Парадокс закона в логике и математике

13 Фев в 09:34

В результате поиска в Интернете выяснилось, что термин «закон парадокса» в научной литературе практически не встречается. Исключением в настоящее время является статья по литературоведению, моя статья в Хабре и статья, которая в данный момент находится в стадии рецензирования в одном научном журнале.

Закон парадокса, по-видимому, можно считать недавно сформулированным и доказанным законом алгебры множеств. В данной статье приведены его формулировка и обоснование, а также показаны некоторые области его применения, в частности, выявление с его помощью одного из часто используемых приемов манипуляции сознанием. В заключительной части статьи приводится объяснение на его основе парадокса Рассела.

Что касается алгебры множеств, то существуют две версии этого понятия. По одной версии, которая была опубликована в 1977 году в 1-м томе Математической энциклопедии (стр. 129), алгебра множеств – это непустая совокупность подмножеств некоторого множеств, замкнутая относительно операций объединения, пересечения и дополнения. В этой версии не используются отношения включения и равенства между множествами. Считается, что алгебра множеств в этой версии определена на основе аксиоматической теории множеств. Аналогичное определение содержится в данный момент в русскоязычной Википедии.

Вторая, более полная, версия алгебры множеств, не связанная с аксиоматической теорией множеств, была предложена раньше в известной книге Куранта и Роббинса, впервые опубликованной в 1941 году. В этой версии алгебра множеств представлена как математическая система, в которой определены операции пересечения, объединения и дополнения, а также отношение включения. В этой книге были приведены 26 законов алгебры множеств, которые полностью соответствуют законам классической логики, и было высказано предположение, что эти законы можно обосновать без использования аксиом с помощью перебора и анализа вариантов. Более подробное обоснование законов алгебры множеств этим методом содержится в Части 1 статьи «На чем основана логика».

В данной статье, как и в других статьях автора, за основу принята более конструктивная версия Куранта и Роббинса.

Формулировка и обоснование закона парадокса

Пусть в универсуме Парадокс закона в логике и математике задана система множеств $S_i, i = 1,2, \dots , n$ без перечисления их элементов, при этом допускается возможность равенства некоторых из этих множеств пустому множеству или универсуму. Для этой системы заданы два типа соотношений между некоторыми множествами:

общие суждения заданы как соотношения включения между некоторыми из заданных множеств (например, $S_3 \subseteq \overline{S_2}$ ). Этот тип соотношения соответствует общим Аристотелевым суждениям типа «Все есть (или не есть) » и
частные суждения, выражающие истинность непустого пересечения некоторых пар множеств (например, $S_2 \cap S_6 \ne \varnothing$ ). Этот тип соотношения соответствует частным Аристотелевым суждениям типа «Некоторые есть (или не есть) ».

Эти соотношения можно рассматривать как посылки логического вывода

Также в этой системе можно установить два вида ограничений:

Ограничения подмены термина выражаются как недопустимость равенства некоторых пар множеств (например, $S_2 \ne S_4$ ).
Ограничения пустоты выражаются как недопустимость равенства пустому множеству некоторых из заданных множеств (например, $S_4 \ne \varnothing$ ).

Для этой модели анализа рассуждений в статье о математической модели полисиллогистики было определено 6 разных типов задач, для решения которых используются законы алгебры множеств. При этом для решения некоторых из этих задач потребовалось сформулировать и обосновать новые законы алгебры множеств. К этим задачам относится, в частности, задача проверки выполнения ограничения пустоты.

Дело в том, что для некоторых вариантов заданных соотношений при выводе следствий с помощью известных законов алгебры множеств (контрапозиции и транзитивности) могут быть получены следствия типа $A \subseteq \overline{A}$ . В публикациях по этой системе рассуждений (см. книгу «Логика естественных рассуждений») такая ситуация была названа коллизией парадокса. Было предложено два возможных способа разрешения этой коллизии: 1) принять, что – безусловно пустое множество и 2) если $A = \varnothing$ не соответствует ограничению пустоты, то признать данное рассуждение некорректным.

Соотношение «из $A \subseteq \overline{A}$ следует $A = \varnothing$ » не было обосновано и рассматривалось как аксиома для данного метода анализа рассуждений. И лишь недавно было предложено сформулировать это соотношение как один из законов алгебры множеств и обосновать его. В качестве названия этого закона был выбран термин «закон парадокса».

Закон парадокса: из $A \subseteq \overline{A}$ следует $A = \varnothing$ .
Доказательство закона парадокса. Из определения операции дополнения ясно, что в множестве $\overline{A}$ содержатся те и только те элементы универсума , которые не являются элементами . Предположим, что имеется элемент такой, что $a \in A$ . В то же время из условия $A \subseteq \overline{A}$ следует, что элемент содержится в $\overline{A}$ , т.е. $a \notin A$ . Полученное противоречие можно разрешить единственным способом: множество не содержит элементов, т.е. $A = \varnothing$ .

