Продолжаем знакомство с моделью числа и ее свойствами, а конкретно, с симметриями на разном уровне представления модели: областей строк, отдельных строк, элементов одной строки и элементов разных строк. Для читателей, ознакомившимися с моими предыдущими статьей 1(О разложении модели числа), статьей 2 (О симметриях…) и др. предлагается продолжить знакомство с проблемой моделирования и исследования чисел. Прошелся по результатам анализа своих публикаций и очень благодарен разработчику этого объективного механизма оценивания чужого внимания к авторским работам. Как же порой мы ошибаемся.
Те статьи, которые мне казались замечательными и необходимыми, читатели таковыми не считают. А где-то даже наоборот. Я допускаю, что аудитория очень разноплановая и уровень подготовки от школьного до настоящего доктора наук (есть наверное популяризаторы, которым нравится такая аудитория), но все мы в оковах собственного сознания и самосознания.
В моей памяти образ физика Ампера, который поставил перед собой задачу раскрыть связь явлений магнитных и электрических, чтобы не забывать о задаче, в карман пиджака положил магнит (он ему о ней напоминал). Порвал несколько пиджаков, но результата не было.
Экспериментальная установка катушка провода, железный стержень, батарея в цепи с катушкой вольтметр\амперметр, ключ.
Для уменьшения влияний прибор вынесли в другую комнату.
Замыкали цепь, в катушку вставляли стержень и оба с помощником шли к прибору смотреть показания. Прибор не показывал ничего. Так шло время, пока однажды помощник не застрял около прибора, и не увидел как его стрелка качнулась! Крикнул: что вы сделали, прибор ожил!.
Рано или поздно это должно было случиться и оно случилось!
Изучая свойства, мы обогащаем наши знания об объекте. В какой-то момент (случайный или нет). Знаний станет столько, что они свяжутся воедино и приведут к искомому решению. Отсюда терпение, тщательность, аккуратность регистрируемость, поиск новых гипотез их проверка и т.п. вещи.
Цель публикации в первую очередь образовательная, познавательная, популяризация науки, а также стремление привлечь в ряды исследователей, в науку приток новых молодых (и не очень) умов, вызвать в таких умах стремление к поиску ответов на возникающие вопросы. Масштабность темы требует ввести разумные ограничения на излагаемый материал после краткого панорамного её рассмотрения .
Введение
По мере изложения текста используются аббревиатуры (сокращения), которые я собрал в одном месте для удобства читателя. Эти сокращения мной используются во всех статьях по проблеме факторизации числа и информационной безопасности.
СММ – списочная многострочная модель числа;
ЗРД — закон распределения делителей числа;
НРЧ — натуральный ряд чисел;
ПНЧ — последовательность нечетных чисел;
ИБ — информационная безопасность;
КВВ — квадратичный вычет элемента кольца по модулю N;
КВК — квадратичный вычет – полный квадрат;
Идемпотент — идемпотентный элемент, элемент е кольца, полугруппы или группоида, равный своему квадрату: е2 = е.
Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — инволютивный элемент х кольца, квадрат которого х2 =1; преобразование, которое является обратным самому себе, а квадрат инволюции равен единице в кольце.
Ранее уже упоминалось, что в СМ-модели установлено, по меньшей мере, пять осей (позиций, линий) симметрии (по двум первым позициям материалы описаны, рассмотрены и опубликованы):
– нулевая (нижняя) строка модели;
– центральная строка модели;
– строка нетривиальных инволюций;
– линия раздела четверки смежных кратных пар строк;
– линия, разделяющая строки идемпотентов;
Каждая из перечисленных позиций, обеспечивает самостоятельный вариант компоновки строк с вычетами, в основу которых кладется определение номера исходной и дублируемой строки.
Симметрии СМ-моделиСимметрии строк в слоях окаймления и их строк-дублей
Задача локализации строк. Как в СММ распределяются строки, содержащие тройки связанных вычетов (rл – левый, rс – средний, rп – правый)? Прежде всего, это касается номеров строк, содержащих такие тройки, и их дублируемых квадратичных и других вычетов. Другими словами, интерес представляет решение следующей задачи: в строке известен один, два или все три из тройки вычетов. Как определить номера строк (оригинала и дубля), в которых эта тройка вычетов содержится?
