Ракета на палочке

Всем привет! Меня зовут Илья!

Если вы читали мою прошлую статью, то наверное уже знаете что я увлекаюсь любительским ракетостроением. Это сложная и долгая тема. Давайте сейчас не будем строить большую ракету, а в этой статье давайте поговорим о чём-нибудь попроще. Ну, например о самой простой ракете с палочкой-стабилизатором. 

Исторический экскурс

Считается, что порох изобрёл китайский алхимик Сунь Сы-мяо в VII веке нашей эры. Открытый рецепт пороха, состоящий из смеси из селитры, локустового дерева и серы, был далёк от идеала в нашем понимании термина «порох» сегодня. Такая смесь не обладала хорошо выраженным взрывчатым эффектом. По сути, это был прототип дымного пороха. А дымный порох не является бризантным взрывчатым веществом, или, проще говоря, очень плохо «жахает», если «жахает» вообще. Справедливости ради, оптимальные пропорции компонентов для пороха человечество ещё подбирало достаточно долго. К XIX веку в каждой европейской стране существовал свой набор оптимальных пропорций компонентов, технологий и стандартов. И все они отличались. Я думаю, что этот факт, что первые образцы пороха плохо взрывались, но хорошо горели, быстро привели к идее использовать порох в качестве горючего для создания движущей силы (иными словами для метательных орудий). То есть привело к почти одновременному появлению первых ракет. Итак, первая ракета появилась в VII веке в Китае.

Вид первых ракет был максимально прост — это пороховой двигатель, то есть цилиндр с запрессованным порохом, и примотанная к нему палочка-стабилизатор. Роль палочки проста — обеспечивать правильную ориентацию двигателя. В случае вертикального полёта, палочка под действием силы гравитации удерживает двигатель в вертикальном положении (тянет вниз), а ракета летит вверх.

О терминологии

Здесь может быть потенциальная тема для святых войн. Дело в том, что далеко не всех устраивает применение термина «стабилизатор» к какой-то там палке или рейке. В ракетостроении (как авиации и судостроении) обычно под термином «стабилизатор» понимаются плоскости или решётки (набор плоскостей), обеспечивающие устойчивость движения ракетысамолётасудна. В случае палочки никакой плоскости нет, и это вызывает предмет для споров. Но, по факту, палочка выполняет роль стабилизатора, обеспечивает устойчивость полёта. Скажем так, назовём эту палку подсистемой стабилизации ракеты, а именно «автоматом стабилизации из веревки и палок».

Этот самый вид — двигатель с примотанной к нему палочкой — ракеты сохранили вплоть до 20 века. Может быть с небольшими изменениями, вроде добавления головного обтекателя. Ну или стрел-ракет. Или залповых установок для фейерверков или артиллерийских ракет, как например та же хвачха. Конечно, менялись габариты ракет, материалы, даже появились ракеты с железными корпусами. Но, по сути ракеты оставались одинаковыми долгое время, и как таковой ракетной теории не существовало. А то, что и существовало, в основном было присуще Азии. В Европе ракеты появятся в прямом смысле на арене боевых действий лишь к концу XVIII века. 

Пионером ракетостроения в Европе был Уильям Конгрив младший.  Благодаря его разработкам и успешному применению ракетной артиллерии при бомбардировке Булони и Копенгагена, началось активное внедрение ракет и развитие ракетной теории и инженерных практик. Ракету Уильям разрабатывал не с нуля, а с привезённой его отцом, Уильямом Конгривом старшим, майсурийской ракеты из Индии. В XVIII веке Индия была колонией Англии, однако отдельные княжества, например, Майсурийское, активно сопротивлялось и воевало с англичанами на протяжении 40 лет и применяло против оккупантов ракетное вооружение.

И одну из таких ракет, как раз таки привёз отец сыну. Майсурийские ракеты от бумажных фейерверочных ракет отличали как габариты, так и материалы — ракета была сделана из железа и требовала использования длинного стабилизатора из бамбука  длиной в один метр.

Итак, Уильям Конгрив младший открыл фабрику по производству ракет для военных нужд. Ракеты были неплохим видом артиллерийского вооружения, и Уильям занимался дальнейшей модификацией ракет — увеличивал их мощность и дальность полёта, занимался проблемами устойчивости, рассчитывал длину стабилизатора в зависимости от веса ракеты. В-общем, двигал ракетную науку вперёд. У ракет в то время была не самая высокая кучность и точность, и этот недостаток компенсировался залповым огнём по аналогии с хвачхой, что было логичным решением, но тем не менее, наработки Уильяма Конгрива позволили вывести точность и кучность на качественно новый уровень.

