Секретный ингредиент — это реальный мир
Математика уже давно стала основой для достижений в физике. Альберт Эйнштейн назвал общую относительность «настоящим триумфом» математики в 1915 году, когда он обнаружил, что чисто математическая работа более чем полувековой давности идеально описывает ткань пространства-времени в его теории гравитации. Как могло случиться, что математика, задуманная без какого-либо применения, — удивлялся он позже, — оказалась «столь восхитительно подходящей к объектам реальности?».
Служение математики физике, которое сейчас часто воспринимается как нечто само собой разумеющееся, коренится в её происхождении. В конце концов, математика была изобретена для исследования, количественной оценки и понимания физического мира. В Месопотамии шумеры разработали систему подсчёта, оставив после себя глиняные таблички с таблицами умножения. Их назначение? Для подсчёта товаров и имущества. За прошедшие тысячелетия то, что начиналось как инструмент для смазки колёс правительства и торговли, обрело собственную жизнь. Но, расширяясь до таких абстрактных областей, что их можно постичь только после многих лет обучения, математика продолжала лежать в основе великих прорывов в физике.
Однако в последнее время ситуация изменилась. Теперь идеи и интуиция из физики неожиданно приводят к прорывам в математике. После того как большую часть XX века математики шли своим путём, они всё чаще обращаются за вдохновением к законам и закономерностям мира природы. Застрявшие на десятилетия области вновь начинаю развиваться. И даже философы начали вникать в тайну того, почему физика оказывается «неоправданно эффективной» в математике, как смело заявил один из них. Этот вопрос связан с недооценённой, непонятной и глубокой связью между правилами, управляющими поведением космоса, и самыми абстрактными размышлениями человеческого разума.
Почему физика, основанная на осмыслении реальных вещей в мире, таких как яблоки и электроны, даёт такие хорошие зацепки для решения самых сложных проблем в математике, которая имеет дело с нематериальными вещами, такими как функции и уравнения?
«Физики гораздо меньше, чем математики, озабочены строгими доказательствами», — говорит Тимоти Гауэрс, математик из Коллеж де Франс и лауреат медали Филдса. Иногда, по его словам, это «позволяет физикам исследовать математическую местность быстрее, чем математикам». Если математики склонны глубоко исследовать небольшие участки этого ландшафта, то физики, скорее всего, быстро пронесутся по обширным участкам этой во многом неизведанной территории. С таким подходом физики могут случайно наткнуться на новые, мощные математические концепции и ассоциации, к которым математики могут вернуться, чтобы попытаться обосновать (или опровергнуть) их.
Процесс, когда физика вдохновляет математику, на самом деле так же стар, как и сама наука. Древнегреческий математик и изобретатель Архимед рассказывал, как законы механики послужили толчком для некоторых из его важнейших математических открытий. А Исаак Ньютон, который (вместе со своим современником, немецким эрудитом Готфридом Вильгельмом Лейбницем), пытаясь понять движение падающих предметов, разработал совершенно новый вид математики — матанализ.
Но в середине XX века поток новой математики из физики практически иссяк. Ни физики, ни математики не проявляли особого интереса к тому, что происходило по другую сторону забора. В математике влиятельная группа молодых французских математиков под названием «группа Бурбаки» стремилась сделать математику как можно более точной, перестраивая целые области с нуля и публикуя свои совместные работы, чтобы, как они надеялись, способствовать будущим открытиям. Физики тем временем с воодушевлением разрабатывали революционные идеи, такие как Стандартная модель – всё ещё лучшая на сегодня теория атомного и субатомного мира. Для многих из них математика была лишь удобным инструментом, и их не интересовало строгое видение математики, отстаиваемое Бурбаки.
И все же наметилось примирение, инициатором которого стал покойный британо-ливанский геометр Майкл Атия. Обладая редкой интуицией и немного удачей, Атия, также получивший медаль Филдса, часто обращал внимание на области, которые впоследствии интересовали физиков-теоретиков.
