Визуализация геометрии ОТО на Python: черная дыра, эргосфера и фотонная сфера в разных метриках

3 часа назад Прокомментировать Просмотры: 0

В рамках данного материала мы зайземся математическим моделированием и трехмерной визуализацией черных дыр, а также выпишем фундаментальные уравнения, определяющие их поведение.

Фундаментальной основой выступают уравнения гравитационного поля Эйнштейна, принадлежащие общей теории относительности (Источник [1]):

Где:

$R_{\mu\nu}$

— тензор Риччи,
R — скалярная кривизна пространства,

$g_{\mu\nu}$

— метрический тензор,
Λ — космологическая постоянная,

$T_{\mu\nu}$

— тензор энергии‑импульса материи и полей,
G, c — гравитационная постоянная Ньютона и скорость света соответственно.

Точные аналитические решения этих уравнений (Источник [2]), учитывающие определенные симметрии, носят название метрик. Рассмотрим главные из них:

1) Метрика Шварцшильда в стандартной системе координат (описывает стационарную сферически-симметричную черную дыру, лишенную электрического заряда и вращательного момента) (Источник [3]):

$ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2\right)$

где

$r_s = \frac{2GM}{c^2}$

представляет собой гравитационный радиус (радиус горизонта событий).

Реализовав скрипт для визуализации,

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
Параметры
M = 1.0  # Масса чёрной дыры (в условных единицах)
rs = 2 * M  # Радиус Шварцшильда
Сетка координат
r = np.linspace(rs, 10, 200)
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 200)
R, Theta = np.meshgrid(r, theta)
Параболоид Фламма: z ~ sqrt(r - rs)
Это упрощённая модель для визуализации кривизны
Z = 2 * np.sqrt(R - rs)
Переход к декартовым координатам
X = R  np.cos(Theta)
Y = R  np.sin(Theta)
Построение графика
fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, cmap='viridis', alpha=0.9, edgecolor="none")
Горизонт событий (окружность радиуса rs)
circle_theta = np.linspace(0, 2np.pi, 100)
circle_x = rs  np.cos(circle_theta)
circle_y = rs * np.sin(circle_theta)
circle_z = np.zeros_like(circle_x)
ax.plot(circle_x, circle_y, circle_z, color="red", linewidth=3, label="Горизонт событий")
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z (кривизна)')
ax.set_title('Метрика Шварцшильда')
ax.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

мы получим следующие графики:

Сингулярность в данном случае является точечной.

2) Метрика Керра в координатах Бойера — Линдквиста (Источник [4]), описывающая вращающиеся черные дыры:

$\begin{align} ds^2 ={}& -\left(1 - \frac{2Mr}{\rho^2}\right) dt^2 - \frac{4Mar\sin^2\theta}{\rho^2} \, dt\, d\phi + \frac{\rho^2}{\Delta} \, dr^2 \notag \\ &+ \rho^2 \, d\theta^2 + \left(r^2 + a^2 + \frac{2Ma^2r\sin^2\theta}{\rho^2}\right)\sin^2\theta \, d\phi^2, \end{align}$

Где:

$\rho^2 = r^2 + M^2a^2\cos^2\theta, \quad$ $\Delta = r^2 - 2Mr + M^2a^2$

— удельный параметр вращения.

M и J — масса и собственный момент импульса объекта.

Радиус горизонта событий в этой геометрии рассчитывается так:

$r_+ = M + \sqrt{M^2 - a^2}$

А граница статической зоны (эргосферы) определяется выражением:

$r_{\text{erg}}(\theta) = M + \sqrt{M^2 - a^2\cos^2\theta}$

Код для построения этой модели на Python:

