[Перевод] Когда вероятность встречается с реальностью: три задачки на теорию вероятностей

Оказавшись перед трудным выбором, стоит доверять интуиции или тщательно просчитать все сопутствующие риски?

Для людей с научным складом ума естественно пытаться применять рациональные методы для оценки рисков повседневной жизни. К примеру, надо ли делать прививку от гриппа, если вам нет 40 лет и вы здоровы? Нужно ли выпрыгивать из самолёта (с парашютом)? Благородная цель, применение логики для оценки рисков, однако, сталкивается с двумя препятствиями. Во-первых, в отсутствии определённости мы обычно принимаем решения на основании комбинации из интуиции и целесообразности, и довольно часто это срабатывает. Во-вторых, нас постоянно атакует множество всё время изменяющихся случайных событий. «Как случайность управляет нашей жизнью» – такой подзаголовок был у весьма поучительного бестселлера Леонарда Млодинова. Эти постоянные тычки от случайных сил красочно продемонстрированы в этом отрывке, перефразированном из гораздо более длинной детской сказки 1964 года под названием «К счастью» Реми Чарлипа, который вдохновил нашу первую задачу.

Задача 1

Человек отправился покататься на самолёте.

К несчастью, он выпал.

К счастью, у него был парашют.

К несчастью, парашют не раскрылся.

К счастью, под ним оказался стог сена, прямо на том месте, где он должен был упасть.

К несчастью, прямо под ним из стога торчали вилы.

К счастью, он не попал на вилы.

К несчастью, он не попал на стог.

Существует несколько свидетельств, утверждающих, что у людей, выпавших из самолёта, получалось выжить, упав на стог сена, или даже на деревья или кусты – такие случаи легко нагуглить. Итак, сменяющие друг друга крики в голове этого человека: «Мне конец!/Я спасён!» нельзя назвать итоговыми, пока история не закончится. (Наша история заканчивается трагически, но в оригинале герой выживает благодаря множеству других резких поворотов судьбы). Имеет ли смысл применять принципиальные методы оценки рисков в данном случае? Учитывая имеющуюся информацию, оцените шансы на выживание после каждой строчки.

Эта история ярко иллюстрирует два важных аспекта вероятностных оценок. Во-первых, вероятности могут радикально меняться с появлением новых знаний. Во-вторых, неважно, насколько сильно вы настроили шансы в свою пользу, итоговый результат выливается во что-то одно – жизнь или смерть, да или нет. В редких случаях результат может оказаться нежелательным. Как с коллапсом волновой функции в квантовой механике, продемонстрированным знаменитым мысленным экспериментом Эрвина Шрёдингера с котом в коробке, который может оказаться живым или мёртвым, вероятности теряют смысл после того, как событие происходит. Так какова же ценность подобных вычислений? Давайте рассмотрим этот момент подробнее.

Возможно, наилучшим методом рационального подхода к случайности и риску в повседневной жизни будет байесово мышление, названное в честь статистика XVIII века Томаса Байеса. Байесово мышление опирается на несколько важных принципов. Во-первых, вероятность субъективно интерпретируется, как степень доверия – разумная оценка личной точки зрения о вероятности события. Во-вторых, при наличии надёжных данных о частоте события эту степень доверия необходимо приравнять к объективно рассчитанной вероятности. В-третьих, все имеющиеся у вас объективные знания, связанные с этой темой, необходимо учесть при подсчёте начальной оценки. Наконец, необходимо обновлять вероятности при поступлении новой информации. Если вы всегда будете полагаться на наиболее надёжные и объективные оценки вероятности, сделанные на основе данных, и отслеживать возможные неточности, то итоговая вероятность окажется наилучшей из всех возможных.

Когда знаменитый математик Тимоти Гауэрс столкнулся с необходимостью принимать решение о лечении его фибрилляции предсердий при помощи рискованной медицинской операции, не дававшей гарантий успеха, он решил провести детальные подсчёты рисков и преимуществ. К счастью, для Гауэрса, который к тому же является одним из основателей проекта Polymath, всё закончилось успешно. Но большая часть рисков, с которыми мы сталкиваемся, оказываются не такими серьёзными, и величина риска бывает не такой большой. Однако следующая задача иллюстрирует долгосрочные преимущества использования байесового подхода.