«В середине 1970-х годов он убедился, что теоретическая физика является наиболее перспективным источником новых идей», — написал в 2020 году о своём бывшем коллеге Найджел Хитчин, математик и заслуженный профессор Оксфордского университета, сотрудничавший с Атией. «С этого момента он стал способствовать взаимодействию между математиками и физиками, решая математические задачи, поставленные физиками, используя физические идеи для доказательства чисто математических результатов и знакомя физиков с теми разделами современной математики, которые он считал важными, но которые были им незнакомы».
Одним из давних соратников Атияха, с которым он впервые познакомился в 1977 году, был физик-математик Эдвард Виттен. Более чем на 20 лет младше Атийи, Виттен впоследствии стал пионером теории струн — идеи, которая утверждает, что крошечные одномерные вибрирующие струны являются фундаментальными строительными блоками Вселенной, а не частицами Стандартной модели.
Изначально теория струн рассматривалась как возможная «теория всего», которая объединит квантовую теорию с теорией гравитации Эйнштейна, но на сегодняшний день она, пожалуй, оказала большее влияние на некоторые из наиболее абстрактных областей математики, такие как алгебраическая геометрия и дифференциальная топология, чем на физику. В этих областях Виттену и другим теоретикам струн удалось создать конкретные гипотезы, которые математики впоследствии доказали.
Например, в 1991 году физики Филипп Канделас, Ксения де ла Осса и их коллеги применили теорию струн к десятилетиями складывавшейся головоломке в нумеративной геометрии — древней ветви математики, посвящённой подсчёту числа решений геометрических задач. В самом простом виде она задаёт такие вопросы, как «Сколько прямых может проходить через две точки на плоскости?». (Одна.) Или знаменитая задача Аполлония: «Сколько окружностей, касающихся трёх заданных окружностей, можно нарисовать?» (Восемь.)
Канделас и его коллеги смогли использовать инструменты теории струн для решения особенно сложной проблемы в нумеративной геометрии: подсчёта количества определённых видов кривых в многообразиях Калаби-Яу, странных шестимерных формах, которые являются центральными в теории струн. Их результат соединил два вида геометрии, «симплектическую» и «комплексную», которые математики десятилетиями изучали изолированно друг от друга, считая, что они не связаны между собой. Подобные достижения — те, которые соединяют две области, считавшиеся несвязанными, — считаются «глубокими» результатами в математике: вы внезапно можете использовать инструменты из одной области для решения проблем в другой, что позволяет ускорить прогресс.
Всего несколько лет спустя, в 1995 году, Виттен предложил, что пять различных версий теории струн, каждая из которых требует 10 измерений, являются различными аспектами одной 11-мерной концепции, которую он назвал «М-теорией». Хотя М-теория остаётся недоказанной, установление соответствий между различными теориями привело к поразительным математическим открытиям. «Кажется, что каждый месяц теория струн даёт математикам новые структуры беспрецедентным образом, — говорит математический физик Ян-Хуэй Хэ из Лондонского института математических наук.
То, что теория струн является богатым источником таких неожиданных отношений, или «дуальностей», между двумя математическими мирами, продолжает волновать математиков и сегодня. Физик Хе и его коллега, теоретик струн Федерико Карта, также из Лондонского института, изучали простейший тип многообразия Калаби-Яу, называемый поверхностью K3, когда они наткнулись на связь между «группами гомотопии» поверхности, которые используются для классификации форм в топологии, и группой симметрии, называемой «группой Маттье 24». Открытие этой пары показывает неожиданную связь между двумя разрозненными областями чистой математики — топологией, изучающей формы, и областью современной алгебры, называемой теорией групп, которая касается типов симметрии, которыми обладают объекты.
Почему физика должна порождать такую интересную математику, говорит Хе, — это «глубокий вопрос». По его словам, существует бесконечное количество паттернов и структур, которые могли бы изучать математики. «Но те, которые приходят из реальности, — это те, о которых мы имеем представление на каком-то уровне».