Важная роль при изучении распределений вычетов отводится симметриям. В списке строк СММ имеются некоторые линии, строки, которые играют в ней роль осей (точек) симметрии. Например, при задании центральной строки СММ, если определить ее окаймляющий n-й, n < ½x оmax, слой относительно центра, то для парной строки этого слоя разность левых вычетов (и двух других) будет равна номеру n слоя.
Совсем не так и не то будет иметь место, если вместо центральной строки взять строку
нетривиальных инволюций. При этом, разумеется, список СММ остается тем же
самым, а смещается лишь ось симметрии
4. Строка нетривиальных инволюций СМ-модели
Относительно строки-дубля нетривиальных инволюций СММ (эта строка списка имеет номером хо = In меньшую инволюцию и ее КВВ равен 1) пойдет дальше наш разговор. Элементы строки инволюции х1> хо при этом записываются рядом (пары элементов имеют постоянную сумму равную х1 + хо = N). КВВ rл (хо) = rл (х1) = 1 значений х1, хо как и в каждой строке при складывании списка пополам совпадают, их записываем в левую позицию строки (rл, х1, хо, t), а справа от пары записывается разность (t = х1 – хо).
Рассмотрим подробнее свойство строк СМ-модели, которое проявляется с дублями строк, послойно окаймляющих строку инволюций, и для других КВК = 1, 4, 9, 16…. Такие конструкции выделены и собраны компактно в таблице А0. .
Окаймление строк, содержащих КВВ-полные квадраты(КВК)
Симметрии строк с КВВ = КВК. Напомним, что строки, нечетная кратность которых одному из делителей проявляется в колонках Т и Тп в списке расширенной СММ следуют смежными парами в колонках Р и Rc. Такие пары строк разделены разным числом некратных строк, изменяющимся от максимума до нуля. Как раз такой единственный случай (с нулем) образует четверка смежных кратных строк ( Строки (N = 989) 1-го слоя, окаймляющие строку-дубль нетривиальных инволюций с номером хоинв = 300, имеют номера хоинв ± 1. Значение нижней из них совпадает (для Значение х1 =689+1 = 690 верхней строки 1-го слоя совпадает со средним вычетом 3-й строки 4-ки (690, 2256+1 = 2257). Средний вычет верхней\нижней строк 4-ки кратных смежных строк ( Рисунок 1 – Фрагмент связей квадратичных вычетов в СМ-модели. Все строки СММ с КВВ = КВК полными квадратами окаймляются послойно (как и строка-дубль инволюций) другими строками, но значения КВВ в этих строках распределяются своеобразно. Для пар окаймляющих отдаляющихся строк в каждом из столбцов введем нумерацию j=1(1)6 слоев. Пара строк первого (j =1) слоя в каждом столбце непосредственно примыкает к центральной строке, содержащей в роли левого вычета полный квадрат. К ней примыкает пара второго слоя, за ней следует пара третьего слоя и т.д. Практически все строки слоев в парах некратные делителям N, но пара j-го слоя в j-й колонке всегда образована кратными разным делителям N строками. Номер слоя j с кратными строками определяется КВВ rл = j2 окаймляемой строки. Эти строки образуют решающие интервалы (РИ). Более того, пары строк каждого слоя являются дублирующими парами пар строк оригинала, которые в свою очередь являются окаймляющими парами строк, содержащими полные квадраты КВК меньшие рассматриваемого rл = j2. В сущности, ячейки с заливкой разного цвета в каждом столбце реализуют решающий интервал в области аттракторов. Разберем ситуацию со строками на примере. Строки СМ-модели с полными квадратами окаймляются по некоторым (загадочным) правилам, существо которых пока ясно не до конца. Пример, иллюстрирующий подобное окаймление, позволяет прояснить отдельные детали. Дело в том, что правила окаймления введены не