Задача 2

Количество смертей на коммерческих авиарейсах составляет порядка 0,2 на 10 млрд полётных миль. Для автомобилей это число равно 150 смертей на 10 млрд миль. И хотя это число в 750 раз больше, чем для самолётов, мы [американцы / прим. перев.] всё же предпочитаем ездить за рулём на длинные дистанции, поскольку в абсолютном выражении риски малы. Но проведём мысленный эксперимент с двумя гипотетическими и, конечно, нереалистичными предположениями: во-первых, ваше ожидаемое время жизни равно миллиону лет (и вы с удовольствием проживаете каждый год), во-вторых, указанные выше риски остаются неизменными всё это время. Теперь представим, что каждый год вы можете либо пролететь 10 000 миль, либо покрыть это же расстояние на машине путём долгих переездов. Время на поездки вас не волнует – ведь вам же ещё жить миллион лет! При этих условиях, насколько и в какой пропорции укоротится ваша жизнь, если бы вы вместо полётов всё время вели машину? Как будет отличаться ответ для продолжительности жизни в 100 лет?

Из этого видно, что даже если подсчёты вероятности теряют своё значение после того, как событие произошло, на будущее они увеличивают ваши шансы в долгосрочной перспективе. Мы не живём по миллиону лет, но в течение жизни мы принимаем десятки тысяч решений по поводу того, куда и как путешествовать, что есть, заниматься ли в спортзале, и т.д. И хотя вероятное влияние каждого из этих решений на нашу продолжительность жизни будет мало, их совместный эффект может оказаться большим. По меньшей мере, для больших решений – таких, как выбор операции для борьбы с серьёзным заболеванием, будет оправданным рассмотрение деталей, выходящее за рамки интуиции.

И, конечно, есть хорошо описанные ситуации, в которых наша интуиция оказывается ошибочной. Это скелет стандартных учебников по байесовым методам. Один из примеров – тест на «достаточно хороший, но не идеальный», который и приводит к третьей задаче.

Задача 3

Рассмотрим два похожих сценария, в которых необходимо дать вероятностную оценку ситуации. Перед тем, как провести расчёты, послушайте свою интуицию и запишите ответ.

Вариант А: в одном городе есть две этнических группы, Первые и Вторые. Первые составляют 80% населения. Местный госпиталь проводит стандартное обследование на наличие редкого заболевания, одинаково часто встречающегося в обеих группах. В результате она собирает 100 образцов крови, и, естественно, 80% этих образцов собраны у Первых. При тщательной проверке на заболевание положительной оказывается всего 1 проба из 100. Исследователь, незнакомый с данными по этническому соотношению, проводит некий тест этого образца и определяет, что он взят у представителей Второй группы. Однако точность этого теста на принадлежность к этническим группам составляет лишь 75%. Какова вероятность того, что проба действительно была взята у Второго?

Вариант Б: В этом варианте Первые и Вторые составляют по 50% от населения, но вероятность заболеть у Первых выше. Снова собираются 100 проб крови, причём 80% взяты у Первых, а 20% — у Вторых. Остальные условия идентичны. Какова теперь вероятность того, что положительная проба была взята у Второго?

В каком из этих случаях ваша интуиция оказалась точнее?

Мы знаем, что наша интуиция часто подводит нас при оценке вероятностей, хотя во время принятия решения оно может казаться правильным. Она может даже подводить экспертов – достаточно вспомнить шумиху по поводу «парадокса Монти Холла«. Мэтр статей с загадками и задачами, Мартин Гарднер, однажды сказал: «Ни в какой другой области математики экспертам не бывает так легко ошибиться, как в теории вероятностей». Наша третья задача – пример задач, позволяющих психологам определять, какие рассуждения человек использует для принятия интуитивных решений, и что заставляет его судить точно или ошибаться.

Ответами на задачи делимся в комментариях; также читателям предлагается рассказать о том, как они использовали подсчёт вероятности для принятия решений в их реальной жизни, и какой подход к таким расчётам им кажется наилучшим.