Хитчин соглашается. «Математические исследования не работают в вакууме», — говорит он. «Вы не садитесь и не изобретаете новую теорию ради неё самой. Вы должны верить, что есть что-то, что нужно исследовать. Новые идеи должны сгущаться вокруг какого-то представления о реальности, или, может быть, чьего-то представления».
В связи с этим возникает вопрос, не подпитывает ли физика математику, просто предоставляя более острую мотивацию для её изучения и фокус для энергии математиков. Руководствуясь интуицией о том, как должен работать мир, и имея правдоподобную конечную точку, математики иногда могут продвинуться в решении проблемы быстрее, чем в противном случае.
Это также объясняет любопытный факт: «плохая» физика иногда может привести к хорошей математике.
Например, теория вихрей была ранней попыткой британского физика-математика Уильяма Томсона (лорда Кельвина) объяснить, почему атомы существуют в относительно небольшом количестве разновидностей. Он представлял атомы как вращающиеся кольца, которые можно завязать в замысловатые узлы, причём каждый узел соответствует отдельному химическому элементу. Теория была отменена после открытия электрона, но математика привела к развитию теории узлов, которая с тех пор стала плодотворной областью для исследований чистых математиков и нашла удивительное применение в гидродинамике и в области понимания запутанных молекул, таких как ДНК.
Для Атия загадочная связь между физикой и математикой сводится к человеческому мозгу. «Люди — продукт длительной эволюции, в которой мощный мозг был преимуществом. Такие мозги развивались в физическом мире, поэтому успех эволюции измерялся физическими успехами», — объяснил он в интервью 2018 года. «Следовательно, человеческий мозг развивался для решения физических проблем, а это требовало от мозга развития правильной математики». Для этого мозг также должен был приспособиться к распознаванию и оценке математических закономерностей в природе. Атия даже стал соавтором исследования по визуализации мозга, проведённого в 2014 году, которое показало, что математическая красота возбуждает те же участки мозга, что и красивая музыка, искусство или поэзия. Это может объяснить, почему физика может быть ориентиром для математиков: Математика, которая возникает в результате изучения реальности, нравится нашему мозгу.
В работе 2010 года, написанной совместно с Хитчином и голландским физиком-теоретиком Роббертом Дийкграафом, работавшим в то время в Принстонском университете, Атия ещё больше подчеркнул успешное использование физики в математике. Однако с тех пор было проделано мало работы, чтобы попытаться понять этот феномен.
Один из философов, который недавно вновь рассмотрел этот вопрос, — Даниэле Молинини из Болонского университета. Его работа 2023 года, опубликованная в «Британском журнале философии науки», стала ответом на часто цитируемое эссе 1960 года под названием «Необоснованная эффективность математики в естественных науках», написанное нобелевским лауреатом физиком Юджином Вигнером. В дерзком ответе Молинини вместо этого рассматривается тема «Необоснованная эффективность физики в математике». Его удивительный ответ заключается в том, что некоторые законы физики могут быть столь же неопровержимы, как математическая теорема. «Есть некоторые принципы, касающиеся мира, которые мы должны принимать как фундаментальные», — говорит он.
Философы в целом согласны с тем, что математические истины «необходимы», так как они должны быть истинными во всех возможных мирах. Истины о природе, эмпирические факты, отличаются — они условны. Свет движется с определённой скоростью, но, возможно, в другой вселенной это могло бы быть иначе. То есть математические истины всегда были и будут истинными, несмотря ни на что.
Могут ли существовать определённые законы физики, которые также являются «необходимыми» в том же смысле? В своей статье Молинини утверждает, что принцип сохранения может быть одним из таких законов. В физике некоторые свойства системы, такие как энергия или импульс, не могут меняться. Например, велосипедист, свободно съезжающий с холма, преобразует свою гравитационную потенциальную энергию в энергию движения, но общее количество энергии у него и его велосипеда остаётся прежним.