разработчиком СМ-модели, а являются результатом (проявлением свойства) некоторой закономерности НРЧ. Заливкой выделены КВВ строк кратных разным делителям модуля N, номера их слоя соответствуют первой степени полных квадратов в центрах. Даем примеры N = 1163999 и N = 989. Изменение цвета в ячейках обусловлено редукцией по модулю вычисляемых значений КВВ. Рисунки 2,3 подтверждают, что выявленные симметрии имеют место не для единственного Рисунок 2 – Фрагмент связей квадратичных вычетов КВК строк с КВВ строк-слоев в СМ-модели. Для общей СМ-модели числа N = 1163999 =1031·1129 зависимости послойного окаймления строк остаются справедливыми аналогия сохраняетс. Пример 2. (Симметрия строки нетривиальных инволюций). Пусть N = 989. Зафиксируем строку-дубль, содержащую КВК rл = j2 = 25. Оригинал этой строки имеет номер хо = 5 в В окаймляющих строках строку нетривиальных инволюций (верхняя rл = 391, rп = 598; нижняя Ранее нами установлено свойство, состоящее в том, что подстановка значения t некоторой строки в позицию х новой генерируемой строки удваивает меньший х и учетверяет КВВ исходной строки. Проявление этого свойства мы и наблюдаем в таблице 2 при обработке строки с rл = 4. Левый\правый вычеты окаймляющих строку инволюции строк становятся для строки с rл = j 2= 4 частями разбиения N . Второй слой (пара строк столбца инволюций) стал первым слоем для пары окаймляющих строк строки с rл = j 2 = 4. Первый слой пары кратных строк смежных со строкой инволюций преобразовался и стал вторым слоем пары строк для строки с rл = j2 = 4. С другой стороны, механизм, приводящий к такому результату – подстановка нечетного значения исходных строк t = 387 и t = 391 в позиции хi блоков новых строк. Результатом такой подстановки всегда является удвоение меньшего значения исходной строки 602 = 2·301 и 598 = 2·299 и учетверение левого вычета строки 4·602 (modN) = 430 и 4·391 (modN) = 575. Следует предположить, что такой же фокус будет проделываться для всех учетверений КВВ исходной строки. Действительно, строка с номером хо = 211 и rл = j 2 = 4·4 =16 окаймляется с учетом свойства. Установленные новые свойства строк и отдельных элементов строк кажутся частными случаями, но это не так. Следующий пример подтверждает справедливость гипотезы об универсальности установленных свойств. Пример 4. (Симметрия строки инволюций, N = 1163999 = 1031·1129). Приведем еще один аналогичный пример с большим модулем. В окаймляющих строках С другой стороны, механизм, приводящий к такому результату – подстановка нечетного значения исходных строк t = 23713 и t = 23709 в позиции хi блоков новых строк. Результатом такой подстановки всегда является удвоение меньшего значения исходной строки 1140290 = 2·570145 и 1140286 = 2·570143 и учетверение левого вычета 1069163 = 4·1140290 и 94852 = 4·23713. Продолжим рассмотрение процесса установки в колонках строк-дублей второго слоя. В колонке КВВ строки с номером хо = 900 и с rл= j2=9 пара строк 2-го слоя – это строки- дубли третьего слоя из предшествующей колонки j2= 4 и фрагмент получает вид (646, 821, 9, 188, 369). Аналогично для колонок строк с 16, 25,36 пары КВВ второго слоя транслируются из слоев второй колонки с номерами слоев j = 4, 5, 6 (рис. 1). Вывод, пары строк-дублей 2-го слоя всех последующих колонок – это строки-дубли 3,4,5,6 слоев из второй колонки с номером rл = j 2 = 4. Далее по аналогии пары строк дублей 3-го, 4-го, 5-го и всех других слоев всех последующих колонок – это строки-дубли третьей колонки слоев 4, 5 ,6-й. Пример 5. (Симметрия строки инволюций, N = 989). Пусть N = 989. Для первого слоя строк окаймления строки нетривиальных инволюций верхняя строка имеет номер хов = 299 с КВВ Далее из таблицы 2 видим строки второго слоя сверху строка ховд = 298 с КВВ = 783, а снизу – хонд = 302 с КВВ = 216. Для этой пары имеются дубли верхняя строка ховд = 388 с КВВ = 216, а нижняя – хонд = 390 с КВВ = 783, которые становятся 1-м слоем для строки с КВК = 4, т.