругов Эренфест (1912 г.) подчеркивалось концептуальное превосходство энтропии Больцмана, чей физический смысл свободен от вероятностных трактовок Гиббса:

‘очевидно, что гиббсовы меры энтропии не в состоянии заменить больцмановскую меру энтропии при рассмотрении необратимых процессов в изолированных системах, так как они объединяют все без различия начальные состояния неравновесия с конечными равновесиями.’

Сегодня эта парадигма реанимируется в трудах ряда физиков через адаптацию метода Больцмана для Г-пространства, что снимает ограничения на типы исследуемых систем. Мы начнем с анализа этих концепций, однако вскоре столкнемся с барьером их практического внедрения. Возникает парадоксальная коллизия: концепция успешно объясняет феномен стрелы времени, но остается лишь на уровне качественных рассуждений. В лабораторной практике по-прежнему доминирует аппарат Гиббса, что порождает заметный разрыв между теоретическими выкладками и экспериментальным опытом.

Модифицированный метод Больцмана

Обратимся к выводам теоретиков из работы «Энтропия Гиббса и Больцмана в классической и квантовой механике»:

‘Энтропия Гиббса является эффективным инструментом для вычисления значений энтропии в тепловом равновесии применительно к гиббсовским равновесным ансамблям, но фундаментальным определением энтропии является энтропия Больцма­на. Мы обсудили статус двух понятий энтропии и соответствующих им двух понятий теплового равновесия — точек зрения «ансамбля» и «индивидуальной системы». Ансамбли Гиббса очень полезны, в частности, поскольку они позволяют эффективно вычислять термодинамические функции, но их роль может быть понята только в рамках программы Больцмана рассмотрения индивидуальной системы.’

Данная работа содержит обширный список литературы по теме, а заложенные в ней идеи легли в фундамент монографии Жана Брикмона «Разбираемся со статистической механикой».

Итак, предлагается отвести статистической энтропии Гиббса сугубо вспомогательную роль, опираясь в фундаменте статистической физики на усовершенствованный подход Больцмана. Для наглядности обратимся к иллюстрации из статьи об энтропии на портале universe-review.ca и к цитатам из книги Р. Пенроуза «Мода, вера, фантазия и новая физика Вселенной»:

На рисунке схематично представлена гиперповерхность постоянной энергии в фазовом Г-пространстве. Реальная размерность этого пространства колоссальна, однако для визуализации используется двумерная плоскость. Каждая ячейка соответствует определенному макросостоянию, охватывающему множество микроконфигураций, причем площадь области пропорциональна числу таких микросостояний. Наикрупнейшая ячейка соответствует равновесному состоянию с равномерным распределением температуры, тогда как прочие зоны описывают неравновесные сценарии. Главное отличие от классического подхода Больцмана заключается в переходе от μ- к Г-пространству и замене дискретного счета перестановок на измерение геометрической площади в Г-пространстве. Именно этот шаг обеспечивает универсальность предлагаемого объяснения.

Приведем фрагменты из книги Пенроуза, детально раскрывающие суть графической иллюстрации:

‘Что же в таком случае представляет собой эта «мера энтропии»? Грубо говоря, мы подсчитываем все возможные различные субмикроскопические состояния, которые могли бы образовать конкретное макроскопическое состояние, и их число N является мерой энтропии макроскопического состояния. Чем больше оказывается N, тем больше энтропия.’

‘Теперь, чтобы определить энтропию, нам потребуется собрать вместе — в единую область, именуемую регион крупнозернистого разбиения, — все те точки в P, в которых мы полагаем значения всех макроскопических параметров одинаковыми. Таким образом, все P будет разделено на такие крупнозернистые области. … Следовательно, фазовое пространство P будет делиться на такие регионы, и можно сказать, что объем V подобного региона позволяет оценить, сколько существует вариантов заполнения данного макроскопического состояния различными субмикроскопическими состояни­ями в границах данного региона крупнозернистого разбиения.’

Сделаем важную оговорку относительно масштаба схемы: для наглядности площади неравновесных областей сильно преувеличены. В микроканоническом равновесном ансамбле статистический вес охватывает всю доступную площадь чертежа, включая неравновесные сегменты. Априорная равновероятность распространяется на весь спектр возможных состояний. Это подчеркивает, что зона равновесного макросостояния на порядки превосходит по площади неравновесные области — в честном масштабе последние были бы неразличимы.

