Выведение масс кварков и лептонов: развитие подхода Койде

29 минут назад Прокомментировать Просмотры: 0

В этой статье мы попробуем вывести массы кварков и лептонов из простых соотношений. Нейтрино оставим за рамками рассмотрения: их массы пока известны недостаточно точно. Для остальных девяти величин потребуем точности порядка процента, хотя сами они различаются на пять порядков. Да, в некотором смысле это нумерология. Но ведь и формулу Койде можно назвать нумерологией… Приступим!

1. Зависимость массы от энергии (running)

Если взять массы кварков из первого попавшегося источника, не обратив внимания на примечания, результат вряд ли будет полезен. Дело в том, что массы меняются в зависимости от энергетического масштаба процессов, в которых участвуют частицы.

Для некоторых частиц, например электрона, можно определить полюсную массу (pole mass) при энергии, стремящейся к нулю. Для кварков по ряду сложных причин это невозможно, поэтому полюсная масса для них не определена. Вместо этого массы разных кварков приводят при разных значениях энергии: речь идет о массах в схеме MS.

Крупные точки обозначают энергии, при которых «измерены» общепринятые значения масс кварков. Как видно, энергетические масштабы различаются. Обе оси логарифмические, поэтому небольшой наклон кривых не должен обманывать: массы меняются весьма существенно.

Кроме того, выше электрослабого масштаба, отмеченного пунктиром, все частицы становятся безмассовыми, если вакуум тоже достаточно нагрет. Если же нет, масса сохраняется, но при высоких энергиях почти не играет роли. Поскольку нас интересуют именно высокие энергии, под «массами» мы будем понимать сингулярные значения матриц Юкавы. Масса M связана со значением Y следующим образом:

$M = \frac v{\sqrt 2}Y, v = 246.22 Gev$

Масса прямо пропорциональна Y, поэтому при рассмотрении высоких энергий мы нередко будем называть Y «массой», хотя частицы в этих условиях уже лишены массы.

2. Первый взгляд на массы кварков

Заметно, что массы трех поколений приблизительно образуют геометрическую прогрессию, которая на логарифмической шкале выглядит как прямая. Ее коэффициент для верхних кварков больше, чем для лептонов и нижних кварков. Однако относительно такой прогрессии c оказывается слишком тяжелым, s — слишком легким, мюон — снова слишком тяжелым, а в первом поколении u и d словно поменялись местами: нижний кварк тяжелее верхнего. Определенный порядок просматривается, но он повсюду немного нарушен.

Кстати, почему в разделе о кварках появились лептоны? Скажем так: есть серьезные основания подозревать, что лептоны — искусно замаскированные кварки. Такую возможность рассматривает теория Пати — Салама.

3. Формулы Койде и Джорджи — Ярлског (GJ)

Существуют две серьезные попытки обнаружить закономерность в этих массах. Первая — формула Койде:

$K=\frac{e+\mu+\tau}{(\sqrt e+\sqrt\mu+\sqrt\tau)^2}=\frac23.$

Для полюсных масс она выполняется с исключительной точностью: K = 0.6666645. При высоких энергиях массы меняются, но делают это почти синхронно, поэтому само соотношение, к счастью, нарушается не слишком сильно. При E = 10**6 Gev получаем K = 0.667835: погрешность составляет всего 0.175%, что нас устраивает.

Второй набор соотношений — GJ — на первый взгляд может показаться необычным:

$e=d/3, \qquad \mu=3s, \qquad \tau=b$

При привычных нам значениях масс эти равенства далеки от действительности, однако на высоких энергиях они начинают выполняться:

Иными словами, при малых энергиях ошибка может достигать двух раз, но на очень высоких энергиях соотношения GJ начинают работать. Эти масштабы в квантовой механике считаются более «фундаментальными»: частицы «оголяются», а нарушенные симметрии восстанавливаются. Мы считаем такое поведение важным.

Поэтому далее будем использовать значения для кварков и лептонов, зафиксированные при энергии, на которой соотношение GJ для соответствующего поколения выполняется точно. Для разных поколений энергии будут различаться. Это можно назвать уловкой, но такой выбор все же представляется физически обоснованным. Простота GJ указывает на возможные фундаментальные корни этих соотношений, хотя нечто и искажает их. Выбранный подход позволяет защититься от влияния этого неизвестного фактора.

Конкретные значения приведены ниже:

Поколение	Энергия, Gev	Верхние кварки	Нижние кварки	Лептоны
1	1.337E9	4.182E-6	9.008E-6	3.00267E-6
2	4.244E6	2.395E-3	2.0608E-4	6.242E-4
3	3.143E6	0.6658	0.01049	0.01049

4. Вывод коэффициента прогрессии

Предположим, что массы можно записать в виде:

Иными словами, массы растут в соответствии со степенным рядом с коэффициентом r. Разумеется, подходящим выбором X, Y и Z можно получить любые значения. Поэтому мы потребуем, чтобы эти числа были простыми: например, 4/5 или 1/2, а не 3445/5595. Кроме того, r должен быть одинаковым для верхних и нижних кварков и для лептонов. Напомним, что массы различаются на шесть порядков, поэтому совпадение с точностью до процента было бы большим успехом.