В России (Российской Империи) пионером ракетостроения можно считать Александра Засядко. В 1815 году А. Д. Засядко по собственной инициативе начал работы по созданию боевых пороховых ракет. Не имея на это средств, он продал своё имение под Одессой. Этот поступок произвёл большое впечатление на императора Александра I, с того времени относившегося к Засядко с большим уважением, а также распорядившемся о финансировании его исследований и полевых испытаний ракетного оружия. К 1818 году А. Д. Засядко изобрёл боевую ракету оригинальной конструкции, сконструировал пусковой станок, позволяющий вести залповый огонь, приспособления для наведения, а также написал инструкцию по боевому применению ракетного оружия.

Разработанные им ракеты имели дальность полёта до 6 000 метров (английские ракеты Конгрива — до 2 700 метров). Высчитал, сколько пороха потребуется для полета такой ракеты на Луну. Построил ракетную пусковую установку, с которой можно было произвести залп сразу шестью ракетами.

Если А. Д. Засядко дал толчок к теории ракетостроения, то практику уже реализовывал генерал артиллерии Константин Константинов. Ему принадлежит целый ряд инженерных решений, вроде баллистического маятника — прибора для измерения импульса ракеты или снаряда, пусковых установок, разделяющихся головных частей ракеты, ракет с морским запуском (запуском с подводной лодки) и много другое. Список его деяний можно перечислять достаточно долго, главное, что К. И. Константинов исследовал вопросы оптимальных параметров ракет, способы их стабилизации в полёте, составы ракетных порохов и уделял большое внимание улучшению технологии производства и сборки ракет, механизации и безопасности их изготовления. Ракеты Константинова всё ещё оставались с реечным стабилизатором (но уже появились прототипы в комбинации с хвостовым оперением). Главное — ракеты стали более технологичными. И для массового современного их изготовления требовались новые заводы и полигоны. К. И. Константинов руководил строительством (крупнейшего по тем временам) Николаевского Ракетного Завода (ныне Украина), но до его открытия Константинов уже не дожил.

Немаловажным будет упомянуть так же и революционера-народовольца Николая Ивановича Кибальчича. Кибальчич известен как главный техник, создатель бомбы, с помощью которой «производилась казнь» Императора Александра II. Конечно, можно по-разному относиться к личности в истории, но неоспоримым будет факт, что Н. И. Кибальчич был блестящим учёным-инженером, пусть и самоучкой. Помимо создания метательных снарядов с «гремучим студнем», Кибальчич занимался и другими вопросами, увлекался химией и физикой.  Он рассчитал способы обеспечения программированного режима горения пороха, разработал методы сжигания, устройства, подающие топливо и регулирующие этот процесс с помощью автоматических часов.Так, например в последние дни своей жизни, перед смертной казнью, после убийства императора Александра Второго, Кибальчич разрабатывал, рассчитывал и подробно описал устройство ракетного летательного аппарата, по задумке способного достигнуть космоса и осуществить торможение об атмосферу при спуске (задолго до К. Циолковского). Н. И. Кибальчич перешёл от простейшей палочки к вопросам стабилизации полёта ракеты крыльями-стабилизаторами и даже управляемому вектору тяги.

О революционерах ракетостроения

Похоже, грань законности в ракетостроении всегда была очень шаткой. Не буду выдвигать тезис, что убийство Александра II сделала эту тему больной для Российской Империи и её наследницы, России, но параллели прослеживаются. Почти все движения, технологии связаны с именами лиц, занимавшихся военными, боевыми ракетами. Все остальные идеи, как правило, даже в случае с Циолковским реализованы на практике не были, и оставались лишь написанными на бумаге. Такое положение, впрочем, сохраняется и по сей день, когда государство имеет монополию на небо, и реализует в основном военные проекты. Гражданское ракетостроение, тем более частное, если и существует, то как исключение, или побочный элемент военного ракетостроения, и используется для имиджевых целей.

