Сравнительный анализ SCAD++, Lira и ammonit3d: тестирование точности на одном конечном элементе

22 минуты назад

Вводная часть

В предыдущем материале «Облако своими руками для расчета пространственных стержней методом конечных элементов на Node js, React js и Three js» мы анонсировали ammonit3d — облачное SPA-решение для проектирования пространственных стержневых конструкций (ферм, рам, балочных систем и опор ЛЭП). В основе системы лежит метод конечных элементов (МКЭ), использующий численно-аналитический подход. Математический базис модели — классическая теория Эйлера-Бернулли, описывающая упругое поведение стержня длиной L с изгибной жесткостью EJ. В данной конфигурации стержень подвергается воздействию сосредоточенных сил F и моментов M, а также распределенных нагрузок q(x) и m(x). Для одноосного напряженно-деформированного состояния при допущении о гипотезе плоских сечений, поведение оси балки описывается неоднородным дифференциальным уравнением 4-го порядка:

$EJ_3 \dfrac{d^4v}{dx^4} = q(x) - \dfrac{dm}{dx}, \quad q(x) = kx + q_0, \quad m(x) = rx + m_0,\quad x\in[0,L],$

Общее решение уравнения складывается из частного решения неоднородной части и фундаментальной системы решений однородного уравнения:

$v(x)=\dfrac{kx^5}{120EJ_3}+\dfrac{(q_0-r)x^4}{24EJ_3}+a_4x^3+a_3x^2+a_2x+a_1.$

При заданных граничных условиях:

$\begin{equation}\begin{cases}\begin{array} \, v(0)=v^1,\quad v,_1(0)=\varphi^1,\\v(L)=v^2, \quad v,_1(L)= \varphi^2,\end{array}\end{cases}\end{equation}$

неизвестные константы интегрирования можно определить через значения перемещений и углов поворота узлов, используя интерполяцию эрмитовыми полиномами N:

$\begin{array} \, v(x) = \dfrac{k}{EJ_3}\left(\dfrac{x^5}{120}-\dfrac{x^3L^2}{40}+\dfrac{x^2L^2}{60}\right)+\dfrac{q_0-r}{EJ_3}\left(\dfrac{x^4}{24}-\dfrac{x^3L}{12}+\dfrac{x^2L^2}{24}\right)+N_p^i\alpha_i^p,\\N_p^1\alpha_1^p=\left(\dfrac{2x^3}{L^3}-\dfrac{3x^2}{L^2}+1\right)\,v^1 + \left(-\dfrac{2x^3}{L^3}+\dfrac{3x^2}{L^2}\right)\,v^2,\quad i=1,2, \quad p = 1,2,\\ N_p^2\alpha_2^p=\left(\dfrac{x^3}{L^2}-\dfrac{2x^2}{L}+x\right)\,\varphi^1 + \left(\dfrac{x^3}{L^2}-\dfrac{x^2}{L}\right)\,\varphi^2,\quad \alpha_1^p=v^p, \quad \alpha_2^p=\varphi^p. \end{array}$

Верификация расчетов: сравнение SCAD++, Lira и ammonit3d

Рис.1 Модель балки длиной L=1 м, с жёстким защемлением концов и сечением 25х25мм из стали E=2.06e+11, v=0.3. — Рис.1 Расчетная схема балки (L=1 м, жесткая заделка, сечение 25×25 мм, сталь с модулем Юнга E = 2.06e+11 Па, коэфф. Пуассона 0.3).

Для тестирования используем балку длиной 1 метр с жестким защемлением на концах. Параметры сечения и материала соответствуют стандартным характеристикам стальной конструкции. Приложим равномерно распределенную нагрузку интенсивностью 3 кН/м (Рис. 1). Аналитическое решение позволяет получить точные эпюры прогибов v(x) и изгибающих моментов M(x):

$v(x) = \dfrac{q_0}{EJ}\left(\dfrac{x^4}{24}-\dfrac{x^3L}{12}+\dfrac{x^2L^2}{24}\right), \quad M(x) = -EJ\dfrac{d^2v}{dx^2} = -q_0\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{xL}{2}+\dfrac{L^2}{12}\right).$

Графическая интерпретация этих зависимостей приведена на Рис. 2.

Рис. 2. Зависимости функции прогиба v(x) и момента M(x) по длине балки. — Рис. 2. Распределение прогибов v(x) и моментов M(x) вдоль оси балки.

Согласно расчетам, максимальный прогиб v = -1.165e-3 м зафиксирован в центре пролета, а экстремальные моменты (-250 Нм) приходятся на узлы закрепления; в центре момент составляет 125 Нм. Ниже представлены результаты численного моделирования в SCAD++, Lira и ammonit3d (Рис. 3, 4, 5).

Рис. 3 Графики прогиба v(x) и момента M(x) по длине балки, найденный в программе SCAD++ — Рис. 3 Результаты расчета в SCAD++.

Рис. 4 Графики момента M(x) и прогиба v(x) по длине балки, найденный в программе Lira — Рис. 4 Результаты расчета в ПК Lira.

Рис. 5 Графики момента M(x) и прогиба v(x) по длине балки, найденный в ammonit3d, модель: analytic — Рис. 5 Результаты визуализации в ammonit3d (аналитическая модель).

Как видно из таблицы 1, данные всех трех инструментов полностью коррелируют с аналитическим решением. Важное преимущество ammonit3d заключается в интерактивной визуализации эпюр непосредственно на расчетной 3D-модели, тогда как классические ПК (SCAD++, Lira) зачастую требуют для этого открытия дополнительных графических окон.

Программный комплекс	$v(0.0), 10^{-3} м$	$M(0.5), \,Н\cdotм$	$M(0.0), \,Н\cdotм$
Теоретическое (аналитика)	-1.165000	125	250
SCAD++	-1.164999	125	250
Lira	-1.165000	125	250
ammonit3d	-1.165000	125	250

Заключение

Коммерческое ПО уровня SCAD++ и Lira демонстрирует безупречную математическую точность, реализуя модель Эйлера-Бернулли на конечном элементе. Однако ammonit3d предлагает принципиально иной уровень мобильности и пользовательского опыта: облачная архитектура позволяет работать с инженерными моделями на любых устройствах, будь то планшет или смартфон. Ключевое преимущество проекта — возможность организации совместной работы через публикацию прямых ссылок на 3D-модели в мессенджерах или профессиональных сообществах, что значительно упрощает коммуникацию между участниками проектирования.

Источник

Сравнительный анализ SCAD++, Lira и ammonit3d: тестирование точности на одном конечном элементе

Вводная часть

Верификация расчетов: сравнение SCAD++, Lira и ammonit3d

Заключение

Читайте также

Паблик ВКонтакте

Последние посты