Нерегулярный монотиль

Фигура состоит из 14 граней, каждая из которых направлена в одном из 12 направлений, как по делениям циферблата часов.

Если взять уже известные фигуры «шляпа Эйнштейна» и «черепаха», и усреднить размеры граней, сохраняя направление, то как раз и получится заготовка для призрака.

«Заготовка» — потому что в правильной комбинации соединяются только чётные с нечётными гранями, и если грани ровные, то возможность соединять грани одинаковой чётности остаётся. Или даже можно будет комбинировать с перевёрнутой плиткой, это будет другая мозаика. Чтобы такое исключить у призрака грани немного искажены.

Форма понятна, можно сделать самому. Но наверняка в прогрессивных строительных магазинах таких плиток уже навалом. Если нет, то значит скоро будет.

Итак, вы закупились тоннами плиток и стали раскладывать. Вы сразу обнаружите, что не зная схемы расстановки складывать несколько затруднительно. Так что давайте разбираться в правилах расстановки.

Во-первых, следует знать, что такая схема всё-таки периодична, но только не по пространству, а по масштабу. То есть: как располагаются плитки на первом уровне масштаба, точно также располагаются группы плиток на втором уровне масштаба. Ну, разве что схема дополнительно зеркально отражается при каждой смене уровня.

Во-вторых, группы на всех масштабах всего двух типов, из восьми и из семи элементов. Причём, первая группа соответствует одной плитке начального масштаба, а вторая группа соответствует двум плиткам начального масштаба. Одна из этих двух плиток — это на самом деле дырка, на первом уровне удачно повторяющая форму самой плитки, а на других уровнях выворачивается наизнанку и откусывает кусочек от базовой группы из восьми элементов, оставляя только семь. Если не понятно, то иллюстрации ниже всё объяснят.

В-третьих, вот эта целая не покусанная базовая группа по схеме соединения это такое кольцо вокруг пустоты. Вот теперь точно придётся иллюстрировать.

Сначала базовая фигура. У неё есть пять точек, расположенные по равностороннему шестиугольнику. Нас из них интересует только три. Четвёртую для четырёхугольника возьмём напротив. Чуть позже расскажу зачем этот четырёхугольник.

А вот базовая группа. Состоит из восьми плиток и дырки под девятую. Пара плиток выделены цветом — зелёная это та которая будет заменена при смене масштаба на семь плиток вместо восьми, и красная, плитка которая в покусанной группе (группа второго типа) пропадает.

Если мы выделим у плиток четырёхугольники, то станет видно, что они соединены углами и образуют окружающий пустоту контур:

Кроме того, среди точек контура можно выделить четыре точки для четырёхугольника следующего масштаба.

И теперь можно построить схему следующего уровня. Я отразил её по горизонтали, чтобы можно было визуально сравнить:

Видно сходство? Пустота затянулась, и даже, как и предполагалось, слопала красную плитку.

Вот так выгладит группа второго уровня без дополнительных линий и отражения.

А вот так если оставить чистую схему: три уровня четырёхугольников.

Зелёным обозначен четырёхугольник самой начальной плитки. Красным обозначен четырёхугольник, в которым две группы должны были бы наложиться, поэтому одна из групп имеет только семь собственных элементов.

В статье «A chiral aperiodic monotile», посвящённой этой плитке, в самом конце приводятся результат исследования. В пределе возрастания масштаба коэффициент изменение площади при одном шаге равен . Это же значение даёт соотношение количества обоих типов групп. Видимо, это число отражает основную закономерность этой мозаики.

Дополнительные материалы

Источник