Почему математиков поразило доказательство квазигипотезы Римана, представленное OpenAI

Автор оригинала: Konstantin Kakaes

Многие недавние доказательства, созданные ИИ, остаются непроверенными. Это же уже изучили живые специалисты. По словам одного из математиков, его последствия «ошеломляющие».

Гипотеза Римана — основополагающее утверждение о том, как распределены простые числа. Иллюстрация: Emily Buder / Quanta Magazine; Guan-Huei Wu для Quanta Magazine

6 октября 2026 года OpenAI представила 377 результатов, и один из них резко выделялся на общем фоне. Компания сообщила, что доказала «квазигипотезу Римана» — ослабленный вариант гипотезы Римана, которую по праву считают главной нерешённой проблемой математики. По словам Джареда Дьюкера Лихтмана из Стэнфорда, это доказательство — «крупнейшее на сегодня достижение ИИ в математике, и разрыв с остальными огромен».

Гипотеза Римана не поддаётся решению уже более 160 лет. Если её удастся доказать, математики глубже поймут природу простых чисел — одних из важнейших кирпичиков, из которых построена вся математика. Но этим дело не ограничится.

Даже следствия более скромного результата — квазигипотезы — «ошеломляющие», считает Максим Радзивилл из Нью-Йоркского университета. «В некотором смысле подавляющее число следствий гипотезы Римана вытекает уже из квазигипотезы».

Кроме того, вопреки многолетним ожиданиям математиков, для доказательства не потребовалось вводить новые понятия: оно выявило скрытые связи между уже известными. «Это неожиданный синтез давно знакомых идей», — отмечает Александр Данн из Технологического института Джорджии.

Отчасти доказательство опирается на методы, которые первыми создали Радзивилл и Данн. Вместе с другими теоретиками чисел они сейчас стараются осмыслить доказательство и оценить его значение. Первые ответы уже появляются.

Дзета-функция и не только

Чтобы разобраться, что такое квазигипотеза Римана, нужно сначала познакомиться с самой гипотезой Римана. Когда на рубеже тысячелетий Математический институт Клэя назвал семь «задач тысячелетия», гипотеза Римана заняла среди них особое место. Лишь она одна попала туда из знаменитого списка задач, с помощью которого Давид Гильберт столетием раньше определил путь развития математики.

На первый взгляд гипотеза описывает поведение одной-единственной функции. Возьмём сумму 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … С её помощью (и специального математического приёма, который расширяет область определения) строится более общая функция — дзета-функция Римана (ζ):

ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + …

Аргумент s здесь — комплексное число. Оно состоит из двух частей: «действительной» и «мнимой», то есть кратной квадратному корню из −1 (обозначается i). Любое комплексное число можно изобразить точкой на плоскости: действительная часть откладывается по горизонтали, мнимая — по вертикали.

Гипотеза Римана отвечает на вопрос, при каких значениях s дзета-функция равна нулю.

Однако суть гипотезы намного глубже, чем поведение одной функции. Бернхард Риман, впервые сформулировавший её в 1859 году, понял, что эта функция связана с закономерностями в простых числах — целых числах, которые делятся лишь на единицу и на самих себя. Многие математики называют их «атомами арифметики».

Давно известно, что по мере продвижения вдоль числовой прямой простые числа встречаются всё реже. Риман показал, что то, как именно они редеют, в определённом смысле задаётся дзета-функцией — точнее, точками, в которых она обращается в ноль.

Нетрудно доказать, что при отрицательных чётных значениях s (−2, −4, −6, …) выполняется равенство ζ(s) = 0. Такие нули называют тривиальными. Согласно гипотезе Римана, все остальные, нетривиальные нули дзета-функции расположены там, где действительная часть s равна 1/2. Иными словами, все они лежат на одной вертикальной прямой.

Если бы хотя бы один нетривиальный ноль обнаружился в стороне от этой прямой, это означало бы, что в простых числах скрыта крайне неожиданная закономерность, которой никто прежде не наблюдал.

Даже небольшое сужение области возможного расположения нетривиальных нулей приводило к значительным последствиям. Сам Риман доказал, что нетривиальные нули дзета-функции могут находиться только в вертикальной полосе между 0 и 1. Затем, в 1896 году, два математика показали, что на границах этой полосы нулей нет. Из этого сразу вытекал важный результат — теорема о распределении простых чисел, формула, которая описывает, с какой скоростью в среднем простые числа становятся реже.

Время простых чисел

О связи между дзета-функцией и простыми числами знали ещё до Римана. В 1737 году Леонард Эйлер показал, что дзета-функция совпадает с другой функцией, которую можно целиком выразить через простые числа:

ζ(s) = 1/(1 − 1/2^s) × 1/(1 − 1/3^s) × 1/(1 − 1/5^s) × …

Именно такие неожиданные связи рождают у математиков ощущение, будто они заглядывают в скрытую реальность. С тех пор исследователи продолжают развивать это ключевое звено.

Если гипотеза Римана верна, математики могут утверждать, что любые отклонения от среднего значения, заданного теоремой о распределении простых чисел, всегда останутся небольшими.

Вычисления подтвердили, что первые 12 триллионов нетривиальных нулей лежат на прямой 1/2. Но уверенности в том, что гипотеза выполняется для всех нулей, нет, а один-единственный выброс стал бы настоящим землетрясением. Как писал Энрико Бомбьери в статье, где формулировалась задача для премии тысячелетия, «если бы гипотеза Римана оказалась неверной, в распределение простых чисел пришёл бы хаос».

