ОТО. Энергия как дополнительное измерение в решении Шварцшильда

20.08.2020

Habritants! В этой статье описано получение метрики общего вида, включающей метрики Фридмана и Шварцшильда как частные случаи.

Для понимания материала необходимы знания алгебры: понятие о производных в большей степени; тензорная — в меньшей.

Представим, что у пространства есть четвёртое измерение. Как если бы движение в нём забирало у объекта некоторое количество движения или наоборот. Словно гравитация это чисто геометрический эффект создания субпространственной воронки вокруг любого объекта, обладающего энергией.
Вы наверняка натыкались на подобную визуализацию гравитации, если интересуетесь вопросом:
ОТО. Энергия как дополнительное измерение в решении Шварцшильда
Для того, чтобы оценить глубину такой воронки и механизм взаимодействия объектов, сформулируем выражение интервала сигнатуры (1-4).

3-сферические координаты

Представим 4-ёх мерное пространство $psi (w,x,y,z) = mathbb{R}^4$ , и зададим в нём сферические координаты $inline$ :

$] , {w = rsinthetasinphicoseta; \ x = rsinthetasinphisineta; \ y = rsinthetacosphi; \ z = rcostheta } \$

Для этого запишем переходную матрицу:

$vec{r} = left( matrix{w \ x \ y \ z} right) = left( matrix{rsinthetasinphicoseta \ rsinthetasinphisineta \ rsinthetacosphi \ rcostheta } right)$

Посчитаем переходные коэффициенты:

$g_r = left| frac{partialvec{r}}{partial r} right| = sqrt{ left( frac{partial w}{partial r} hat{h} + frac{partial x}{partial r} hat{i} + frac{partial y}{partial r} hat{j} + frac{partial z}{partial r} hat{k} right)^2 } = \ = sqrt{sin^2thetasin^2phicos^2eta + sin^2thetasin^2phisin^2eta + sin^2thetacos^2phi + cos^2theta} = 1 \ g_theta = left| frac{partialvec{r}}{partial theta} right| = sqrt{r^2cos^2thetasin^2phicos^2eta+r^2cos^2thetasin^2phisin^2eta+r^2cos^2thetacos^2phi+r^2sin^2theta} = \ = sqrt{r^2(sin^2theta + cos^2theta (cos^2phi + sin^2phi (cos^2eta+sin^2eta)))} = r \ g_phi = left| frac{partialvec{r}}{partial phi} right| = sqrt{r^2sin^2thetacos^2phicos^2eta + r^2sin^2thetacos^2phisin^2eta + r^2sin^2thetasin^2phi + 0} = \ = sqrt{r^2sin^2theta} = rsintheta \ g_eta = left| frac{partialvec{r}}{partial eta} right| = sqrt{r^2sin^2thetasin^2phisin^2eta+r^2sin^2thetasin^2phicos^2eta} = rsinthetasinphi$

И представим соответствующий $inline$ интервал:

$ds^2 = color{red}{(-1)cdot dt^2} + (dw^2 + color{green}{ dx^2 + dy^2 + dz^2}) \ ds^2 = (-1)cdot dt^2 + (g_r^2 dr^2 + g_theta^2 dtheta^2 + g_phi^2 dphi^2 + g_eta^2 deta^2) \ ds^2 = (-1)cdot dt^2 + 1 cdot dr^2 + r^2 cdot dtheta^2 + r^2 cdot sin^2theta cdot dphi^2 + r^2 cdot sin^2theta cdot sin^2phi cdot deta^2 \ ds^2 = color{red}{(-1)cdot dt^2} + color{magenta}{1 cdot dr^2} + color{green}{r^2 left( dtheta^2 + sin^2theta cdot dphi^2 + sin^2theta cdot sin^2phi cdot deta^2 right)}$

Красным — темпоральная составляющая, представленная аналогично метрике FLRW.
Зелёным — пространственная составляющая, представленная аналогично метрике FLRW, и представляющая собой поверхность 3-сферы.
Маджента получилась подвисшим между временем и пространством звеном — дифференциалом изменения мультипликатора пространственной части.