Надеюсь, вы не подумали, что я нарочно политизирую предмет статьи. Но, любопытный факт, что история и британского ракетостроения если посмотреть пристальнее, начинается не с майсурийской ракеты, а как раз-таки с революционеров. Хотя Уильям Конгрив младший и отвергал этот тезис, но, похоже, что немалая часть наработок Конгрива заимствована из нововведений Роберта Эммета. Роберт Эммет — ирландский националист, организатор неудачного восстания против британского правления в 1803 году. В результате неудачной попытки восстания, был схвачен, осужден и казнён за государственную измену.

Но где-то на этом моменте мы рискуем оторвать палочку от ракетного двигателя, поэтому я перейду к следующей части.

Моделирование полёта ракеты

Ракеты должны пронзать небо! Но я написал немаленький исторический экскурс о заре европейского ракетостроения, которое почти целиком и полностью посвящено ракетной артиллерии. А артиллерия не стреляет вертикально вверх. Что интересного, и сложного, сами по судите в том, чтобы запустить ракету вверх? Она поднимется и упадёт обратно. Конечно, это сарказм, но есть в этом доля правды. Случай запуска ракеты под углом сложнее вертикального. Потому что помимо вертикальной составляющей сил к расчётам добавится и горизонтальная составляющая. Итак, появится баллистика. Давайте посмотрим на модель полёта простейшей ракеты с палочкой-стабилизатором.

Задачи баллистики известны ещё с курса школьной физики с задачами вида «снаряд/камень брошенный под углом к горизонту». В целом, я надеюсь, большинство знакомых с физикой людей, умеют решать такие задачи. 

За основу берётся уравнения кинематики для движения материальной точки. Тело, брошенное под углом α к горизонту запускается с какой-то начальной скоростью v₀   и во время описывает траекторию в виде параболы (из-за того, что на тело действует сила гравитации) и достигает высоты h, перемещается на расстояние L за время  T. Для расчёта используются простые формулы из баллистики, полученные из общей векторной записи.

Однако, ракета — не снаряд, которому придаёт начальную скорость пушка. На начальном этапе траектории ракета движется с ускорением, пока двигатель выдаёт тягу. Поэтому, модель чуть усложняется. Для модельных ракет этот участок часто длится около секунды или чуть больше, но не стоит им пренебрегать.

Фактически, траектория поделится на два участка — на участок с движением с учётом тяги двигателя (I) и на участок без него (II). Второй случай — это тот же «камень брошенный под углом к горизонту», только с начальными условиями, точнее координатами — высотой y₀ и каким-то пройденным путёмперемещением x₀. Первый участок — это участок движения с ускорением, и тут, соответственно, ракета стартует с нулевой скоростью, и разгоняется, приобретая скорость at. Соответственно начальная скорость на втором участке скорость будет равна at₀ в момент t₀ (прекращения тяги). Здесь всё было бы достаточно просто, если бы движение ракеты было равноускоренным. То есть, если бы ускорение было постоянным (a = const).  Стоило бы опять записать все расчётные формулы исходя из векторного представления всех сил. Но в реальности тяга, а значит и ускорение двигателя крайне редко бывают постоянными.

Итак, у нас ускорение будет меняться со временем, то есть ускорение будет какой-то функцией a(t). Функция a(t) берётся в зависимости от характеристик двигателя, и массы ракеты (согласно второму закону Ньютона a(t) = F(t)/m. То есть, в расчётные баллистические формулы следует добавить формулы расчёта скорости давления исходя из рабочего давления двигателя:

где S_i — площадь горения, S_к — площадь сечении критики (самого узкого места) сопла, p — плотность топлива, u — скорость горения топлива, C — характеристическая скорость.

Зная давление внутри двигателя, можно найти тягу:

q — масса, расходуемая за единицу времени, g — ускорение свободное падения, S_i — площадь среза при выходе из сопла, p_a — давление на выходе из сопла (для атмосферных запусков — атмосферное или меньше), а так же удельный импульс двигателя I_y (приблизительно):

Можно рассчитать альтернативно,

где

а w_e — скорость истечения продуктов сгорания:

Ну или оставить всё как есть, рассчитать отдельно и использовать как из таблицы значений 🙂

В любом случае, тот факт, что значение ускорения у нас меняется со временем приведёт к тому, что решения для расчёта характеристик нашей ракеты на активном участке не будет в аналитическом виде. Но, к счастью, можно всё рассчитать в численном виде.