Закону парадокса также соответствует ситуация, когда некоторый объект обладает свойством и в то же время не обладает им. Выразим эту ситуацию в виде соотношений между множествами:

$A \subseteq B$ ;
$A \subseteq \overline{B}$ .

Вычислим контрапозиции этих суждений:
3. $\overline{B} \subseteq \overline{A}$ ;
4. $B \subseteq \overline{A}$ .
Из суждений $A \subseteq B$ и $B \subseteq \overline{A}$ по закону транзитивности следует $A \subseteq \overline{A}$ .

Из закона парадокса, в частности, следует, что некоторые парадоксы теории множеств, которые якобы свидетельствуют о противоречивости понятия «множество», на самом деле говорят о том, что множеств, у которых в соответствии с заданными определениями выводятся несовместимые свойства, просто не существует.

Пример парадоксальной системы рассуждений

В качестве примера предлагаю рассмотреть немного измененную задачу Льюиса Кэрролла.

Пример 1. Даны посылки

Те, кто нарушает свои обещания, не заслуживают доверия.
Все любители выпить очень общительны.
Человек, выполняющий свои обещания, честен.
Ни один трезвенник не мошенник.
Тому, кто очень общителен, всегда можно верить.

Нужно вычислить основное следствие из этих посылок. Для этого сначала сформулируем посылки в виде соотношений между следующими множествами: Парадокс закона в логике и математике – люди; S_1 – нарушающие обещания; S_2 – заслуживающие доверия; S_3 – любители выпить; S_4 – очень общительные; S_5 – честные; S_6 – мошенники.

Тогда суждения Примера 1 можно выразить в виде следующих соотношений.

$S_1 \subseteq \overline{S_2};$
$S_3 \subseteq S_4;$
$\overline{S_1} \subseteq S_5;$
$\overline{S_3} \subseteq \overline{S_6};$
$S_4 \subseteq S_2.$

Решение подобных задач удобно начать с построения графа включений. Тогда их решение существенно упрощается. Но прежде дадим некоторые определения.

Литералом назовем обозначение множества или его дополнения, при этом ясно, что, например, и $\overline{S_2}$ – это разные литералы.
Графом включений назовем рисунок, на котором литералы представлены точками (они называются вершинами графа), а отношение включения между множествами изображаются в виде линий со стрелками (они называются дугами графа). Если, например, $S_3 \subseteq \overline{S_2}$ , то на графе включений дуга направлена от литерала к литералу $\overline{S_2}$ ( $S_3 \to \overline{S_2}$ ).

Для упрощения мы не будем на рисунках изображать точки – просто будем рисовать дуги от литерала к литералу.
Теперь построим граф включений для посылок

Граф включений лучше изображать таким способом: в верхней строке пусть будут расположены все позитивные литералы, в нижней – все негативные. Так мы не пропустим ни одного литерала и к тому же, как будет показано далее, на такой схеме, в которой противоположные литералы расположены по вертикали, можно легко строить контрапозиции исходных суждений.

Для завершения построения графа включений используется закон контрапозиции:

$\quad \quad A \subseteq B$ эквивалентно $\overline{B} \subseteq \overline{A}.$

Применим закон контрапозиции к исходным посылкам.
6. $S_2 \subseteq \overline{S_1};$
7. $\overline{S_4} \subseteq \overline{S_3};$
8. $\overline{S_5} \subseteq S_1;$
9. $S_6 \subseteq S_3;$
10. $\overline{S_2} \subseteq \overline{S_4}.$

Построим граф включений для посылок и их контрапозиций (изображены штриховыми линиями).

Из рисунка видно, что контрапозиции исходных суждений можно легко построить, используя два простых правила.

Правило 1: Если исходное суждение соединяет литералы в одной строке, то его контрапозиция соединяет противоположные литералы в другой строке, при этом направление дуги меняется на обратное.
Правило 2: Если исходное суждение соединяет литерала в разных строках, то его контрапозиция соединяет противоположные литералы, при этом направление дуги (вверх или вниз) не изменяется.

Теперь легко находится решение задачи. Сначала выберем на графе литералы, в которые не входит ни одна дуга (начальные литералы). В данной задаче это литералы S_6 и $\overline{S_5}$ . После этого «прогуляемся» из них по направлению дуг. В частности, если мы начнем с литерала S_6 , то получим такой путь на графе:

$S_6 \to S_3 \to S_4 \to S_2 \to \overline{S_1} \to S_5$ .