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go
M = 1.0
a = 0.9  # почти экстремальная чёрная дыра
def r_erg_theta(theta):
return M + np.sqrt(M2 - a2 * np.cos(theta)**2)
r_h = M + np.sqrt(M2 - a2)
theta = np.linspace(0, np.pi, 100)
phi = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
THETA, PHI = np.meshgrid(theta, phi)
Эргосфера в сферических координатах -> декартовы
r_e_grid = r_erg_theta(THETA)
X_e = r_e_grid  np.sin(THETA)  np.cos(PHI)
Y_e = r_e_grid  np.sin(THETA)  np.sin(PHI)
Z_e = r_e_grid * np.cos(THETA)
Горизонт событий (сфера по r, но это не сфера в обычном смысле из-за координат)
r_h_grid = np.full_like(THETA, r_h)
X_h = r_h_grid  np.sin(THETA)  np.cos(PHI)
Y_h = r_h_grid  np.sin(THETA)  np.sin(PHI)
Z_h = r_h_grid * np.cos(THETA)
Кольцевая сингулярность: r=0, theta=pi/2 (экваториальная плоскость)
R_ring = 0.05  # радиус кольца для визуализации (сингулярность формально нулевая)
z_ring = 0
theta_ring = np.pi/2
x_ring = R_ring  np.cos(phi)
y_ring = R_ring  np.sin(phi)
z_ring_arr = np.zeros_like(x_ring)
fig = go.Figure()
Эргосфера
fig.add_trace(go.Surface(
x=X_e, y=Y_e, z=Z_e,
colorscale="Blues", opacity=0.6,
showscale=False, name="Эргосфера"
))
Горизонт
fig.add_trace(go.Surface(
x=X_h, y=Y_h, z=Z_h,
colorscale="Greys", opacity=1.0,
showscale=False, name="Горизонт событий"
))
Кольцо сингулярности
fig.add_trace(go.Scatter3d(
x=x_ring, y=y_ring, z=z_ring_arr,
mode="lines", line=dict(color="red", width=4),
name="Кольцевая сингулярность"
))
fig.update_layout(
title=f'Строение чёрной дыры (метрика Керра), a = {a}',
scene=dict(
xaxis_title="x",
yaxis_title="y",
zaxis_title="z",
aspectmode="data"
),
width=800,
height=700
)
fig.show()

Итоговая визуализация:

Главными особенностями метрики Керра являются эргосфера (Источник[26]) — зона за пределами горизонта, где световые лучи вынужденно вращаются вслед за центральным объектом из-за эффекта увлечения инерциальных систем (Лензе — Тирринга), а также кольцевая сингулярность (Источник[27]), заменяющая собой точечный объект Шварцшильда.

3) Метрика Рейсснера — Нордстрёма (Источник [5]), описывающая незаряженную, но статичную или заряженную черную дыру:

$ds^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r} + \frac{Q^2}{r^2}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{2M}{r} + \frac{Q^2}{r^2}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2)$

Здесь Q обозначает электрический заряд системы.

Проиллюстрируем влияние заряда на горизонты событий:

А также покажем деформацию радиальной координаты:

Программный код для генерации трехмерной модели такого объекта:

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go
M = 1.0
Q_vals = [0.0, 0.5, 0.8, 0.95]  # можно менять
theta = np.linspace(0, np.pi, 60)
phi = np.linspace(0, 2*np.pi, 80)
THETA, PHI = np.meshgrid(theta, phi)
fig = go.Figure()
for i, Q in enumerate(Q_vals):
disc = M2 - Q2
if disc < 0:
print(f"Q={Q:.2f}: голая сингулярность, горизонтов нет")
continue
r_plus = M + np.sqrt(disc)
r_minus = M - np.sqrt(disc) if disc > 0 else None
# Внешний горизонт
X_out = r_plus * np.sin(THETA) * np.cos(PHI)
Y_out = r_plus * np.sin(THETA) * np.sin(PHI)
Z_out = r_plus * np.cos(THETA)

fig.add_trace(go.Surface(
    x=X_out, y=Y_out, z=Z_out,
    colorscale="Viridis",
    opacity=0.85,
    showscale=False,
    name=f'Q={Q:.2f}, r_+'
))