Но большого прока от таких расчётов не будет, потому что мы не учитываем и другие факторы, которые будут влиять на расчётные результаты, а именно: кривизна земли (для небольших ракет этим можно пренебречь), неравномерность плотностидавления воздуха (на небольшой дальности и высоте этим тоже можно пренебречь), а так же сопротивлением воздуха. И вот сопротивлением воздуха пренебрегать нельзя. Сила сопротивления воздуха оказывает огромное влияние на результат полёта ракеты. Поэтому добавляем её в модель.

Где с_f — аэродинамический коэффициент сопротивления для конкретного тела, s — площадь поперечного сечения тела (площадь сечения тела относительно набегающего потока), p — плотность воздуха, v — скорость потока.

Сила сопротивления воздуха, к счастью, всегда направлена противоположно вектору скорости и зависит от формы поперечного сечения ракеты, площади этого сечения, сопротивления воздуха, и, конечно от скорости встречного потока. В нашем случае — скорости ракеты. Если попытаться записать опять все уравнения с учётом силы сопротивления воздуха, то окажется, что теперь все параметры будут зависеть ещё от массы, которую в случае движения материальной точки попросту можно было сократить. Кстати, на Хабре есть замечательная статья на эту тему. В этом могло быть ничего страшного, но в нашем случае масса будет меняться во время полёта! Потому что во время работы двигателя двигатель будет сжигать топливо, а масса будет отбрасываться в виде газов. То есть, масса ракеты — это тоже функция от времени m(t). Нужно не забыть поправить расчёт для ускорения — a(t) = F(t)/m(t). Этот факт, опять-таки приведёт к тому, что решения для расчёта характеристик нашей ракеты на активном участке не будет в аналитическом виде. Но, к счастью, можно всё рассчитать в численном виде.

Наконец, чтобы модель была честной, стоит сказать, что ни одна ракета не летит прямо. Ракета всегда старается развернуться относительно набегающего потока боком, на какой-то угол.

И этот угол в аэродинамике называется углом атаки α. Правда, если ракета сделана правильно, то благодаря плечу k, создаваемому между центром тяжести (ЦТ) и центром давления ракеты (ЦД), появляется момент силы Ma, которая будет возвращать ракету на траекторию с некой силой F_ax=F_a*sin(α). Это плечо создаётся сдвигом центра тяжести на расстояние от центра давления ракеты путём добавления балласта, например той же палочки. В случае с классической ракетой, сдвигается центр давления, который зависит от геометрии плоскостей стабилизаторов. Тем не менее, для нас важен факт, что ракета будет рыскать, то есть вращение ракеты в поперечном направлении относительно центра тяжести. Как не сложно догадаться, это приведёт к тому, что наша ракета — не ядро, и при вращении площадь поперечного сечения встречного потока тоже будет изменяться. Впрочем, как и форма. И тут у нас возникают серьёзные проблемы, что коэффициенты в расчетной силе сопротивления воздуха перестанут быть постоянными c_f(t), S(t). Тут я мог бы написать, что «к счастью, можно всё рассчитать в численном виде». Но проблема в том, что достаточно сложно без эмпирических данных будет задать параметры для рысканья, пусть и с известным углом атаки (хотя и он будет тоже изменяться из-за изменения массы ракеты).  Пожалуй, для простоты я не буду упоминать класс задач в баллистике про «качающиеся» снаряды и расчёты для них. Их, конечно тоже можно смоделировать.

В конечном итоге, для составления модели и получения решения для нашей самой простой ракеты мы получим сравнительно тяжелую систему дифференциальных уравнений, которую можно решать численными методами, такими как методом простых итераций, методом ньютона, методом бисекции, методом хорд, или методом Рунге-Кутты. Такие решения, конечно производят на ЭВМ. Об этом есть отличная статья на Хабре.

Итак, допустим, для сбора данных о рысканье мы запустим нашу самую простую ракету с палочкой-стабилизатором. Для простоты выберем кристально ясный и безветренный день. Запустим ракету под углом к горизонту, скажем под 45 градусов. Может даже на этом этапе сравним максимальную высоту, дальность и время полёта с расчётными. Что же мы увидим? Мы видим, что наглядно видны два участка полёта — с ускорением и без. Да, ракета будет описывать, в зависимости от стабильности ракеты (в диаметрах), спираль вокруг траектории движения. Эта спираль образуется из-за рысканья. Это мы теперь знаем. Причём по мере выгорания топлива спираль расширяется, плечо увеличивается. Очень похоже на модель, не так ли? Но, то, к чему модель нас не готовила, так это к тому, что ракета с одной палочкой-стабилизатором уйдёт вбок в горизонтальной плоскости (по азимуту). Вот ведь незадача! Мы строили модель на двухмерной плоскости, но оказалось, что наш мир трёхмерный! Всё гораздо сложнее. 