Вычисление энтропии макросостояния в модифицированном больцмановском ключе оперирует статистическим весом отдельной ячейки W_v в Г-пространстве:

Статистический вес равновесного режима через W_v практически тождественен весу, вычисленному по всей площади, благодаря чему энтропия равновесия неотличима от результатов микроканонического ансамбля. Одновременно данный аппарат наделяет осмысленными значениями энтропию неравновесных конфигураций, что служит базой для обоснования стрелы времени. Финальный вывод Пенроуза резюмирует эту мысль:

‘Для того чтобы оценить, как это помогает понять второй закон, важно прочувствовать, сколь колоссально могут различаться по размеру различные области крупнозернистого разбиения, по меньшей мере в ситуациях, которые встречаются на практике. Логарифм в формуле Больцмана вкупе с чрезвычайной малостью k [константы Больцмана] в обыденных масштабах несколько маскирует всю беспредельность таких различий объема. Поэтому легко упустить тот факт, что крошечная разница в энтропии по факту соответствует просто огромной разнице объемов пространств с крупнозернистым разбиением. … Поскольку несравнимо более крупному объему соответствует обычно лишь чуть более высокая энтропия, мы уже примерно представляем себе, почему энтропия будет неудержимо возрастать с течением времени. Именно этого и следует ожидать согласно второму закону.’

В подобной трактовке, подкрепленной формализмом теоретиков и учебником Брикмона, мера энтропии обретает объективный характер. Она проистекает из фундаментальных свойств Г-пространства, тогда как вероятностные аспекты подключаются на последующих этапах. Параллельно вводится концепция типичности (typicality) эволюции систем во времени, предлагающая изящное разрешение парадоксов Лошмидта и Цермело.

Взаимосвязь между неравновесным макросостоянием и микросостояниями

Для сопряжения макро- и микроуровней Больцман использовал дискретную сетку координат и импульсов в μ-пространстве. Однако при переходе к крупнозернистому разбиению в Г-пространстве этот инструмент оказывается неприменим. В этом заключается ахиллесова пята модифицированного подхода: алгоритм вычисления W_v остается неопределенным. Сама формула выражает глубокую идею, но механизмы ее реализации на практике туманны.

Общая логика физиков сводится к заданию макросвойств с последующим перебором микросостояний. Предполагается, что для каждого микросостояния можно вычислить макропараметры и тем самым распределить микроконфигурации по соответствующим макросостояниям. Процедура эта принципиально невыполнима на практике, хотя и мыслима чисто умозрительно.

Рассуждения Пенроуза незамедлительно устремляются к космологическому масштабу и проблеме гипотезы о ранней Вселенной (загадке низкоэнтропийного Большого взрыва). Представим более приземленный пример — горение обычной свечи в изолированном объеме — и попробуем оценить реализуемость этой программы даже в теории.

Неравновесное макросостояние горящей свечи очевидно соотносится с понятиями механики сплошных сред через поля температур, давлений и концентраций. Следовательно, из конкретного микросостояния потребовалось бы дедуктивно извлечь эти распределения для сопоставления с макрокартиной. Как решить эту задачу, совершенно неясно.

Попробуем проследить это на примере температурного поля: требуется перевести микроскопические координаты и импульсы всех частиц в макроскопическое поле температур. Существует классическая связь температуры со средней кинетической энергией, но она абсолютно корректна лишь для термодинамического равновесия. Более строгий путь требует введения локального распределения Максвелла-Больцмана (принципа локального равновесия). Однако осуществить такую операцию для произвольного микросостояния на практике невозможно, поскольку микроуровень предлагает невообразимо более богатый спектр неравновесных вариантов, чем макроскопическая механика сплошных сред.

Перераспределение энергии между степенями свободы требует определенного времени, из-за чего в статистической физике возникают состояния, где разные степени свободы подчиняются распределениям Максвелла-Больцмана с несовпадающими температурами. Поступательная, вращательная и колебательные температуры могут различаться. Возможны и такие сценарии, когда локальное равновесие вовсе не установилось для ряда степеней свободы, делая понятие термодинамической температуры преждевременным до завершения релаксации. Таким образом, постулат об однозначной декомпозиции микросостояний по макросостояниям вызывает серьезные сомнения.

Стоит отметить еще одну проблему усовершенствованного метода Больцмана: ранжируя макросостояния по уровню энтропии, он фактически элиминирует время. В классической термодинамике время также отсутствует, в то время как механика сплошных сред органично в него вплетена. Термодинамика задает лишь вектор самопроизвольных процессов, перекладывая временнýю динамику на плечи сплошных сред. Статистическая же механика призвана объединить объяснительный потенциал обоих направлений. Утрата времени в модифицированном подходе существенно сужает границы применимости статфизики.

Вернемся к нашему примеру со свечой в изолированном объеме воздуха. Конечным пунктом эволюции здесь служат продукты горения, однако химическая реакция не стартует мгновенно сама по себе. Статистическая трактовка энтропии бессильна объяснить, почему система не скатывается спонтанно в состояние с максимальной энтропией немедленно. Между тем описание горения немыслимо без явного учета времени. Перед нами квазистационарный процесс, поддерживаемый притоком реагентов при почти неизменной структуре пламени. Для поддержания такого режима критически важны кинетические скорости процессов. Непонятно, каким образом модифицированное уравнение Больцмана способно описать эту динамику.