Правило транзитивности позволяет нам утверждать, что если имеется путь от одного литерала к другому, то множество, соответствующее начальному литералу, включено в множество, соответствующее конечному литералу. Отсюда ясно, что

$\quad \quad S_6 \subseteq S_5$ : Все мошенники честные.

Парадоксальность данного суждения в том, что оно вызывает коллизию парадокса при добавлении безусловно истинного суждения «Все честные люди не мошенники». Это суждение не вызывает сомнений, поскольку мошенник не может быть честным по определению. Посмотрим, как возникает парадокс.

$S_6 \subseteq S_5$ (следствие Примера 1):
$S_5 \subseteq \overline{S_6}$ (Все честные люди не мошенники)/

По закону транзитивности включения из $S_6 \subseteq S_5$ и $S_5 \subseteq \overline{S_6}$ следует $S_6 \subseteq \overline{S_6}$ .

Ясно, что причина парадокса здесь не в ошибках логического вывода. Причина в том, что ошибка незаметно присутствует в посылках.

Признать, что по закону парадокса мошенников не существует, тоже не годится: к сожалению, многим из нас либо приходилось непосредственно сталкиваться с ними, либо узнавать о них из достоверных источников. Главный вопрос здесь в том, чтобы обнаружить конкретную ошибку в рассуждении.

Связь закона парадокса с приемами манипуляции сознанием

Сначала выясним возможную причину парадокса для Примера 1. Ясно, что логический вывод не содержит ошибок, поэтому можно предположить, что абсурдное следствие незаметно присутствует в кажущихся правдоподобными посылках. Подсказкой здесь может послужить то, что некоторые из этих посылок будут, по-видимому, ближе к истине, если их переопределить как частные суждения. Посмотрим, какой получится результат, если мы заменим посылку 2 «Все любители выпить очень общительны» на «Некоторые любители выпить очень общительны». Далее мы увидим, что это, казалось бы, незначительное изменение рассуждения приводит к существенным переменам.

Рассмотрим, как изображаются на графе включений частные суждения, которые выражаются в виде неравенства (например, $\overline{S_1} \cap S_4 \ne \varnothing$ ). Для этого добавим в модель рассуждений вспомогательные (т.е. не связанные с основными терминами рассуждения) непустые множества, которые мы обозначим $\alpha_k, (k = 1, 2, \dots m)$ . Тогда каждое частное суждение можно выразить в виде двух суждений, в которых используется одно из вспомогательных множеств. Например, суждение «Некоторые любители выпить общительны» ( $S_3 \cap S_4 \ne \varnothing$ ) можно в наших обозначениях выразить как два суждения $\alpha_k \subseteq S_3$ и $\alpha_k \subseteq S_4$ .

Тогда для вывода частных суждений можно использовать еще один новый закон алгебры множеств.

Закон непустого пересечения: если $\alpha \ne \varnothing$ , $\alpha \subseteq A$ и $\alpha \subseteq B$ , то $A \cap B \ne \varnothing$ .

Доказательство этого закона элементарное. Однако его формулировка мне не встречалась в работах по дискретной математике.

Пример 2. В Примере 1 заменим посылку 2 ( $S_3 \subseteq S_4$ ) на две посылки $\alpha_k \subseteq S_3$ и $\alpha_k \subseteq S_4$ . Построим граф включений для посылок и их контрапозиций

Анализ этого графа включений позволяет получить следующие выводы.

Для термина «мошенники» () в новой задаче появилось только одно новое общее суждение $S_6 \subseteq S_3$ (все мошенники любители выпить). Далее цепочка обрывается.
Из единственного заданного безусловно непустого литерала $\alpha_k$ исходят две ветви: $\alpha_k \to S_4 \to S_2 \to \overline{S_1} \to S_5$ и $\alpha_k \to S_3$ . Если применить закон непустого пересечения, то получается, что непустое пересечение имеют пары литералов, находящихся на одной из этих ветвей (например, $S_4 \cap \overline{S_1} \ne \varnothing$ , так как $\alpha_k \subseteq S_4$ и $\alpha_k \subseteq \overline{S_1}$ ), и пары литералов, содержащихся в разных ветвях, исходящих из $\alpha_k$ (например, $S_3 \cap S_5 \ne \varnothing$ , так как $\alpha_k \subseteq S_3$ и $\alpha_k \subseteq S_5$ ). Среди этих пар нет пары (), из чего следует, что частное суждение «некоторые мошенники честные» не является заключением в данной задаче. Другими словами, после того, как мы заменили одно общее суждение частным, парадокс исчез полностью.

Таким образом, из того, что замена общего суждения частным позволяет полностью аннулировать парадокс, следует вывод о том, что замена частного суждения общим может привести к логической катастрофе.

