Всемирная губка: как показать теорию всего на многообразиях Калаби — Яу

26 минут назад Прокомментировать Просмотры: 6

Сам удивляюсь, как за почти 400 публикаций в научно‑популярном блоге на SE7ENе я ни разу не завёл с вами разговор о теории струн. Между тем я знаком с темой лишь по двум авторитетным научно‑популярным книгам: «Закрученные пассажи» Лизы Рэндалл и «Космический ландшафт. Теория струн и иллюзия разумного замысла Вселенной» Леонарда Сасскинда. Теория струн сегодня — один из самых модных инструментов для объяснения квантовых явлений. Она исходит из того, что элементарные частицы представляют собой не точечные объекты, а вибрирующие струны, и колеблются эти струны не в трёх измерениях, а в пространствах с шестью, десятью и даже большим числом измерений. И на SE7ENе, и за его пределами можно прочесть о том, почему теория струн не удовлетворяет критерию фальсифицируемости и потому не считается строго научной (отличный перевод уважаемого @SLY_G: +29, 235 комментариев). В этой же статье я хочу рассказать о геометрической модели, описывающей шестимерное пространство и показывающей, как скрытые измерения могут умещаться в пространстве‑времени, которое мы воспринимаем как четырёхмерное. Речь пойдёт о гладких голоморфных многообразиях Калаби‑Яу. Название, прямо просящееся на афишу научно‑фантастического сериала, образовано из фамилий Эудженио Калаби (1923 — 2023) и Шинтуна Яу (род. 1949).

В 1953 году Эудженио Калаби задумался о фигурах, которые до него никто не мог себе представить. Это был целый класс гладких многообразий, живущих в шести измерениях и отбрасывающих в трёхмерное пространство «объёмную тень» — по аналогии с тем, как её отбрасывает четырёхмерный гиперкуб (о таких проекциях я уже писал на SE7ENе в статье «Вы снова здесь, изменчивые тени. В поисках истинно четырёхмерных объектов»). Многообразие — это поверхность, фигура или область пространства, способная существовать в любом числе измерений. Главная особенность гладкого многообразия в том, что в малой окрестности любой точки его поверхность неотличима от плоскости. Типичный пример — сфера: Земля имеет форму шара, и поэтому небольшой участок её поверхности кажется плоским.

Кривизна сферы постоянна. Иными словами, из какой бы точки и в каком бы направлении вы ни двинулись, ваш путь будет изгибаться одинаково. Однако так устроены далеко не все гладкие многообразия: у многих кривизна меняется от точки к точке. Одной из универсальных характеристик кривизны служит «тензор Риччи», который и заинтересовал Калаби. Исследуя кэлеровы многообразия (названные в честь немецкого математика Эриха Келера), он предположил, что кривизна Риччи может обращаться в нуль во всех их точках, если выполняются два топологических условия. Эти же условия однозначно определяют форму подобных многообразий. Выглядели они причудливо и слишком уж изящно, а потому никак не удавалось связать их с чем‑либо реальным.

С многообразиями Калаби Шинтун Яу столкнулся в 1970 году, будучи аспирантом Калифорнийского университета в Беркли. Судя по всему, он интуитивно почувствовал, что эти фигуры отражают нечто реальное, и взялся искать математический аппарат (уравнение), который бы их описал. Историю этой работы можно прочесть здесь.

В 1973 году на конференции по геометрии, где присутствовал и Калаби, Яу заявил, что нашёл контрпримеры, опровергающие существование таких многообразий. Тогда Калаби, вероятно, ничего не ответил настойчивому аспиранту, но через несколько месяцев вернулся к разговору и попросил Яу объяснить свои возражения. В итоге Яу пришлось признать собственные ошибки: в высших измерениях многообразия Калаби действительно могут существовать, и у них есть математическое обоснование. Следующий важный шаг был сделан лишь в конце 1990‑х: известный физик и популяризатор науки Брайан Грин выдвинул идею, что многообразия Калаби‑Яу способны описывать те 6–11 измерений, которые необходимы для согласованной работы теории струн и суперструн. Более того, если на масштабах планковской длины структура элементарных частиц напоминает многообразия Калаби‑Яу, то частицы и вправду можно представить как вибрирующие струны, а ячейки этих многообразий — как дополнительные измерения.

Хотя в трёхмерной проекции многообразия Калаби‑Яу выглядят чрезвычайно искривлёнными и ячеистыми, их средняя кривизна близка к нулю. Это свойство называют «Риччи‑плоскостью» (Риччи‑плоской геометрией), и именно оно позволяет сохранять суперсимметрию на масштабах планковской длины при компактификации (сильном «сворачивании») этих измерений.

Ниже перечислены основные математические свойства многообразий Калаби‑Яу (предупреждаю: даже если часть слов из этого списка вам знакома, остальные могут оказаться непростыми):

Это компактное кэлеровское многообразие — гладкое пространство со сложной структурой, в котором определено расстояние.
У него тривиальный канонический класс — в математическом смысле это значит, что геометрия такого многообразия сбалансирована.
Как уже говорилось, у многообразия Риччи‑плоская метрика: кривизна Риччи в каждой его точке равна нулю. Благодаря этому многообразия Калаби‑Яу можно описать теми уравнениями, которыми Эйнштейн описывал вакуум.
Группа голономий такого многообразия является подгруппой SU(n), а в частном случае односвязного многообразия совпадает с SU(n).
Многообразия Калаби‑Яу характеризуются числами Ходжа, которые позволяют подсчитать, сколько у многообразия «отверстий» или сколько циклов оно образует в пространстве.
Им свойственна уникальная, всюду определённая голоморфная n‑форма — своего рода аналог «объёма», нигде не обращающийся в нуль.