Общий вид интервала

Продолжая развитие идей, изложенных в предыдущей статье, положим изменение четвёртого измерения мерой связанной с относительным количеством энергии объектов, следовательно, дополним метрику составляющей $color{orange}{-dr^2}$ в силу рассмотрения энергетически замкнутой системы, что будет предполагаться истинным и для Вселенной в целом (решение Фридмана), и для сферически симметричного массивного тела (решение Шварцшильда). Читатель не согласный с такой трактовкой, может просто считать это математическим трюком:

$ds^2 = color{red}{(-1)cdot dt^2 left( 1 - color{magenta}{frac{dr^2}{dt^2}} right)} + color{green}{r^2 left( dtheta^2 + sin^2theta cdot dphi^2 + sin^2theta cdot sin^2phi cdot deta^2 - color{orange}{frac{dr^2}{r^2}} right)}$

Маджента в темпоральной части понятна:

$color{magenta}{ frac{dr^2}{dt^2} = dot{r}^2 }$

Зелёную переформируем, чтобы показать, что пространство $psi'(theta, phi, eta) = mathbb{R}^3 in psi$ является псевдоевклидовым:

$color{green}{r^2 left( dtheta^2 + sin^2theta cdot dphi^2 + sin^2theta cdot sin^2phi cdot deta^2 - color{orange}{frac{dr^2}{r^2}} right) = \ = r^2 cdot dtheta^2 + r^2 cdot sin^2theta cdot frac{dphi^2}{dtheta^2} cdot dtheta^2 + r^2 cdot sin^2theta cdot sin^2phi cdot frac{deta^2}{dtheta^2} cdot dr^2 - color{orange}{dr^2} =} quad rightarrow (1)$

Производные углов $inline$ по углу $inline$ равны:

$frac{dphi^2}{dtheta^2} = left( frac{dtheta}{dvec{r}} cdot frac{dvec{r}}{dphi} right)^2 = left( frac{g_phi}{g_theta} right)^2 = frac{1}{sin^2theta}; \ frac{deta^2}{dtheta^2} = frac{g_theta^2}{g_phi^2} = frac{1}{sin^2theta cdot sin^2phi };$

Поэтому с учётом базисных векторов:

$(1) rightarrow quad color{green}{= r^2 cdot dtheta^2 cdot vec{e_{theta 1}}^2 + r^2 cdot dtheta^2 cdot vec{e_{theta 2}}^2 + r^2 cdot dtheta^2 cdot vec{e_{theta 3}}^2 - color{orange}{dr^2 cdot vec{e_r}^2} = } quad rightarrow (2)$

что представляет локальное псевдоевклидово 3-пространство $inline$ с линейными по $inline$ базисными векторами:

$dtheta cdot vec{e_{theta 1}} = dx_1 cdot vec{e_x}; \ dtheta cdot vec{e_{theta 2}} = dy_1 cdot vec{e_y}; \ dtheta cdot vec{e_{theta 3}} = dz_1 cdot vec{e_z};$

с масштабным фактором $inline$ , и с мгновенной длиной $inline$ , в нашем случае совокупно редуцированной на величину $inline$ :

$(2) rightarrow quad color{green}{ = r^2 cdot left( dx_1^2 cdot vec{e_theta}^2 + dy_1^2 cdot vec{e_phi}^2 + dz_1^2 cdot vec{e_eta}^2 - color{orange}{frac{dr^2}{r^2} cdot vec{e_r}^2} right) = } quad rightarrow (3)$

Без оранжевой составляющей получилась пространственная часть интервала стандартной космологической модели для «плоского» пространства с возможной деградацией пространственного масштабного фактора $inline$ по времени, как в FLRW.
Гиперповерхность 3-сферы является внутри себя линейной по угловым координатам, или, иначе говоря, пространственная часть интервала получилась «плоской» для неизменного $inline$ . «Упаковать» лишний $inline$ будет практичнее снова в сферических, только уже обычных для трёхмерной сферы $inline$ . Чтобы различать координаты для 3-сферической и 2-сферической систем, последние обозначим $inline$ :

$(3) rightarrow quad color{green}{ r^2 cdot left( dx_1^2 + dy_1^2 +dz_1^2 - color{orange}{frac{dr^2}{r^2}} right) = r^2 cdot left( drho^2 - color{orange}{frac{dr^2}{r^2}} + rho^2 cdot dvarphi^2 + rho^2 cdot sin^2 varphi cdot dzeta^2 right) = \ = r^2 cdot left( left(1 - color{orange}{frac{d(ln r)^2}{drho^2}} right) drho^2 + rho^2 cdot ( dvarphi^2 + sin^2 varphi cdot dzeta^2) right) }$

где порядок отношения величин $inline$ , а $inline$ по теореме тангенсов:

${ dvarphi = frac{r}{rho} cdot dphi; \ dzeta = frac{r cdot sin phi}{rho cdot sinvarphi} cdot deta. }$