Теперь необходимо найти r. Формула Койде не определяет этот коэффициент, а GJ задает лишь связь между нижними кварками и лептонами. Чтобы определить r, нам понадобятся отношения масс третьего и первого поколений.

Вывод можно пропустить

Определим r через первое и третье поколения и введем k:

$r\equiv\sqrt{b/d}=\sqrt{\tau/(3e)},\qquad k\equiv\frac{s}{\sqrt{db}}.$

Положим e=1, mu=q и tau=z:

$\frac{1+q+z}{(1+\sqrt q+\sqrt z)^2}=\frac23$

Решая уравнение относительно корня из z, получаем:

$\sqrt z=2(1+\sqrt q)+\sqrt{3(1+q)+12\sqrt q}$

Отсюда:

$\boxed{r_K=\frac{2(1+\sqrt q)+\sqrt{3(1+q)+12\sqrt q}}{\sqrt3} =34.1297874117}$

Таким образом, r = 34.1298.

5. Нормализованный спектр и первые формулы

Вернемся к GJ: в первом и втором поколениях одна частица втрое тяжелее другой, и только в третьем их массы равны. Определим «нормализованные» массы как корень из произведения соответствующих масс:

$\boxed{(n_1,n_2,n_3)= \left(\frac d{\sqrt3},\sqrt3s,b\right) =\left(\sqrt3e,\frac\mu{\sqrt3},\tau\right).}$

Тогда для масс верхних кварков получаем:

$\boxed{(u,c,t)\simeq\left(\frac45n_1,\frac{20}{3}n_2,64n_3\right).}$

Соответствующие погрешности: −0.52923%, +0.29241% и +0.83107%.

Любопытно, что при записи (u,c,t)=(An1, Bn2, Cn3) выполняется C=12AB. Красиво.

Обратите внимание: для быстро растущей иерархии верхних кварков используется тот же коэффициент r между поколениями, а дополнительный рост обеспечивается множителем 64 — тоже круглым числом во многих смыслах.

Теперь выразим отношения масс без нормализованных величин: они нам больше не понадобятся.

$u\simeq\frac{4\sqrt3}{15}d=\frac{4\sqrt3}{5}e,\quad c\simeq\frac{20}{\sqrt3}s=\frac{20}{3\sqrt3}\mu,\quad t\simeq64b=64\tau.$

Используя r=34.1297874117, k=0.676768996804 и a=9.00802154701×10^-6, где a задает масштаб, перепишем выражения без нормализованных значений:

$\boxed{D=a(1,kr,r^2),\qquad L=a(1/3,3kr,r^2) \qquad U=a\left(\frac{4\sqrt3}{15},\frac{20k}{\sqrt3}r,64r^2\right)}$

Если дополнительно предположить, что k=2/3, и учесть, что a=d, получим:

$\boxed{D_0=d(1,\tfrac23r,r^2),\qquad L_0=d(\tfrac13,2r,r^2) \qquad U_0=d\left(\frac{4\sqrt3}{15},\frac{40}{3\sqrt3}r,64r^2\right)}$

Выглядит достаточно изящно, а максимальная погрешность составляет полтора процента.

6. Альтернативный подход: от старших поколений

До сих пор мы исходили из масс легкого поколения и использовали коэффициенты, увеличивающие массы старших. Но можно взглянуть на задачу с другой стороны: массы младших поколений подавляются некоторым эффектом с величиной epsilon.

Введем общий коэффициент для лептонов и нижних кварков и отдельный — для верхних:

$\epsilon_d=\epsilon_\ell=\frac{k}{r},\qquad \epsilon_u=\frac{5k}{16\sqrt3\,r},\qquad \frac{\epsilon_d}{\epsilon_u}=\frac{16\sqrt3}{5}$

Полагая k=2/3, получаем:

$\boxed{U_0=64B\left(\frac{36\sqrt3}{125}\epsilon_u^2,\epsilon_u,1\right),\quad D_0=B(\tfrac94\epsilon_d^2,\epsilon_d,1),\quad L_0=B(\tfrac34\epsilon_d^2,3\epsilon_d,1).}$

Первый коэффициент отличается от 1/2 на долю процента. Учитывая также, что B = tau = b, получаем:

$\boxed{U_0=64\tau\left(\frac{1}{2}\epsilon_u^2,\epsilon_u,1\right),\quad D_0=\tau(\tfrac94\epsilon_d^2,\epsilon_d,1),\quad L_0=\tau(\tfrac34\epsilon_d^2,3\epsilon_d,1).}$

7. Дополнительные соотношения

Вычислим v3*v1/v2/v2 отдельно для кварков и лептонов. Наши формулы дают следующие результаты:

$ut/c^2=1/2, \qquad bd/s^2=9/4, \qquad e\tau/\mu^2=1/12$

Подобные отношения уже изучались, хотя и для других энергий: например, u/d=4/9 [11]. Соотношение bd/s^2 также однажды встречалось в литературе [12].

