Путь к геометрии Лобачевского 4: модель псевдосферы

31 Окт в 12:00

Часть 1: скалярное произведение и метрика
Часть 2: сфера
Часть 3: стереографическая проекция

На этот момент мы уже понимаем различие между плоской геометрией Евклида и выпуклой геометрией сферы, и сфера для нас самостоятельный объект. Математики говорят, что это топологическое пространство с метрикой. На самом деле сфера даже нечто большее — это очень хорошее топологическое пространство, у которого всякая окрестность похожа на обычную плоскость, по этому её можно назвать многообразием. Сейчас наша задача представить себе другой — в некотором смысле противоположный — объект, который всюду “вогнутый”. На нем уже будут присутствовать параллельные прямые, но поведут они себя иначе по сравнению с евклидовой плоскостью. Для решения этой задачи нужен новый инструмент — псевдоевклидово пространство.

Приглашаю к прочтению!

Псевдоевклидово пространство

В первой части мы говорили про евклидово пространство — что это трехмерное вещественное пространство со скалярным произведением. То есть, неформально, это множество векторов, между которыми можно считать расстояния и углы. Если поменять правило вычисления скалярного произведения, то получится псевдоевклидово пространство. Отличия в обозначении (появился нижний индекс 1) и в знаке у первого слагаемого — он поменялся с плюса на минус.

$\begin{align} \mathbb{R}^3&: \langle x,y \rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 \\ \mathbb{R}^3_1&: \langle x,y \rangle = -x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\end{align}$

Главное отличие псевдоевклидова пространства от евклидова состоит в том, что скалярное произведение здесь может принимать отрицательные значения. Это приводит к тому, что длины некоторых векторов становятся мнимыми, а не положительными вещественными, как в евклидовом случае.

Пример: Рассмотрим вектор в трехмерном псевдоевклидовом пространстве. Квадрат его длины равен .

Псевдоевклидовы пространства — интересная и глубокая тема, которую можно обсуждать отдельно, но для нас сейчас это не так важно, поэтому сразу перейдем к псевдосфере 🤯.

Псевдосфера

Напомню про сферу радиуса в начале координат в евклидовом пространстве, она задается уравнением . В этом уравнении — это координаты точки в евклидовом пространстве. Давайте немного поменяем обозначения, теперь будут обозначать векторы с координатами соответственно. Тогда поверхность сферы — это объединение всех векторов, которые удовлетворяют уравнению сферы, с использованием скалярного произведения это записывается так: $S^2 = \{x: \langle x, x\rangle =r^2 \}$ . Важно понимать, что

смысл этой записи в том, что сфера — это множество всех точек, которые находятся на расстоянии от начала координат.

Точно по такому же принципу получается уравнение псевдосферы мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве: $L^2 = \{x: \langle x, x \rangle = -r^2\}$ . Это множество точек, лежащих на одинаковом расстоянии $ir$ от начала координат. Раскрыв скобки скалярного произведения, получим (в классических обозначениях координат): . Сравните записи сферы и псевдосферы, их записи отличаются объемлющим пространством и минусом перед радиусом:

$\begin{align} \mathbb{R}^3 & \supset S^2 = \{ x: \langle x, x \rangle = r^2\} \\ \mathbb{R}^3_1 & \supset L^2 = \{ x: \langle x, x \rangle = -r^2\} \end{align}$

Геометрически — как совокупность точек в пространстве — псевдосфера является двуполостным гиперболоидом. Действительно, с раскртыми скобками получилось уравнение гиперболоида вращения. Подробнее про гиперболоиды можно почитать в любом учебнике по аналитической геометрии.

Для наших целей достаточно представлять себе гиперболоид как поверхность, напоминающую две чаши. Каждая из них похожа на натянутую ткань, в центр которой положили массивный шар, под тяжестью которой поверхность ткани прогнулась. Сразу отмечу, что рассматривать дальше буду только одну из этих чаш, и в дальнейшем под псевдосферой я буду подразумевать именно одну чашу.

Двуполостный гиперболоид. Красным выделена гипербола, вращая которую получается вся поверхность

В псевдо-евклидовом пространстве форма поверхности может быть обманчива, потому что метрика в пространстве искажена. Сфера и псевдосфера очень похожи — обе задаются через скалярное произведение и представлют собой множество точек, лежащих на одинаковом расстоянии от центра. Хотя одно свойство у псевдосферы прямо противоположно сфере: у псевдосферы постоянная отрицательная Гауссова кривизна (у сферы она положительная). Это и есть то свойство “выпуклости внутрь” — визуально кажется, что псевдосфера выпуклая, но на самом это не так, из-за искажения метрики пространства.

