Структура магнитного поля постоянного магнита

Поставим перед собой задачу: для постоянного магнита заданной геометрии необходимо вывести аналитическую зависимость вектора магнитной индукции B в произвольной точке трехмерного пространства. Предположим, что намагниченность магнита однородна, и рассмотрим два классических случая.

1. Магнит в форме прямоугольного параллелепипеда (полосовой магнит) с габаритами 2a × 2b × 2c. В качестве начала координат O выберем центр фигуры, ориентировав декартову систему XOYZ по правилу правой руки. Схематичное представление модели приведено ниже:

2. Цилиндрический магнит радиусом R и высотой 2h. Центр системы координат также расположен в геометрическом центре цилиндра.

Ниже представлен Python-скрипт для численного моделирования и графической интерпретации магнитного поля цилиндрического источника:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
Параметры магнитной системы
mu_0 = 4  np.pi  1e-7

mu = 1.0

rho = 1.0

v = 1.0

R = 0.1

h = 0.2  
const = mu_0  mu  rho  v / (4  np.pi)
def calculate_field(r0, z0):
def I1(r0, z0):
integral = 0
for r in np.linspace(0, R, 100):
term1 = (z0 - h)  np.log(
(np.sqrt((z0 - h)2 + (R - r0)2) + R - r0) /
(np.sqrt((z0 - h)2 + r02) - r0)
)
term2 = np.sqrt((z0 - h)2 + (R - r0)2) - np.sqrt((z0 - h)2 + r02)
term3 = (z0 + h)  np.log(
(np.sqrt((z0 + h)2 + (R - r0)2) + R - r0) /
(np.sqrt((z0 + h)2 + r02) - r0)
)
term4 = np.sqrt((z0 + h)2 + (R - r0)2) - np.sqrt((z0 + h)2 + r02)
integral += r * (term1 + term2 + term3 + term4)
return integral
def I2(r0, z0):
    integral = 0
    for r in np.linspace(0, R, 100):
        term = (r - r0) / np.sqrt((r - r0)**2 + (z0 - h)**2)
        integral += r * term
    return integral

Br = const * I1(r0, z0)
Bz = const * I2(r0, z0)
return Br, Bz
r = np.linspace(0, 2R, 50)

z = np.linspace(-2h, 2*h, 50)

R_grid, Z_grid = np.meshgrid(r, z)
Br_grid = np.zeros_like(R_grid)

Bz_grid = np.zeros_like(Z_grid)
for i in range(R_grid.shape[0]):

for j in range(R_grid.shape[1]):

Br_grid[i,j], Bz_grid[i,j] = calculate_field(R_grid[i,j], Z_grid[i,j])
plt.figure(figsize=(14, 8))

plt.subplot(121)

plt.pcolormesh(R_grid, Z_grid, Br_grid, cmap=cm.coolwarm)

plt.colorbar(label="Br (Тл)")

plt.title('Радиальная составляющая вектора B')

plt.xlabel('r (м)')

plt.ylabel('z (м)')

plt.axis('equal')
plt.subplot(122)

plt.pcolormesh(R_grid, Z_grid, Bz_grid, cmap=cm.coolwarm)

plt.colorbar(label="Bz (Тл)")

plt.title('Осевая составляющая вектора B')

plt.xlabel('r (м)')

plt.ylabel('z (м)')

plt.axis('equal')
plt.tight_layout()

plt.show()


Результаты моделирования:

На полученных графиках наблюдается неоднородность распределения магнитного поля. Это может быть обусловлено как сложной нелинейной зависимостью компонент B(r, z), так и погрешностями при переносе аналитических выражений в вычислительную среду. Предлагаю заинтересованным читателям самостоятельно проверить корректность алгоритма и внести необходимые коррективы.
Таким образом, в рамках статьи были выведены аналитические формулы для полей базовых геометрий магнитов и реализован инструмент для их численной визуализации.
Список литературы:


Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля (Том II). — 1967.


Слесарев Ю. Н. и др. «Математическое моделирование магнитных полей постоянных магнитов цилиндрической формы и эквивалентных им соленоидов» // Модели, системы, сети. — 2016. — № 4 (20). — С. 150–157.


Слесарев Ю. Н., Воронцов А. А. «Исследование магнитных полей постоянных магнитов цилиндрической формы и соленоидов и сравнение полученных результатов» // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. — 2016. — № 6 (34). — С. 110–115.


Черкасова О. А. «Исследование магнитного поля постоянного магнита с помощью компьютерного моделирования» // Гетеромагнитная микроэлектроника. — 2014. — Вып. 17. — С. 112–120.


Черкасова О. А., Черкасова С. А. «Компьютерное моделирование магнитного поля системы подмагничивания гетеромагнитного устройства» // ИНЖИНИРИНГ ТЕХНО 2015: сборник трудов III Междунар. научно-практ. конф. — Саратов: Райт-Экспо, 2015. — Т. 2. — С. 97–103.





 

Источник