е. между строками-дублями помещается строка с номером хов = 389 и ее rл (389) = 4. Вычеты сохраняются Получается строки 2 слоя инволюций порождают строки-дубли для первого слоя строки КВК=4, а строки 3-го слоя инволюций порождают строки-дубли для первого слоя строки с КВК= 32= 9 и т.д. Так слой за слоем обрабатываются все строки списка СМ-модели, окаймляющие строку нетривиальных инволюций. На рисунке 4 показаны связи перемещаемых элементов строк, что отслеживается по значениям квадратичных вычетов, которые повторяются в строках-дублях. Как видим, все устроено очень хитро, но и эту загадку удалось разгадать. Возникает детерминированная сеть между некратными строками — оригиналами и строками-дублями с наложенной поверх нее простой сетью (клетки залиты цветом) кратных строк. Рассмотрены зависимости определяемые симметриями окаймления нетривиальных инволюций. Колонка КВВ инволюций с rл = j 2 = 1 содержит КВВ строк-дублей первого слоя для других строк, содержащих в позициях левых вычетов полные квадраты с большим значением. Колонка КВВ с rл = j 2 = 4 содержит КВВ строк-дублей второго слоя и так для всех последующих колонок. 1.Арнольд В. И. Случайны ли квадратичные вычеты? В. И. Арнольд Получено 28 декабря 2009 г
N = 989, 300 + 1 = 301; для других N = 1961, 1220 ± 1 = 1221, для N = 2501, 24± 1 = 246) со средними вычетами второй (третьей) сверху строки 4-ки кратных смежных строк (для
N = 989, хо= 194, rс= 301, для N = 1961, хо = 240, rс = 1221, для N = 2501, хо= 1005, rс = 246), т.е. кратной одному из делителей N, образующих 4-ку смежных кратных строк.
N = 989, но выполняются и для других N. 
rл = 602, rп = 387) сумма чисел из таких ячеек в строке равна N, поэтому они могут играть роль блоков разбиения N на две части х1 + хо = N. Это и наблюдается в окаймляющих кратных строках 2-го слоя для строки с КВВ = КВК = rл = 4.
нетривиальных инволюций (верхняя rл = 23713, rп = 1140286; нижняя rл = 1140290, rп = 23709) сумма таких ячеек равна N, поэтому они могут играть роль блоков разбиения N на части
х1+ хо = N. Это и наблюдается в окаймляющих кратных строках 2-го слоя КВВ rл = 4.
rл = 391 = t, а номер нижней – хон = 301 с КВВ rл = 602 = 2·хон. Обе строки хов = 299, хон = 301 кратные. Строк-дублей для кратных строк не существует или они совпадают с исходными. Между строками первого слоя помещается сама строка нетривиальных инволюций с номером хон = 300 с КВВ = КВК, rл = 1.
Для 3-го слоя инволюций сверху строка хов = 297 с КВВ = 188, а снизу – хонд = 303 с КВВ = 821. Для этой пары имеются дубли верхняя строка ховд = 88 с КВВ = 821, а нижняя – хонд = 90 с КВВ rл = 188. Между строками дублей помещается строка с номером хов = 89 и ее КВК = rл (89) = 9.
Аналогичная картина имеет место и со строками, содержащими 22 =4, 32 = 9, 42= 16 квадраты.
Заключение
В этих колонках КВВ кратных строк не передаются (отмечены заливкой).
Строки с КВВ полными квадратами «взаимодействуют» друг с другом через механизм дублирования строк или через корни квадратичных сравнений, что индуцируется скорее всего алгеброй кривых второго порядка.Литература
2.Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А.: Алгебра. Учебник. В 2-х т. Том 1– Гелиос АРВ, 2003. – 136с. Том II –414 c.