Стоит отметить, что неявное принуждение собеседников к тому, чтобы они допустили именно эту логическую ошибку (т.е. ложное обобщение), оказывается чуть ли не самым популярным способом манипуляции сознанием. При этом часто для манипулятора даже нет необходимости в том, чтобы провозглашать ложные общие суждения – многие люди сами их послушно принимают, когда манипулятор преподносит им факты или сведения, которые ему выгодны, и замалчивает (или оценивает как ложь или происки недругов) сведения, которые не согласуются с его намерениями. Этот распространенный прием манипуляции сознанием мы назовем принуждением к обобщению.

О парадоксах теории множеств

Начнем с популярной версии основного парадокса теории множеств – парадокса Рассела. Полковому брадобрею был дан приказ брить тех и только тех, кто не бреется сам. Брадобрей спокойно брил своих однополчан, не чувствуя подвоха, но когда пришла пора самому побриться, то каверза приказа проявилась в полной мере. Если он будет бриться, то получается, что он бреет того, кто бреется сам и тем самым нарушает приказ. Если же он не будет бриться, то опять нарушит приказ, так как он тем самым отказывается брить того, кто сам не бреется.

Чтобы понять причину парадокса, рассмотрим некоторые аспекты теории бинарных отношений. Согласно этой теории отношение может быть рефлексивным и антирефлексивным. Например, отношения «включено или равно» ( $\subseteq$ ) и «не меньше» ( $\geq$ ) рефлексивны, так как выражения $A \subseteq A$ и $A \geq A$ не вызывают сомнений. В то же время для других отношений (например, «строго включено» ( $\subset$ ) и «больше» (>) ) рефлексия приводит к парадоксу (например, непонятно, как нечто может быть больше самого себя).

Рассмотрим отношение «брить» с этой точки зрения. Можно ли полагать, что отношение «бриться» есть частный случай этого отношения? На мой взгляд, это неверно и не только потому, что для того, чтобы брить другого человека, требуется определенные знания и навыки. Дело в том, что «брить» и «бриться» не совпадают по признаку совместимости. Если брадобрей бреет другого человека (допустим, пекаря), то возможна ситуация, когда одновременно брадобрей бреет пекаря, а пекарь при этом бреется сам. Разумеется, ни один уважающий себя брадобрей не допустит такого безобразия, но в принципе такая ситуация возможна. В то же время если человек бреется, то он не может одновременно бриться и не бриться. А это означает, что отношение «брить» антирефлексивно.

На основе этого примера можно предположить, что многие рассуждения и доказательства, в которых используется рефлексивность (самореферентность по выражению Рассела) основаны на отношениях, для которых рефлексивность опровергается при детальном анализе. Другими словами, в некоторых рассуждениях с «самореферентностью» противоречие может быть неявно заложено в исходных данных.

Рассмотрим неформальную формулировку парадокса Рассела. Назовем самоприменимым множество, которое является своим собственным элементом. В качестве примера в публикациях часто приводится «множество всех множеств». В то же время обычные множества не самоприменимы, например, множество программистов не является программистом.
Рассмотрим множество A_R всех обычных множеств (его называют расселовским множеством). Является ли оно обычным?

Однозначного ответа на этот вопрос нет. Если множество A_R обычное, то оно должно быть элементом множества A_R , в результате чего это множество становится самоприменимым. Если же оно самоприменимое, то оно не должно быть элементом множества A_R по определению этого множества. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это обычное множество.

С точки зрения алгебры множеств возможно следующее объяснение этого парадокса.

Во-первых, в алгебре множеств «множество» () и «элемент» () разные категории. Они связаны отношением принадлежности ( $a \in A$ ), но не отношением включения, которое используется только для множеств ( $a \subseteq A$ – неверно, правильным будет $\{a\} \subseteq A$ ). К тому же в алгебре множеств нет необходимости использовать множества в качестве элементов других множеств. Системообразующим в ней является не отношение принадлежности ( $\in$ ), а отношение включения ( $\subseteq$ ), для которого «самоприменимость» ( $A \subseteq A$ ) не приводит к парадоксу. Отношение принадлежности в алгебре множеств используется лишь для определения некоторых множеств, а также для того, чтобы уведомлять о том, что определенный элемент принадлежит (или не принадлежит) определенному множеству.

Во-вторых, если мы все же допустим в алгебре множеств возможность считать множество элементом другого множества и введем «самоприменимость» для отношения принадлежности, то по закону парадокса расселовское множество A_R в силу «коллизии парадокса» окажется равным пустому множеству.

Если же речь идет не об алгебре множеств, а о другой математической теории, в которой не соблюдается закон парадокса, то все возможно.

Дизайн баннера выполнен Анной Горской.

Источник