Алмазы в мусоре

Тут на сцену и выходит квазигипотеза Римана. Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули лежат на вертикальной прямой 1/2, а «квази»-версия требует доказать лишь то, что все они укладываются в вертикальную полосу, более узкую, чем уже известная полоса от 0 до 1. Чем уже эта полоса, тем больше можно сказать о распределении простых чисел.

OpenAI представила два варианта доказательства квазигипотезы. В первом, датированном 30 сентября 2026 года, утверждалось, что все нетривиальные нули лежат между 1/8 и 7/8; его формально проверили на языке Lean. Второй, завершённый почти неделей позже (формальной проверки он пока не прошёл), даёт результат слабее: действительная часть нулей находится между 1/12 и 11/12. Зато если первая работа занимает 199 страниц, то во второй их всего 49.

Как и многие другие недавние работы, созданные ИИ, обе статьи «написаны ужасно (любой математический журнал отклонил бы их сразу)», сообщил в письме Радзивилл. «Они сильно уступают стандартам изложения и ясности, принятым в нашей области». Поэтому математики отложили работу с границей 7/8 и сосредоточились на варианте 11/12: техника в них, судя по всему, схожа, да и следствия аналогичны. «Люди смотрят в основном на результат с 11/12 просто потому, что он короче», — объясняет Радзивилл.

Максим Радзивилл (вверху) и Александр Данн были удивлены тем, что в недавнем доказательстве квазигипотезы Римана от OpenAI применяются методы, которые они разработали несколько лет назад. Фото: Caltech

Вряд ли случайно, что результат с границей 11/12 — единственная из 722 статей, опубликованных OpenAI 6 октября, к которой приложил руку человек-редактор. На вопросы о том, кто это был и почему лишь эта работа получила перед публикацией пользу от человеческой экспертизы, в OpenAI не ответили. В ответ на запросы Quanta компания лишь заявила: «Статья — плод труда всех сотрудников OpenAI».

Вот уже пару недель, с момента выхода работы, математики изучают её с особым вниманием. Питер Сарнак, известный теоретик чисел из Принстона, даже перестроил читаемый в этом семестре курс, чтобы посвятить его разбору статьи. Радзивилл рассказывает, что теперь способен уместить ход доказательства на половине страницы, а более подробные конспекты других математиков занимают от семи до 13 страниц. (На момент написания материала они ещё не опубликованы, но уже ходят по рукам.) Специалисты в основном сходятся во мнении, что результат верен, а его новизна — в том, как он объединяет давно существующие идеи теории чисел.

Десятилетиями Сарнак доказывал, что к гипотезе Римана следует подходить, рассматривая дзета-функцию как одного из представителей более широкого семейства функций и доказывая утверждения сразу обо всём семействе. «Однако было неясно, как именно это делать и какое семейство брать», — говорит Майкл Рубинштейн из Университета Ватерлоо.

Как оказалось, интуиция Сарнака не подвела. Вот только семейство, обнаруженное моделью OpenAI, прежде оставалось незамеченным. Хенрик Иванец из Ратгерского университета почти вышел на него в 2002 году: пытаясь доказать гипотезу Римана, он выделил несколько родственных семейств.

Чтобы отыскать подходящее семейство, потребовались малоизвестные математические объекты — метаплектические формы, которыми Данн занимается последние пять лет. «Никто этого не ждал», — признаётся он. Метаплектические формы пока нечасто встречались в теории чисел, добавляет Данн, «так что я надеюсь, что эта красивая и эзотерическая теория наконец получит то внимание, которого заслуживает».

К удивлению Данна и Радзивилла, формула, которую они доказали в 2021 году, превратилась в один из ключевых компонентов доказательства (наряду с трудами многих других математиков). Оглядываясь назад, говорит Радзивилл, специалисты в той области теории чисел, к которой относится вся эта работа, ошибались, полагая свои инструменты недостаточно мощными для квазигипотезы Римана. Они были уверены, что для её доказательства понадобятся методы совсем из другой ветви теории чисел. А «убеждённость» модели ИИ в том, что их инструментов может хватить, оказалась решающим взглядом со стороны. «Весьма смелая была убеждённость!» — смеётся Радзивилл.

Работа OpenAI вызывает у математиков и досаду, и воодушевление. Сарнак, например, написал в письме, что не станет называть её «теоремой», пока люди не проверят и не поймут все детали. Тем не менее, по словам Радзивилла, «в целом ощущение такое, будто гора упала с плеч». Доказательство квазигипотезы Римана разом превращает в математические истины десятки результатов — не только в теории чисел, но и в геометрии и теоретической информатике.

Теоретики чисел сомневаются, что именно это сочетание методов позволит им сдвинуть границу с 7/8 к заветной 1/2. «Мне кажется наиболее вероятным, что когда математики полностью освоят новые методы и проработают их следствия, мы окажемся от полной гипотезы Римана так же далеко, как и раньше, — говорит Уилл Соуин из Принстона. — Но полной уверенности у меня нет».

Томас Блум, математик из Манчестерского университета, также согласен, что до полной гипотезы Римана по-прежнему не дотянуться. Однако, добавляет он, «ещё несколько недель назад мы сказали бы то же самое и про квазигипотезу! Теперь меня уже ничем не удивить».

 

Источник