Многообразия Калаби‑Яу и теория струн

Принято считать, что путь к физической «Теории Всего» лежит через объединение фундаментальных взаимодействий и, как следствие, общей теории относительности с квантовой механикой. На SE7ENе об этом увлекательно рассказывали, в частности, уважаемый Владимир Радкевич @vsradkevich в статье «Теория всего. From Zero to Hero» (обратите внимание на то, как там изложены группы симметрий) и уважаемый @SLY_G в переводе «Почему М‑теория — главный кандидат на Теорию всего». Чтобы объединить эти теории, нужны дополнительные измерения (помимо четырёх наблюдаемых), которые определяют моды вибрации струн, отвечающие за такие фундаментальные свойства частиц, как масса и заряд.

Кроме того, многообразия Калаби‑Яу позволяют описывать локальные и глобальные формы поведения, из которых складывается динамика квантовых полей. Так, применительно к электромагнитному квантовому полю они могут описывать когерентность фаз и закономерности нарушения симметрии.

Помимо этого, топология пространств Калаби‑Яу способна объяснить нелокальные корреляции — например, квантовую запутанность и суперпозицию (эти явления нередко разбирают на примере двухщелевого эксперимента, который я уже рассматривал на SE7ENе в статье «Эксперимент с двумя щелями и границы макромира»). Выходит, что внешне разрозненные явления, включая квантовый обмен информацией, могут оказаться связанными в сложной геометрии многообразий Калаби‑Яу.

В 1985 году оксфордский физик Филип Канделас первым высказал мысль, что невидимые «струны» располагаются на многообразиях Калаби‑Яу; эту работу он выполнил вместе с Гэри Хоровицем, Эндрю Строминджером и Эдвардом Виттеном. Разные топологии Калаби‑Яу порождают разные внутренне непротиворечивые модели физики частиц, в том числе и ту, что мы наблюдаем в действительности. Например, число поколений элементарных частиц соответствует эйлеровой характеристике и числам Ходжа конкретного многообразия Калаби‑Яу.

Многообразия Калаби‑Яу помогают наглядно представить гипотетические струны — как физические тела в пространстве, пусть и лишь приближённо. Чтобы описать тело, необходимо задать его поверхность, границу с пространством и само окружающее пространство. По‑видимому, на масштабах порядка планковской длины, где и могут проявляться многообразия Калаби‑Яу, пространство как минимум пятимерно (шведский физик Оскар Клейн ещё в 1926 году решил уравнения Эйнштейна для пятимерного пространства) или даже шестимерно. При этом внутреннее устройство элементарных частиц пока недоступно прямому наблюдению: мы не знаем ни формы кварков, ни их взаимного расположения внутри адрона. Предположение о том, что внутренняя структура кварков (если она есть) может напоминать контуры Калаби‑Яу, высказано здесь, в блоге физика Стена Оденвальда.

Если судить о «внешнем облике» электрона по существующим экспериментам, он представляет собой лишь узел (сгусток) электромагнитного поля, у которого нет ни твёрдой поверхности, ни внутренних составляющих. И всё же у электрона прослеживается «электромагнитная поверхность», благодаря которой он не растворяется в атоме и не сливается с другими электронами. Если удастся доказать, что в электромагнитном поле мы видим лишь «тень» более многомерной частицы либо эффект вибрации струн в высших измерениях, то вопрос о внутренней структуре электрона перейдёт в разряд проверяемых экспериментально.

Что это может значить для теоретической физики и теорий Великого Объединения

Вероятно, многообразия Калаби‑Яу очень близки к истинному геометрическому образу физики частиц. Именно на такой или подобной поверхности (с учётом высших измерений) стоит попытаться «нарисовать», как объединяются фундаментальные взаимодействия. В рамках этого многомерного ландшафта четырёхмерное пространство‑время описывалось бы формой многообразия, а квантовая теория поля — вибрациями, которые определяются расположением и числом отверстий в многообразии. Одно из неожиданных следствий такой картины — возможное существование зеркальной симметрии, о которой в начале этого года на SE7ENе рассказал уважаемый @FirstJohn. Пока мы не научились управлять материей на масштабах планковской длины, подобные построения остаются теоретическими. Тем не менее они подводят нас к куда более фундаментальной теме — жизни на бранах. На SE7ENе она пока почти не освещена, но о ней можно узнать из книги Лизы Рэндалл «Закрученные пассажи», упомянутой выше, из недавнего интервью Бориса Штерна, а также из статьи «Космологические браны и макроскопические дополнительные измерения» Андрея Олеговича Барвинского — скорее научной, чем популярной. Суть феномена бран в том, что от числа измерений в той или иной части космического ландшафта зависит, какие элементарные частицы могут возникнуть в конкретной его «долине» и возникнет ли там вообще хоть что‑нибудь. Возможно, наблюдаемая гравитация так слаба по сравнению с остальными фундаментальными взаимодействиями потому, что она пронизывает множество бран одновременно, а мы измеряем лишь её малую, если не ничтожную часть. Надеюсь когда‑нибудь рассказать об этом на SE7ENе подробнее.

Источник