Палочка закреплена с какой-то стороны ракеты, что даёт смещение в эту сторону. Ну, вернее не совсем так. У нас появляется паразитный момент, хотя и небольшой. Но из-за того, что всё-таки ракета старается оставаться на траектории, что мы наблюдаем рысканье, что мы видим спиральный полёт по траектории, создаётся дополнительно момент вращения, который приводит к тому, что ракета начинает уходить в сторону. Такой эффект называется деривацией. Он возникает из-за гироскопического эффекта и эффекта Магнуса. В итоге, чтобы иметь более качественную модель, мы должны добавить ещё ось Z. Или сменить систему координат на цилиндрическую или полярную.

 

Знаете, это не мы первые столкнулись с этой проблемой в ракетостроении из палок и верёвок, но, спешу вас успокоить, что для уменьшения такого эффекта ещё сэр Уильям Конгрив младший пытался её решить. И придумал крепить палочку, а точнее «трубочку»-стабилизатор по центру, навинчивая оную прямо на сопло. И выходило неплохо.

Я, пожалуй, воздержусь от повторения этого эксперимента. Пока по крайней мере. Благо, придумали революционеры ракетостроения и стабилизаторы, и управляемые вектора тяги, позволяющие держать ракету точно по траектории. А если речь о военном деле — то попадать белке в глаз. Ладно, шучу. Белок жалко. Попадать в монетку.

В заключение

И всё это для одной, простой маленькой ракеты. Чтобы построить модель, и понять, как она будет лететь. Люди тратили годы, свою жизнь на создание теории, проверяли её на практике, создавали технологию. Возможно, мы это делаем для того, чтобы достичь красивого полёта для модели. Хотя какая модельная ракета с обычной палочкой? Только если мы делаем модели 19-века? Возможно, мы рассчитываем сложное, пространственное геометрическое пиротехническое шоу? В любом случае, мы получаем знания, которые мы можем применить на практике, применить математические, физические и химические законы на практике, пощупать как оно работает. Ракетная наука, так сказать, на заднем дворе для гибкости ума.

Вместо запоздалого дисклеймера

Данная статья не претендует на научность. Мотивацией к написанию данной статьи является детская травма, что большинство знаний, которые система образования РФ впихивала в меня в школе и университете, как правило, не имело никакой мотивационной составляющей «зачем». «Зачем» нужны те или иные законы, формулы, методы и расчёты, кроме тренировки памяти и мышления? То есть, эти знания были оторваны от практики и экспериментов. Возможно, в СССР, специалистов обучали таким образом, что знания, полученные (хотя бы в институте), использовались в дальнейшем в работе, которая была по распределению. Но что-то мне подсказывает, что это и тогда было не (совсем) так. Это конечно объяснимо, что во время обучения база шире, чем то, что используется по факту в конкретной работе, но, чёрт подери, почему так занудно? Для чего всё это делать, откуда это всё взялось? Где и как применять эти самые численные методы? Я нередко смотрю курсы западных университетов или организаций, и обращаю внимание, что немалая часть из них содержит обоснование, практическое применение знаний, эксперименты. Например в NASA есть замечательный  «Beginner’s Guide to Rockets», содержащий как теорию, так и набор готовых экспериментов. Умеют же!

Что почитать

• Д. Рассел, Р. Кон — Ракета Конгрива

• А. Черняк — Николай Кибальчич-революционер и ученый

• И. Крамов — Николай Кибальчич (первый шаг к звёздам)

• Соколов В. С. — Огнепоклонники

• Авилов М. — «Модели ракет»

• Канаев В. — «Ключ на старт»

• П. Эльштейн — «Конструктору моделей ракет»

• Сайт Rocki (Игоря Козлова): http://kia-soft.narod.ru/interests/rockets/rockets.htm

• Сайт Nakka (Ричарда Накки): https://www.nakka-rocketry.net/

• Библиотека NASA: https://www.grc.nasa.gov/www/k-12/rocket/bgmr.html

• О точности баллистических вычислений: http://www.mathnet.ru/links/2eb6f207c7b86a8b788ff736ffb9acc0/vtgu590.pdf