Парадокс голосования обрёл геометрию: он оказался бутылкой Клейна

Автор оригинала: Alex Stone

Новая топологическая модель увязывает парадокс голосования, известный ещё с XVIII столетия, с поверхностью, у которой нет разделения на внутреннюю и внешнюю стороны.

Иллюстрация: Kristina Armitage / Quanta Magazine

С математической точки зрения демократия практически невозможна.

Похоже на тему многочасового подкаста какого-нибудь миллиардера из Кремниевой долины, но на самом деле речь о поразительно неподатливой задаче: как из набора личных предпочтений получить единый коллективный выбор?

В 1785 году французский математик и философ Никола де Кондорсе обнаружил, что воля большинства порой заводит саму себя в логический тупик. Когда на выборах претендуют три кандидата и более, каждый избиратель способен выстроить их в чёткий и непротиворечивый порядок, однако после подсчёта голосов выясняется, что любой кандидат уступает в личном противостоянии кому-то из соперников. Менять правила имеет смысл лишь до известной черты: как позднее доказал экономист Кеннет Эрроу, любой способ свести индивидуальные рейтинги в общий порядок неизбежно жертвует хотя бы одним условием, вполне естественным для демократии.

Теперь трое исследователей показали, что у 240-летнего парадокса Кондорсе есть своя форма, и она столь же причудлива, как и сам парадокс: это бутылка Клейна, поверхность, у которой нет отдельных внутренней и внешней сторон. Работа предлагает математикам геометрический инструмент для изучения того, почему правила коллективного выбора, на первый взгляд разумные, порой невозможно согласовать друг с другом.

Каждый кому-то уступает

Если вариантов только два, понять волю народа несложно: при отсутствии ничьей выигрывает тот, кого предпочла большая часть голосующих. Но стоит появиться третьему участнику, как начинаются странности. Внезапно даже само понятие «победа» требует уточнения.

Можно просто объявить победителем того, кто собрал больше всего голосов, как на типичных американских выборах. Но представим, что Алиса получила 35% голосов, Боб — 34%, Кэрол — 31%. Побеждает Алиса. Однако если все сторонники Кэрол ставят Боба выше Алисы, то 65% избирателей предпочли бы видеть на этом посту именно Боба. По одному из вполне обоснованных определений принципа большинства выиграл не тот кандидат.

Прежде чем кто-то полезет за шапочкой из фольги, уточним: все бюллетени подсчитаны верно. Вопрос лишь в том, что именно считать победой.

Один из выходов — предложить избирателям ранжировать кандидатов и выбрать того, кто побеждает каждого соперника в личном противостоянии. Но обратите внимание на такой сценарий:

• Треть избирателей ставит Алису выше Боба, а Боба выше Кэрол.

• Ещё треть ставит Боба выше Кэрол, а Кэрол выше Алисы.

• Оставшаяся треть ставит Кэрол выше Алисы, а Алису выше Боба.

Сопоставим кандидатов попарно:

• Алиса опережает Боба: за неё первая и третья группы.

• Боб опережает Кэрол: за него первая и вторая группы.

• Кэрол опережает Алису: за неё вторая и третья группы.

Рейтинг каждого избирателя абсолютно последователен, а вот совокупный итог замыкается в круг.

Никола де Кондорсе — французский математик, философ и политик — отстаивал права женщин и в конце XVIII века способствовал началу движения за отмену рабства во Франции. Он умер в заключении в годы Французской революции. Литография Жозефа Борда, музей Карнавале, Париж

С этим парадоксом в конце XVIII века столкнулся Кондорсе, убеждённый сторонник демократии. Будучи секретарём Французской академии наук, он искал способ гарантировать справедливый выбор новых членов академии. (Намного опередив современников, Кондорсе подверг сомнению и демократическую арифметику, исключающую из голосования половину населения: в эссе 1790 года он открыто выступил в защиту политических прав женщин. Спустя несколько лет, в разгар якобинского террора, поддержанная им революция бросила его в тюрьму; через два дня после ареста его нашли мёртвым.)