Если такое сохранение «необходимо», утверждает Молинини, это может объяснить, как Архимед смог успешно вывести истинность геометрических доказательств на основе механических соображений, что в других случаях вызывает недоумение. Физика и математика в данном случае — две стороны одной медали: обе они верны, потому что опираются на один и тот же фундаментальный принцип.
Другая точка зрения, знаменито сформулированная в начале XVII века Галилеем и часто отстаиваемая математиками, заключается в том, что Вселенная написана на языке математики. Эта идея имеет древние корни, восходящие, по крайней мере, к Пифагору и его последователям, но более поздней и экстремальной версией является гипотеза математической Вселенной Макса Тегмарка, в которой сама Вселенная не просто описывается математикой, но и создана из неё.
По мнению Тегмарка, наша вселенная — лишь одна из бесконечного числа параллельных вселенных, и все бесконечные возможности математики — каждая теорема, каждое доказательство — реализуются где-то в этой мультивселенной. Поэтому неудивительно, что физика вдохновляет на новые открытия в математике — реальность, которую описывает физика, в любом случае является математической. «Между эмпирической наукой и математикой существует тесная связь», — говорит Марк Коливан, философ из Сиднейского университета, изучавший отношения между математикой и физикой. «Можно сделать вывод, что мир сам по себе математичен».
Однако в обоих случаях математика известной физики — лишь малая часть всей существующий математики (большая часть которой, скорее всего, гораздо менее интересна), так что эта точка зрения не объясняет, почему математика, возникающая из физики, должна быть необычайно богатой.
Сейчас Молинини оспаривает популярное философское объяснение применимости математики — «отображение», которое, по его мнению, не может объяснить, почему хорошая математика может вытекать из физики. Картирование предполагает, что математика применяется к физике путём превращения физических понятий, таких как масса или разделение, в математические сущности, такие как уравнение для закона тяготения Ньютона, которые затем могут быть использованы для вычисления чего-то, что затем отображается обратно в физическое свойство — например, притяжение между двумя объектами. Но Молинини утверждает, что этот процесс отображения разрушается, если попытаться обратить его вспять, чтобы объяснить, как математика может возникнуть из физики.
По его словам, этот вопрос вызывает растущий интерес у философов, которые до сих пор концентрировались на обратной проблеме — почему математику можно примененять к эмпирическим наукам.
«Современная физика предоставляет математикам целый ряд новых инструментов и неожиданных зацепок», — говорит Хэ из Лондонского института. «И в будущем физике и математике придётся ещё теснее сотрудничать, чтобы решить некоторые из самых больших проблем чистой математики».
Программа Лэнглендса, задуманная Робертом Лэнглендсом в 1960-х годах и часто называемая «великой единой теорией математики», — одна из таких областей, говорит Хе. Одно из направлений программы, геометрия Лэнглендса, было, как утверждается, недавно решено группой математиков, которые представили доказательство, охватывающее пять статей и 800 страниц. Ядро этого доказательства опирается на идеи, первоначально почерпнутые из конформной теории поля, ветви физики, которая, в частности, является краеугольным камнем теории струн. Он считает, что математикам придётся привлечь больше физики, чтобы изучить последствия этого доказательства, а также добиться прогресса в других направлениях программы.
Аналогично, математики уже прибегали к помощи физики в своих попытках добиться прогресса в решении гипотезы Римана и гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера — двух самых сложных открытых проблем в математике. Альянс между двумя областями, подозревает Хе, станет ключом к окончательной разгадке этих гигантов.
«Физика и математика снова начинают становиться единым целым, как это было во времена Ньютона и Гаусса», — говорит Хе, который учился на физика-теоретика, но его всё больше привлекает применение физических идей к проблемам чистой математики.
Это интригующая мысль. История Вселенной может быть написана на языке математики. Но как бы ни была прекрасна эта история, есть признаки того, что для понимания большего, чем уже есть у физиков, потребуются все более экзотические и сложные математические инструменты, некоторые из которых ещё только предстоит изобрести. Разрушение барьеров между двумя областями может открыть новые миры понимания в обеих.