Метрика и прямые на псевдосфере

Для того чтобы понять, как выглядят прямые на псевдосфере, проделаем все те же шаги что и раньше:

из скалярного произведения индуцируем метрику пространства;
метрику пространства индуцируем на поверхность — псевдосферу;
на псевдосфере найдем кривые “кратчайшей длины” — геодезические, аналоги прямых в обычном смысле.

Первый пункт:

$\begin{align} \langle x, y \rangle &= -x_1y_1+x_2y_2 + x_3y_3 \\ ||x||^2 &= \langle x, x \rangle \\ {dl}^2 &=||(dx,dy,dz)|| \\ &=-{dx}^2+{dy}^2 +{dz}^2 \end{align}$

Для второго пункта нужна параметризация псевдосферы. Точно так же как и с углами на обычной сфере можно ввести на псевдосфере локальные координаты и получить выражение $(x,y,z)=(\cosh u, \sinh u \cos \theta, \sinh u \sin \theta)$ . Намек на то как индуцировать метрику:

$\begin{align} L^2 &= \begin{cases} x=\cosh{u}, \\ y=\sinh{u}\cos{\theta}, \\ z=\sinh{u}\sin{\theta} \end{cases} \\ dx &= \frac{\partial x}{\partial u}du + \frac{\partial x}{\partial \theta}d\theta = \sinh du \\ dy &=... \\ dz &= ... \\ {dl}^2 &= -{dx}^2 + {dy}^2 + {dz}^2 = \space ... \space = {du}^2 + (\sinh^2u) d\theta \end{align}$

Метрика ${dl}^2 = {du}^2 + (\sinh^2{u}){d\theta}^2$ является положительно определенной. Это очень здорово, потому что на поверхности гиперболоида расстояния не становятся отрицательными и ведут себя более привычно, чем в псевдоевклидовом пространстве.

Третий пункт довольно громоздкий и сложный, он, как и в прошлый раз, остается читателю в качестве упражнения.

В результате подсчета за кадром получится, что на псевдосфере прямые это её пересечения с плоскостями, проходящими через начало координат. Это буквально то же самое что и с обычной сферой $S^2 \subset \mathbb{R}^3$ , сравните с текстом из второй части:

на сфере это большие круги, то есть пересечения сферы с плоскостями, которые проходят через начало координат. Прямую на сфере можно написать как множество решений системы $\{x^2 + y^2 + z^2 = 1, ax + by + cz = 0\}$ , где фиксированы и определяют конкретную плоскость.

Разница будет только в записи системы: $\{-x^2 + y^2 + z^2 = -1, ax + by + cz = 0\}$ , но суть точно та же. Тут важно уточнить, что плоскость должна “правильно” лежать в пространстве, чтобы пересекать псевдосферу — например, плоскость её не пересекает и лежит между двумя полостями гиперболоида.

Найти прямую на псевдосфере можно по двум точкам. Это интуитивно — в пространстве две точки выделены на поверхности, а ещё одну мы знаем — это начало координат. По трем точкам строится плоскость, и затем она пересекается с псевдосферой.

Расположение прямых на псевдосфере

Анимация ниже показывает, как плоскость пересекает псевдосферу (слева) и как на ней выглядит прямая (справа).

Анимация поворота плоскости и геодезической на псевдосфере

Оказывается, на такой поверхности можно через точку, не лежащую на прямой, провести две различные прямые, параллельные первой. На картинке ниже приведен пример трех таких прямых. Прямая (1) проходит примерно по центру гиперболоида, похоже на экватор. Прямая (2), очевидно, ей параллельна — они никогда не пересекаются. При этом прямая (2) удаляется от прямой (1) с обеих сторон. Прямая (3) пересекает прямую (2), но при этом она также неограниченно удаляется от прямой (1).

Работать с такой геометрией на гиперболоиде не совсем удобно, и для того, чтобы более наглядно увидеть, как именно устроены параллельные прямые на этой поверхности, легче воспользоваться проекциями, про которые я напишу в следующей части.

Источник

Путь к геометрии Лобачевского 4: модель псевдосферы

Псевдоевклидово пространство

Псевдосфера

Метрика и прямые на псевдосфере

Расположение прямых на псевдосфере

Читайте также

Паблик ВКонтакте

Последние посты