Продолжаем цикл материалов, посвященных внешней баллистике, сосредоточив внимание на анализе лобового сопротивления воздуха [11,12,13,14]. Данная проблема отличается высокой сложностью, однако ее практическое значение трудно переоценить, поскольку точное моделирование траекторий полета снарядов невозможно без учета аэродинамического противодействия среды. Вопрос сохраняет высокую актуальность, особенно в текущих условиях, для личного состава артиллерийских, минометных подразделений, а также расчетов САУ и ПВО.
В настоящей публикации мы рассмотрим различные математические модели зависимости силы лобового сопротивления от скорости перемещения тела и определим, какие из них наиболее эффективны при расчетах траекторий искусственных спутников, артиллерийских боеприпасов и баллистических ракет.
Первый случай: при низких скоростях (0–40 м/с) и использовании массивных снарядов влиянием воздуха можно пренебречь (Fc=0). Такой подход существенно упрощает вычисления, однако на высоких скоростях он приводит к колоссальным погрешностям — показатели могут занижаться в 4–5 раз по сравнению с реальностью. Подобный метод допустим исключительно в рамках школьных задач по физике, так как его теоретическая база сложилась еще в античные времена.
Второй случай: закон Стокса. В 1851 году британский физик и математик Джордж Стокс сформулировал закон сопротивления в следующем виде:
Где μ — коэффициент динамической вязкости, r — радиус объекта, v — скорость. Иными словами, для тел малых размеров каплевидной формы сопротивление среды можно считать прямо пропорциональным скорости, что позволяет интегрировать уравнения движения аналитическим путем [9].
Третий случай: Исаак Ньютон в XVII веке предложил формулу для расчета сопротивления воздуха:
Здесь c обозначает безразмерный коэффициент формы, ρ — плотность воздушной среды, S — характерная площадь поперечного сечения снаряда. Таким образом, сила сопротивления зависит от квадрата скорости. Эта модель применима для дозвуковых скоростей (0–250 м/с), а соответствующие уравнения были успешно проинтегрированы Леонардом Эйлером еще в XVIII столетии [8].
Четвертый случай: в общем виде коэффициент лобового сопротивления является функцией скорости c(v). Для определения этой зависимости для конкретного образца вооружения проводятся натурные испытания: стрельба при нулевом угле возвышения с замером скоростей v1 и v2 на фиксированной дистанции L. Вычисляется средняя скорость vср=0,5(v1+v2), после чего коэффициент c(vср) находится по следующей формуле:
Многократные замеры при различных скоростях позволяют построить график функции c(v) с последующей аппроксимацией различными математическими зависимостями для повышения точности [7].
Пятый случай: в конце XIX века ученые Маевский и Забудский, опираясь на эмпирические данные, предложили следующую модель:
Данная формула допускает аналитическое интегрирование уравнений движения. Поскольку единая зависимость не охватывала весь диапазон скоростей, исследователи разбили график на отдельные участки:
|
Диапазон скоростей v, м/с |
0-240 |
240-295 |
295-375 |
375-419 |
419-550 |
550-800 |
800-1000 |
>1000 |
|
n |
2 |
3 |
5 |
3 |
2 |
1,7 |
1,55 |
2 |
Таблица 1. Модель Маевского-Забудского: скоростные интервалы. Коэффициент k подбирался таким образом, чтобы обеспечить непрерывность функции Fc(v). Существенным недостатком метода является наличие «изломов» (угловых точек) на графике и ориентация на устаревшие формы снарядов, вследствие чего в современной баллистике этот подход практически не применяется [7].
Шестой случай: Отто Сиаччи систематизировал экспериментальные данные по снарядам старого образца и разработал сложную эмпирическую аппроксимацию:
Несмотря на отсутствие угловых точек, формула отличается крайней громоздкостью. При малых скоростях она близка к квадратичной зависимости, а в области высоких — переходит к линейной [2].
Седьмой случай: в 1930 году Гарнье и Дюпюи представили новый закон сопротивления:
где a и b — постоянные коэффициенты, определяемые формой снаряда. При дозвуковых скоростях (v < v звука) функции имеют вид:
Для сверхзвуковых скоростей (v > v звука):
В точке звукового барьера (341 м/с) на графиках возникает «излом». Данный закон использовался до 1943 года [7].
Восьмой случай: в 1943 году, в разгар Второй мировой войны, был предложен усовершенствованный закон сопротивления, где функции подбирались таким образом, чтобы приблизить коэффициент формы к единице. Для скоростей v < 256 м/с или v > 1410 м/с формула принимает вид:
Для промежуточных скоростей расчеты ведутся с использованием закона Сиаччи с поправочным коэффициентом 0,896 [7]. Подробная таблица закона 1943 года приведена в источнике [5]. Также существуют варианты аппроксимации данного закона многочленами [10]. Данная модель остается актуальной при проектировании современных артиллерийских боеприпасов и пуль.
Девятый случай: в 1958 году была разработана специализированная модель сопротивления для оперённых снарядов.
Подводя итог, в данной статье были рассмотрены различные методы аппроксимации силы сопротивления воздуха, охватывающие математические теории и модели, предложенные учеными за несколько столетий. Понимание характера лобового сопротивления является критически важным для точного расчета движения тел в воздушном пространстве.
Литература:
-
Окунев Б. Н. «Решение основной задачи внешней баллистики при квадратичном законе сопротивления воздуха» (1932).
-
Окунев Б. Н. «Основная задача внешней баллистики и аналитические методы её решения» (1934).
-
Дмитриевский А. А., Лысенко Л. Н. «Внешняя баллистика» (2005).
-
Лысенко А. Н. «Внешняя баллистика» (2024).
-
Шапиро Я. М. «Внешняя баллистика» (1946).
-
Беляева С. Д. «Внешняя баллистика с примерами и задачами» (2023).
-
Мандрыка А. П. «Баллистические исследования Леонарда Эйлера» (2017)
-
https://en.wikipedia.org/wiki/Projectile_motion#Time_of_flight_with_air_resistance
-
https://cyberleninka.ru/article/n/approksimatsiya-zakona-soprotivleniya-vozduha-1943-g/viewer