Практическая применимость метода Гиббса

Обратимся к реальной практике применения аппарата Гиббса на примере капитального труда Д. Н. Зубарева, В. Г. Морозова и Г. Рёпке «Статистическая механика неравновесных процессов». Авторы подробно разбирают недостатки гиббсовской энтропии и предлагают пути их обхода, однако при выходе на прикладные решения грубая и точная энтропия Гиббса напрямую не задействуются.

Анализ неравновесных систем строится на введении иерархии характерных времен и разнородных кинетических подходов для различных стадий. В книге вводится концепция сокращенного описания и выделяются три режима с разными временами релаксации: динамический, кинетический и гидродинамический. Быстрая релаксационная кинетика предшествует выходу на уровень уравнений, близких к Навье-Стоксу, и лишь после вывода кинетических уравнений вводится понятие энтропии.

Для получения физически верных результатов в расчеты осознанно закладываются дополнительные допущения. Так, в цепочке уравнений ББГКИ (Боголюбов — Борн — Грин — Кирквурд — Ивон) асимметрия во времени детерминированно вводится на финальной стадии вывода кинетических уравнений. Аналогичным образом временнáя асимметрия закладывалась при построении теории линейного отклика — еще одном триумфе метода Гиббса в исследовании транспортных явлений. Весьма показательна цитата из лекций Р. Пайерлса по теории переноса, приведенная в монографии:

‘В каждом теоретическом исследовании процессов переноса нужно ясно понимать, в каком месте введена необратимость. Если она не введена, теория неверна. Подход, в котором сохранена симметрия относительно обращения времени, неизбежно дает нулевые или бесконечные значения для коэффициентов переноса. Если мы не видим, где была введена необратимость, то мы не понимаем, что мы делаем.’

Кроме того, прикладной анализ требует перехода к релевантным статистическим ансамблям (relevant ensemble). В монографии Зубарева развивается метод неравновесного статистического оператора, наряду с которым существуют альтернативные подходы, например, метод проекционных операторов Цванцига — Мори. Физики отлично осознают требования математического аппарата, поэтому на практике метод Гиббса работает безотказно. Грамотное использование аппроксимаций при построении неравновесных распределений ведет к искомому результату — энтропия системы в полученных уравнениях неуклонно возрастает.

Таким образом, в статистической механике сохраняется глубокий разрыв: с одной стороны, существует концептуально привлекательное, но качественное обоснование на базе модифицированного метода Больцмана, с другой — успешно функционирующий расчетный аппарат Гиббса. До тех пор этот разрыв остается лишь предметом философских дискуссий, подобных тем, что ведутся в статье «Философия статистической механики». Приведем финальную цитату, где аббревиатуры BSM и GSM обозначают статистическую механику Больцмана и Гиббса соответственно:

‘нельзя не признать, что BSM в основном используется в обсуждении оснований, но именно GSM является рабочей лошадкой практиков. Когда физикам приходится проводить расчеты и решать проблемы, они обычно обращаются к GSM, который предлагает удобные стратегии, отсутствующие в BSM. Таким образом, либо BSM необходимо дополнить практическими рекомендациями, либо ее необходимо подклю­чить к GSM, чтобы она смогла использовать преимущества вычислительных методов.’

Библиографический список

Предыдущие публикации по статистической физике: Эволюция взглядов Людвига Больцмана, Эдвин Джейнс: Принцип максимума энтропии, Демон Сциларда: Энтропия и информация

А. Семихатов, Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космичес­ких орбит до квантовых полей, 2022, Прогулка 9 ‘Измельчение в незнание‘.

П. Эренфест и Т. Эренфест. Принципиальные основы статистического подхода в механике(1912), в сборнике Работы по статистической механике: А. Пуанкаре, П. и Т. Эренфесты, Дж. фон Нейман, 2011.

S. Goldstein, J. L. Lebowitz, R. Tumulka, N. Zanghì. Gibbs and Boltzmann entropy in classical and quantum mechanics. In Statistical mechanics and scientific explanation: Determinism, indeterminism and laws of nature, pp. 519-581. 2020.

Jean Bricmont, Making Sense of Statistical Mechanics, 2022.

Р. Пенроуз, Мода, вера, фантазия и новая физика Вселенной. СПб.: Питер, 2020. Глава 3. Фантазия. Раздел 3.3. Второй закон термодинамики.

Д. Н. Зубарев, В. Г. Морозов, Г. Рёпке, Статистическая механика неравновесных процессов, 2002.

R. Frigg, C. Werndl, Philosophy of Statistical Mechanics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2023. Доступно онлайн.

 

Источник