Подъемная сила крыла. Часть 2: парадокс д’Аламбера и модель Жуковского

Приветствуем всех поклонников физики и наглядных экспериментов! В прошлой публикации мы разбирали дискуссии и распространенные заблуждения, связанные с появлением подъемной силы крыла. Сегодняшний материал — продолжение темы, посвященное фундаментальной теории ее формирования, разработанной Николаем Егоровичем Жуковским. Однако начнем мы не с его классической модели, а с парадокса, сформулированного еще в середине XVIII века выдающимся французским мыслителем Жаном Лероном д’Аламбером.

Наш проект существует исключительно на добровольные пожертвования и не имеет коммерческих целей. Мы будем признательны за любую финансовую помощь! Ваши донаты позволяют нам создавать качественный образовательный контент и сохранять его общедоступным.

Парадокс д’Аламбера: почему идеальная жидкость не создает сопротивления

Суть этого парадокса заключается в следующем: вообразите обтекаемое тело, движущееся с постоянной скоростью сквозь идеальную жидкость (несжимаемую и лишенную вязкости). Эквивалентный сценарий — бесконечный поток той же жидкости набегает с постоянной скоростью на неподвижный объект. Оказывается, что результирующая всех сил давления, воздействующих на тело со стороны среды, строго равна нулю. Следовательно, сила лобового сопротивления вдоль направления потока также обращается в нуль.

Аналогично, подъемная сила, действующая перпендикулярно вектору потока, также оказывается нулевой.

В качестве простейшего примера обратимся к безвихревому омыванию цилиндра потоком.

Непосредственно перед фронтом цилиндра движение тормозится, и в соответствии с законом Бернулли здесь формируется зона повышенного давления.

Вдоль боковых поверхностей линии тока сужаются, скорость потока возрастает, а давление падает.

Однако наиболее любопытная картина наблюдается в тыльной части: скорость здесь снова падает, что приводит к росту давления. Поскольку распределение давления оказывается зеркально-симметричным, итоговая аэродинамическая сила обнуляется.

И хотя теоретическая картина выглядит безупречно логичной, на практике обтекание реального цилиндра всегда сопровождается лобовым сопротивлением. При достаточно высоких скоростях за цилиндром происходит срыв потока с образованием турбулентной зоны, из-за чего симметрия полностью нарушается.

Если же исследовать обтекание профиля в виде тонкой изогнутой пластины, мы неожиданно обнаружим не только привычную зону разрежения над крылом, но и две области пониженного давления под его кромками.

Области же повышенного давления возникают не только снизу, но частично захватывают и верхнюю область у краев. В итоге подъемная сила для такого профиля в рамках этой идеализированной схемы также исчезает.

Обратившись к стандартному профилю крыла, мы увидим область низкого давления сверху, однако локальное падение давления фиксируется и под задней кромкой, тогда как над ней давление, напротив, возрастает.

Каковы причины этого феномена? В рамках рассматриваемой математической модели линия тока, разграничивающая потоки над и под крылом, покидает поверхность не в районе задней кромки, а смещается на верхнюю плоскость крыла. В этой критической точке скорость воздуха падает до нуля, а давление достигает максимума, формируя запирающую зону высокого давления.

В свою очередь, линия тока, огибающая заднюю кромку, совершает резкий поворот, что физически осуществимо лишь при условии сильного падения давления в этой зоне.

Очевидно, что перед нами лишь абстрактная модель: в действительности разделяющая потоки линия тока обязана сходить точно с задней кромки. Именно здесь на сцену выходит концепция Жуковского.

Модель Жуковского: от простого цилиндра к реальному профилю

Николай Егорович не занимался проектированием самолетов напрямую, тем не менее заслуженно считается основоположником отечественной авиационной науки. Он разработал фундаментальную теорию крыла, спроектировал первую отечественную аэродинамическую трубу и стал основателем ЦАГИ.

Для понимания сути подхода Жуковского необходимо зафиксировать два принципиальных требования:

1. Сход разделительной линии тока должен происходить строго с задней кромки.

2. Набегающий спереди поток обязан иметь восходящую составляющую перед обтекаемым объектом.

Проиллюстрируем эти закономерности на простом эксперименте с импровизированным планером из склеенных стаканчиков. Раскрутив жгут из канцелярских резинок, мы запускаем аппарат: он эффектно взмывает вверх и плавно планирует по наклонной траектории.

Замедленная съемка с трассировкой показывает, что снижение происходит равномерно — это означает идеальный баланс между аэродинамическими силами и гравитацией.

Высокоскоростная запись (480 кадров в секунду) наглядно фиксирует интенсивное вращение цилиндров — именно оно генерирует подъемную силу.

При вращении цилиндр вовлекает во вращательное движение прилегающий воздух. Наложение этой циркуляции на поступательный поток приводит к тому, что сверху скорости складываются, а снизу — вычитаются. В результате над объектом поток движется значительно быстрее, чем под ним.

В модели идеальной среды это выглядит следующим образом: перед цилиндром зарождается восходящий поток, а за ним — нисходящий. Согласно уравнению Бернулли, повышенная скорость сверху оборачивается пониженным давлением по сравнению с нижней стороной, что и порождает результирующую подъемную силу.

Небольшое лирическое отступление

Возможно, у внимательных читателей возник вопрос: почему минимальное давление мы кодируем красным цветом, а максимальное — зеленым? Интуитивно привычнее использовать цветовую шкалу наоборот.