Тогда полный интервал будет:

$ds^2 = color{red}{(-1)cdot dt^2 left( 1 - color{magenta}{frac{dr^2}{dt^2}} right)} + color{green}{ r^2 cdot left( left(1 - color{orange}{frac{d(ln r)^2}{drho^2}} right) drho^2 + rho^2 cdot ( dvarphi^2 + sin^2 varphi cdot dzeta^2) right)} qquad (A)$

Получился комбинированный интервал словно «слепленный» из вида интервала метрики FLRW и метрики Шварцшильда, каждый из которых представляет частный случай физических взаимодействий. Теперь посмотрим как из $inline$ получаются соответствующие решения.

Вид интервала для метрики Фридмана

Чисто математически интервал вида $inline$ превращается в метрику FLRW стандартной космологической модели простым исключением энергетической составляющей $inline$ :

$ds^2 = color{red}{(-1)cdot dt^2} + color{green}{ r^2 cdot left( drho^2 + rho^2 cdot ( dvarphi^2 + sin^2 varphi cdot dzeta^2) right)}$

Что, как показано выше, можно также переписать так:

$ds^2 = color{red}{(-1)cdot dt^2} + color{green}{ r^2 cdot left( dx^2 + dy^2 + dz^2 right)}$

Решение уравнений ОТО для такого интервала даёт зависимость $r propto t^{2/3}$ .
Однако, эмпирические данные ККС для объектов $inline$ даст более точную зависимость, но я пока его не нашёл.

Решение ОТО через метрику Шварцшильда

Сравним полученный интервал с метрикой Шварцшильда:

$ds^2 = -color{red}{(1-frac{rho_s}{rho})} cdot dt^2 + color{orange}{frac{1}{1 - frac{rho_s}{rho}}} cdot drho^2 + rho^2 cdot dphi^2 + rho^2 sin^2 phi cdot dzeta^2$

Если представить систему взаимодействующих объектов в низкоэнергетическом масштабе $inline$ , то $inline$ можно принять равным единице без потери математической связности, пространство при этом станет псевдоевклидовым, а интервал $inline$ можно переписать следующим образом:

$ds^2 = (-1)cdot color{red}{ left( 1 - frac{dr^2}{dt^2} right) } cdot dt^2 + color{orange}{ left(1 - frac{dr^2}{drho^2} right) } cdot drho^2 + rho^2 cdot ( dvarphi^2 + sin^2 varphi cdot dzeta^2)$

Математически это ровно то же самое, как если бы мы выполнили фокус $inline$ для пустого 3-пространства в сферических координатах $inline$ .
То есть для плоского вакуумного случая интервал $inline$ будет иметь решение аналогичное решению метрики Шварцшильда, при условии эквивалентности подцвеченных красным и оранжевым множителей. Получим систему:

$1-frac{rho_s}{rho} = 1 - frac{dr^2}{dt^2}; \ frac{1}{1 - frac{rho_s}{rho}} = 1 - frac{dr^2}{drho^2}.$

где $inline$ — по порядку: время, кривизна (энергия), радиус (расстояние) в сферически симметричном гравитационном поле по нулевой общей кривизне пространства.
Путём нехитрых математических преобразований получим весьма лаконичное решение:

$display$

которое подтверждает, что:

Четвёртая координата линейна радиальной координате.
Четвёртая координата является координатой по мнимой оси.

Первое, на мой взгляд, очень важно, потому что показывает, что энергия, представленная как дополнительная ось, почти изотропна наблюдаемым. Второе — позволяет понять, почему она проявляет себя иначе. И «ненаблюдаема».
Кроме того, хочется отметить, что сама постановка в интервале энергии с отрицательным знаком относительно пространства и положительным относительно времени позволяет сформулировать их взаимоотношения следующим образом: пространство — это энергия-время, оно преодолевается за энергию-время.

Резюме

Мне кажется, продолжение курса на геометризацию физики показывает себя весьма перспективным направлением. Мнимость энергетической оси в космологии могла бы послужить перекидным мостиком к уравнениям Максвелла.

Заметки на полях. Забегая вперёд, позволю себе предположить, что одного мнимого измерения для организации механизмов заряда и массы будет мало. Плюс электро-магнитный дуализм как аргумент в пользу не менее двух измерений. И некоторая симметрия в форме: временное измерение + два энергетических = три пространственных.
При переходе к микро масштабам я попробую двигаться в направлении «расщепления» $inline$ :

$display$