За прошедшие столетия математики, политологи и реформаторы изобрели удивительное множество систем голосования, надеясь выбраться из ловушки Кондорсе. Но у каждого метода обнаруживаются свои изъяны. Смените систему — и победитель вполне может оказаться другим, хотя избиратели и их предпочтения остались точно такими же.

В 1951 году экономист Кеннет Эрроу продемонстрировал, насколько глубока эта проблема. Он искал систему голосования, которая оставалась бы последовательной и при этом соблюдала несколько простых демократических требований. Избиратели вправе расставлять кандидатов в любом порядке. Ни один избиратель не должен единолично предопределять исход выборов. (Иными словами, никаких королей.) Если все предпочитают один вариант другому, общий рейтинг обязан это учитывать. А порядок двух кандидатов должен определяться исключительно тем, как избиратели сравнивают именно их: положение Кэрол в бюллетенях не должно влиять на то, поставит ли группа Алису выше Боба.

Каждое из этих требований в отдельности звучит вполне здраво. Но, как доказал Эрроу, ни один метод не способен выполнить их все разом. «Нередко воли народа попросту не существует», — говорит Иэн Маклин из Оксфордского университета.

Теорема Эрроу о невозможности, как сегодня называют этот результат, вывела парадокс Кондорсе за рамки правила большинства и очертила фундаментальный предел того, как индивидуальные голоса можно объединить в групповое решение. Разные системы голосования могут нарушать разные требования Эрроу, но ни одна не в состоянии сохранить их все. «Проектируя систему, вы должны решить, какое из условий дешевле всего принести в жертву», — говорит Маклин.

В 1980 году, стремясь глубже разобраться в этом явлении, математик и экономист Грасиэла Чичильниски обратилась к топологии — разделу математики, где фигуры считаются одинаковыми, если одну можно преобразовать в другую растяжением, без разрывов. В сноске она отметила, что парадокс Кондорсе в частности можно рассматривать как топологическую задачу.

Теперь математики доказали, что её интуиция была верна.

Форма парадокса

Так как же выглядит парадокс голосования?

Чтобы ответить на этот вопрос, новая работа опирается на модель, которую в 1993 году предложил Юлий Барышников, ныне профессор Иллинойсского университета в Урбане-Шампейне. Для начала возьмём бюллетень одного избирателя на выборах с тремя кандидатами. Расставить их можно шестью способами. Каждый из способов можно представить в виде треугольника:

Иллюстрация: Mark Belan / Quanta Magazine

Каждая вершина этого треугольника отвечает одному из сравнений, вытекающих из бюллетеня: Алиса выше Боба, Боб выше Кэрол, Алиса выше Кэрол.

Другой бюллетень, где Алиса стоит первой, Кэрол второй, а Боб третьим, совпадает с первым в двух из трёх сравнений: оба ставят Алису выше обоих соперников. Следовательно, у их треугольников две общие вершины, и треугольники можно склеить вдоль соединяющего их ребра.

Иллюстрация: Mark Belan / Quanta Magazine

Теперь соединим все шесть треугольников (то есть все возможные бюллетени) по совпадающим рёбрам. Получится полоса:

Иллюстрация: Mark Belan / Quanta Magazine

Рёбра на её концах тоже совпадают. Поэтому изогнём полосу и соединим эти рёбра, сверяя подписи. В итоге получится трубка с отверстием на каждом конце (в оригинале это показано в виде анимации).

Барышников воспользовался этой моделью, чтобы предложить новое топологическое доказательство теоремы Эрроу.

Но обратите внимание на то, что происходит по краям трубки. Вдоль одного края сравнения читаются так: Алиса выше Боба, Боб выше Кэрол, Кэрол выше Алисы. Вдоль другого тот же цикл идёт в обратном направлении.