Дело в том, что для визуализации мы задействуем софт, созданный для расчетов магнитных полей. По сути, на иллюстрациях воспроизводится картина для цилиндрического сверхпроводника с током, помещенного в однородное внешнее поле. Математический аппарат, описывающий обтекание цилиндра и магнитные явления, абсолютно идентичен.

Инверсия цветов объясняется тем, что графически мы отображаем напряженность магнитного поля. Максимум магнитного поля соответствует максимуму магнитного давления. В аэродинамике же максимальная скорость соответствует минимальному давлению, отсюда и визуальная инверсия.

Сразу ответим и на второй назревающий вопрос: мы подробно разобрали обтекание цилиндра, хотя статья заявлена о крыле — как связаны эти две сущности?

Здесь и проявляется гениальность Жуковского, который применил разработанный к тому времени аппарат теории функций комплексного переменного, а именно конформные отображения, позволившее трансформировать простой круглый цилиндр в привычный профиль крыла.

Научное достижение ученого заключалось в использовании изящной комплексной функции z + 1/z. Данное преобразование превращает единичную окружность (на рисунке синего цвета) в отрезок (красного цвета).

При изменении радиуса исходной окружности отрезок трансформируется в эллипс.

Если же центр окружности слегка сместить, то правильный подбор параметров превращает эллипс в кривую линию, удивительно точно повторяющую аэродинамический профиль реального крыла.

Благодаря этим математическим операциям Жуковский (а вслед за ним и мы при помощи программы Vizimag) получил достоверную картину, в которой разделительная линия тока сходит ровно с задней кромки, а привнесенная циркуляция обеспечивает появление подъемной силы.

Происхождение циркуляции: можно ли ее зафиксировать визуально?

Тем не менее остается скептицизм: не имеем ли мы дело лишь с чистой математикой? Действительно ли воздушные массы циркулируют вокруг реального самолетного крыла? Жуковский вывел циркуляцию «на кончике пера», но при определенных условиях эти вихри можно наблюдать воочию.

Для понимания этого процесса представим присоединенные вихри, охватывающие крыло. Учтем также, что реальное крыло имеет ограниченный размах: из-за перепада давлений (снизу оно выше, чем сверху) воздух на законцовках устремляется с нижней поверхности на верхнюю, формируя концевые вихри.

Сносимые набегающим потоком, эти вихри оставляют за концами крыла спутный след в виде двух вращающихся в противоположных направлениях шлейфов. Их прекрасно видно, когда лайнер проходит сквозь облачную дымку или совершает посадку в условиях тумана.

Кроме того, циркуляция воздуха вокруг крыла позволяет вычислять подъемную силу экспериментально, избегая громоздких аэродинамических весов (метод «потолка и пола»). Для этого замеряют скорости в верхней и нижней частях аэродинамической трубы, вычисляя циркуляцию как контурный интеграл скорости. После этого подъемная сила легко находится по формуле Жуковского.

Постулат Чаплыгина — Жуковского

Итак, циркуляция существует. Но чем задается ее конкретное значение? Согласно теории Жуковского, именно этот параметр определяет величину подъемной силы для заданного профиля, угла атаки и скорости потока.

Математический ответ очевиден: для корректного обтекания необходимо, чтобы разделительная линия тока сходила с задней кромки. Это требование однозначно фиксирует циркуляцию (данный критерий известен как постулат Кутта — Жуковского).

Все это безупречная математика. Но какова физическая природа закручивания потока? Стоит помнить, что мы оперируем моделью идеальной несжимаемой жидкости, тогда как реальные вихри порождаются силами вязкости. Учет вязких эффектов существенно усложняет модель, поэтому в рамках данной статьи мы углубляться в них не будем.

В первой части материала демонстрировалось видео из Кембриджа, снятое в трубе с дымовой подсветкой импульсами. На этой же записи попробуем проследить зарождение циркуляции.

При текущем угле атаки срыва потока еще не происходит. Однако в области задней кромки заметно, что течение теряет ламинарность: здесь непрерывно генерируются вихри, которые сносятся потоком, уступая место новым.

Поскольку скорость течения дозвуковая, эти вихревые структуры формируют поле скоростей не только позади, но и перед крылом, а также вокруг него. Иными словами, именно они и формируют искомую циркуляцию, поскольку иных физических предпосылок для ее возникновения нет.

Вопросы о природе этих вихрей, вызывающих их неустойчивости и роли вязкости можно продолжать бесконечно. Мы не станем углубляться в эти дебри, однако будем признательны, если в комментариях вы попробуете самостоятельно разобрать некоторые из них. Ну а в завершение — наш традиционный вопрос для вас.

Вопрос на засыпку: почему вихри сходят с закрылков, а не с законцовок крыла?

Наблюдая за посадкой пассажирского лайнера во влажную погоду, можно заметить, что спутные вихри срываются не с кончиков крыльев, а с внешних краев выпущенных закрылков. Постарайтесь объяснить причины этого явления.

К сожалению, Андрей Щетников и Алексей Колчин физически не успевают отвечать на комментарии на всех площадках GetAClass. Поэтому в комментариях предлагаем вам обсудить статью друг с другом, а если вам хочется поговорить напрямую с нашими ведущими, милости просим в наше сообщество на YouTube!

Видео, на основе которого подготовлен этот материал:

 

Источник