Все эти выражения выполняются с погрешностью −3%. Если положить Z=0.97, то:

$Zut/c^2=1/2, \qquad b=Zdb/s^2=9/4, \qquad Ze\tau/\mu^2=1/12$

Эти соотношения выполняются почти точно. Не зная причины появления множителя Z, можно составить выражение, в котором он сокращается:

$\boxed{\mathcal R=\frac{ut\,s^2}{c^2db}\simeq\frac29.}$

Оно выполняется с погрешностью +0.05283%. Это совершенно новый и интересный результат.

Впрочем, R тоже меняется с энергией: точное равенство достигается при 1.6E6 Gev.

8. Углы CKM

Исторически эти углы связывают с отношениями масс:

$s_{12}\simeq\sqrt{d/s},\quad s_{23}\simeq\sqrt{u/c},\quad s_{13}\simeq\frac32\sqrt{u/t},\qquad \theta_{ij}=\arcsin s_{ij}.$

Здесь мы не предлагаем ничего принципиально нового, однако рассмотренный формализм может дать точные значения:

$s_{12}=\sqrt{2/r} \quad s_{23}=\frac15\sqrt{\frac2r} \quad s_{13}=\frac3{2r}\sqrt{\frac{\sqrt3}{240}}$

9. Почему это может быть важно

В этой работе действительно больше нумерологии, чем физики. Тем не менее перед нами две общие возможности. Первая: в нашем мире множество безразмерных констант неизвестного происхождения, и понять, почему они имеют именно такие значения, нам не дано. Остается разве что ссылаться на «антропный принцип» или предположить, что из 10**500 вариантов вакуума теории суперструн реализовался один с такими свойствами.

Вторая возможность состоит в том, что эти значения не случайны. Цель работы — дать основания надеяться именно на такой ответ.

Ссылки

[1] Y. Koide, “New view of quark and lepton mass hierarchy,” Phys. Rev. D 28 (1983) 252. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.28.252 .

[2] H. Georgi and C. Jarlskog, “A new lepton-quark mass relation in a unified theory,” Phys. Lett. B 86 (1979) 297–300. https://doi.org/10.1016/0370-2693(79)90842-6 .

[3] L. J. Hall, C. A. Manzari and C. Murgui, “A Low Scale for Quark-Lepton Unification,” arXiv:2610.33152 (23 October 2026). https://arxiv.org/abs/2610.33152 .

[4] M. E. Machacek and M. T. Vaughn, “Two-loop renormalization group equations in a general quantum field theory (II). Yukawa couplings,” Nucl. Phys. B 236 (1984) 221–232. https://doi.org/10.1016/0550-3213(84)90533-9 .

[5] D. Buttazzo et al., “Investigating the near-criticality of the Higgs boson,” JHEP 12 (2013) 089. https://doi.org/10.1007/JHEP12(2013)089 .

[6] Z.-z. Xing, H. Zhang and S. Zhou, “Updated values of running quark and lepton masses,” Phys. Rev. D 77 (2008) 113016, arXiv:0712.1419. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.77.113016 .

[7] S. Antusch, K. Hinze and S. Saad, “Updated Running Quark and Lepton Parameters at Various Scales,” arXiv:2510.01312; journal DOI https://doi.org/10.1103/fdcc-ycph . https://arxiv.org/abs/2510.01312 .

[8] D. Ng, “QCD renormalization for the top-quark mass in a mass geometrical mean hierarchy,” arXiv:hep-ph/9204221 (1992). https://arxiv.org/abs/hep-ph/9204221 .

[9] R. Gatto, G. Sartori and M. Tonin, “Weak self-masses, Cabibbo angle, and broken SU2 × SU2,” Phys. Lett. B 28 (1968) 128–130. https://doi.org/10.1016/0370-2693(68)90150-0 .

[10] “Minimal texture of quark mass matrices and precision CKM measurements,” PTEP 2020, 013B06. https://academic.oup.com/ptep/article/2020/1/013B06/5717851 .

[11] T. P. Singh, “Why Do Elementary Particles Have Such Strange Mass Ratios?—The Importance of Quantum Gravity at Low Energies,” Physics 4 (2022), DOI https://doi.org/10.3390/physics4030063 .

[12] D. Toupin, “Decoding Reality: Physical Constants as Arithmetic Invariants,” public manuscript record https://philarchive.org/rec/TOUDRP

Источник