Иллюстрация: Mark Belan / Quanta Magazine

Перед нами циклы Кондорсе — результаты голосования, замыкающиеся в круг. Барышников эти края не изучал. Но тридцать лет спустя, в апреле 2025 года, к ним вернулся Ори Ливсон, аспирант Сиднейского университета. Ведь иногда такие круговые отношения вполне допустимы, как в правилах игры «камень, ножницы, бумага». Трудности возникают там, где от подобных отношений ждут непротиворечивого рейтинга, например на выборах. Ливсону требовалась топологическая модель, способная отличать ситуации, где циклы допустимы, от ситуаций, где они недопустимы.

Вместе со своим научным руководителем Михаилом Прокопенко и его давним коллегой Сиддхартом Притамом из Ченнайского математического института он взялся смоделировать этот проблемный случай.

Каждый цикл на краях трубки приводит к одному и тому же невозможному выводу: каждый кандидат стоит выше всех остальных. В этом смысле оба края выражают одно и то же. А в топологии, «как только вы понимаете, что две вещи одинаковы, их можно склеить», говорит Ливсон.

Но как соединить края?

Аспирант Ори Ливсон (в центре), его научный руководитель Михаил Прокопенко (справа) и Сиддхарт Притам показали, что у знаменитого парадокса голосования, которому уже несколько столетий, есть геометрическая форма: бутылка Клейна — необычная поверхность без внутренней и внешней сторон. Фото: Srishti Saloni; Georgia Callinan; Natalia Kishigami

Если изогнуть трубку так, чтобы её отверстия сомкнулись, получится поверхность в форме бублика — тор. Однако при такой склейке отдельные рёбра одного края попадают в пары с рёбрами другого, и эти пары описывают несовместимые отношения. Например, ребро «Боб выше Алисы, Алиса выше Кэрол» склеивается с ребром «Боб выше Кэрол, Кэрол выше Алисы». Исследователям нужен был способ соединить края без подобных противоречий.

Решение? Сделать перекрут. Вместо того чтобы сопоставлять края точка к точке в одном и том же порядке, перекрут позволил исследователям обратить порядок предпочтений вдоль одного из краёв, благодаря чему циклы стали равнозначными. «Склейка с перекрутом — единственный допустимый вариант», — говорит Ливсон.

Если перекрутить бумажную полоску и склеить её концы, получится поверхность всего с одной стороной — лента Мёбиуса. А что произойдёт, если перекрутить трубку? Выйдет нечто удивительное и причудливое: бутылка Клейна.

Иллюстрация: Mark Belan / Quanta Magazine

Как и у ленты Мёбиуса, у бутылки Клейна всего одна сторона: внутренней и внешней у неё нет. В отличие от ленты Мёбиуса, края у неё тоже нет. (Если кажется, что поверхность пересекает сама себя, так и есть — в трёхмерном пространстве. Математики обходят это, строя бутылку Клейна в четырёх измерениях, где она замыкается без самопересечений.)

Так модель была готова. Каждый избиратель может представить связный рейтинг, и всё же предпочтения избирателей в совокупности отказываются выстраиваться в единый порядок. Точно так же любой небольшой участок бутылки Клейна выглядит двусторонним, но последовательно различить эти стороны на всей поверхности невозможно. В обоих случаях то, что осмысленно по частям, рассыпается, стоит лишь попытаться собрать эти части воедино.

Для Ливсона, Притама и Прокопенко это сходство ставит более широкий вопрос: способна ли топология объяснить и другие фундаментальные ограничения математики? Возможно, различные теоремы о невозможности, если наделить их формой, окажутся следствиями одной, более глубокой геометрической причины.

Что же всё это значит для демократии?

Топология делает парадокс осязаемым, но выбор системы голосования по-прежнему остаётся выбором меньшего из зол. Математика может показать, из чего складываются компромиссы. А какие из них принять, определяют наши приоритеты. Ни одна теорема не решит это за нас. «По сути, это спор не математический, — говорит Маклин. — Это спор о ценностях».

 

Источник