# Внутренний горизонт (если есть)
if r_minus is not None and r_minus > 0:
    X_in = r_minus * np.sin(THETA) * np.cos(PHI)
    Y_in = r_minus * np.sin(THETA) * np.sin(PHI)
    Z_in = r_minus * np.cos(THETA)

    fig.add_trace(go.Surface(
        x=X_in, y=Y_in, z=Z_in,
        colorscale="Plasma",
        opacity=0.9,
        showscale=False,
        name=f'Q={Q:.2f}, r_-'
    ))
fig.update_layout(

title=f'Горизонты чёрной дыры Рейсснера–Нордстрёма (M={M})',

scene=dict(

xaxis_title="x",

yaxis_title="y",

zaxis_title="z",

aspectmode="data"

),

width=800,

height=700

)

fig.show()
Результат выполнения кода:
Метрика Рейсснера‑Нордстрёма.
В данном случае эргосфера отсутствует, так как она свойственна исключительно вращающимся конфигурациям.
При этом возникают две раздельные поверхности горизонтов — внешний и внутренний, что отчетливо видно на иллюстрации.
4) Метрика Керра — Ньюмана в координатах Бойера — Линдквиста (Источник [6]), описывающая одновременно вращающуюся и заряженную черную дыру:

Где обозначения:

представляют собой наиболее универсальное стационарное решение уравнений Эйнштейна, геометрия которого задается тремя физическими величинами: M, a, Q.
Рассмотрим взаимное расположение горизонтов и эргосферы:
Метрика Керра‑Ньюмана
Скрипт для построения модели Керра — Ньюмана:
import numpy as np
import plotly.graph_objects as go
M = 1.0
a = 0.7
Q = 0.4
theta_vals = np.linspace(0, np.pi, 60)
phi_vals = np.linspace(0, 2*np.pi, 80)
THETA, PHI = np.meshgrid(theta_vals, phi_vals)
Горизонт: r = r_plus (не зависит от theta)
disc = M2 - a2 - Q**2
if disc < 0:
raise ValueError("Параметры дают голую сингулярность")
r_plus = M + np.sqrt(disc)
X_h = r_plus  np.sin(THETA)  np.cos(PHI)
Y_h = r_plus  np.sin(THETA)  np.sin(PHI)
Z_h = r_plus * np.cos(THETA)
Эргосфера: r_erg(theta) = M + sqrt(M^2 - a^2*cos^2(theta) - Q^2)
term_erg = M2 - (a2)*(np.cos(THETA)2) - Q2
mask = term_erg >= 0
r_erg_grid = np.zeros_like(THETA)
r_erg_grid[mask] = M + np.sqrt(term_erg[mask])
X_e = r_erg_grid  np.sin(THETA)  np.cos(PHI)
Y_e = r_erg_grid  np.sin(THETA)  np.sin(PHI)
Z_e = r_erg_grid * np.cos(THETA)
fig = go.Figure()
Горизонт
fig.add_trace(go.Surface(
x=X_h, y=Y_h, z=Z_h,
colorscale="Greys",
opacity=1.0,
showscale=False,
name="Горизонт событий"
))
Эргосфера
fig.add_trace(go.Surface(
x=X_e, y=Y_e, z=Z_e,
colorscale="Viridis",
opacity=0.6,
showscale=False,
name="Эргосфера"
))
fig.update_layout(
title=f'Эргосфера и горизонт в метрике Керра–Ньюмана (M={M}, a={a}, Q={Q})',
scene=dict(
xaxis_title="x",
yaxis_title="y",
zaxis_title="z",
aspectmode="data"
),
width=800,
height=700
)
fig.show()
Итоговая трехмерная сцена:
Черная дыра в метрике Керра‑Ньюмана
 Следует учитывать, что реальные астрофизические объекты вряд ли обладают заметным электрическим зарядом из-за быстрого процесса его нейтрализации окружающей плазмой. Тем не менее модели Керра — Ньюмана и Рейсснера — Нордстрёма имеют фундаментальное теоретическое значение как предельные случаи и удобный полигон для тестирования вычислительных методов.
Почти во всех рассмотренных метриках присутствует так называемая фотонная сфера (Источник[28]) — область пространства, где возможно существование круговых световых орбит (нулевых геодезических), вдоль которых фотоны движутся по замкнутым кольцевым траекториям. Это происходит в точках, где эффективный потенциал для безмассовых частиц достигает экстремума, хотя сама подобная орбита является нестабильной.
Таким образом, в рамках данной работы была выполнена компьютерная визуализация геометрий черных дыр для четырех базовых метрик, продемонстрированы их ключевые различия и построены наглядные графики.
Материал носит ознакомительный и демонстрационный характер.
Литература:


https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнения_Эйнштейна


https://ru.wikipedia.org/wiki/Решения_уравнений_Эйнштейна


https://ru.wikipedia.org/wiki/Метрика_Шварцшильда


https://translated.turbopages.org/proxy_u/en‑ru.ru.ccbd0af6-6a67b04a-35689e94-74722d776562/https/en.wikipedia.org/wiki/Kerr_metric


https://en.wikipedia.org/wiki/Reissner‑Nordström_metric


https://en.wikipedia.org/wiki/Kerr‑Newman_metric


https://bigenc.ru/wiki/Чёрная_дыра_Райсснера_‑_Нордстрёма


С. А. Пастон, А. А. Шейкин «Глобальное вложение метрики Рейсснера‑Нордстрёма в плоское окружающее пространство» (SIGMA, 2014, № 10, 003).


М. Джемри «Деформация термодинамики АдС чёрной дыры Рейсснера‑Нордстрёма, порождённая поправками Данкла» («Теоретическая и математическая физика», 2026, т. 227, № 1, с. 188–205).


https://cyberleninka.ru/article/n/entropiya‑chernoy‑dyry‑v‑modeli‑reysnera‑nordstryoma‑de‑sittera


Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. «Теория тяготения и эволюция звёзд» 


https://cyberleninka.ru/article/n/uravneniya‑eynshteyna‑i‑ego‑svoystva


https://cyberleninka.ru/article/n/o‑geometricheskoy‑klassifikatsii‑uravneniy‑eynshteyna


С. Чандрасекар «Математическая теория чёрных дыр» (в 2 томах, перевод В. А. Березина, под ред. Д. А. Гальцова, «Мир», 1986). 


А. М. Баранов «О метрике Керра — Ньюмена» («Пространство, время и фундаментальные взаимодействия», 2021, № 2, с. 42–47). 


В. П. Фролов «Решения типа Керра — Ньюмена — Унти — Тамбурино уравнений Эйнштейна с космологическим членом» («Теоретическая и математическая физика», 1974, т. 21, № 2, с. 213–223). 


А. Ф. Захаров «Тени и круговые фотонные орбиты: рассмотрение некоторых случаев обобщений чёрных дыр Керра — Ньюмена» («Письма в ЭЧАЯ», 2025). 


В. П. Фролов, И. Д. Новиков «Чёрные дыры во Вселенной» (обзорные лекции/статьи, часто встречаются в сборниках).


https://archive.org/details/arxiv‑hep‑th0112237


https://arxiv.org/pdf/1408.3334


https://en.wikipedia.org/wiki/Geodesics_in_general_relativity


С. О. Алексеев, Е. А. Памятных, А. В. Урсулов «Общая теория относительности. Введение. Современное развитие и приложения» (2022).


С. Хокинг, Дж. Эллис «Крупномасштабная структура пространства‑времени».


Eva Hackmann “Geodesic equations in General Relativity: Motion in black hole space‑times with and without cosmological constant” 


https://www.dissercat.com/content/dvizhenie‑chastits‑vblizi‑chernykh‑dyr


https://ru.wikipedia.org/wiki/Эргосфера


https://ru.wikipedia.org/wiki/Кольцеобразная_сингулярность


https://en.wikipedia.org/wiki/Photon_sphere





 
Источник