Не верю в чёрные полосы — поэтому подсчитал серии в ста бросках монеты

В последнее время у меня сорвались несколько проектных договорённостей. Где-то вмешались форс-мажоры, где-то — другие внешние обстоятельства. Причины у каждой истории были свои, но, когда они происходят одна за другой, сознание быстро сводит их к одной мысли: «Мне снова не повезло».

В чередование чёрных и белых полос я никогда особенно не верил. Со временем обычно получается рассмотреть каждое событие отдельно и найти ему рациональное объяснение. Но, оказавшись внутри такой череды, порой думаешь: может, сегодня вообще ничего не начинать? Не потому, что новая попытка объективно обречена, а просто потому, что предыдущие принесли неприятности.

Именно это противоречие меня и заинтересовало. Я не считаю, что одна неудача притягивает другую, но иногда всё равно жду её повторения. Разбираясь в вопросе, я добрался до философии удачи, исследования более полумиллиона ставок и небольшого расчёта на Python. Выяснилось, что при ста бросках честной монеты вероятность хотя бы раз получить шесть одинаковых результатов подряд составляет около 80,7%.

Начать пришлось с идеи, которая пришла мне в голову ещё в детстве. Чтобы измерить удачу, мне тогда понадобились бы казино, два человека и машина времени.

Казино и путешествие в прошлое

В детстве я воображал удачливость как невидимую человеческую характеристику: у кого-то её больше, у кого-то меньше. Если такой параметр существует, его можно обнаружить экспериментом. Один человек делает ставку в рулетке, мы фиксируем результат, возвращаемся в прошлое и предлагаем второму поставить точно так же. Казино и момент остаются прежними, меняется только игрок.

Затем мы повторяем процедуру тысячи раз и сравниваем итоги. Кто выигрывает чаще, тот и удачливее. В то время идея казалась мне почти безупречной. Не хватало лишь решить небольшую техническую задачу — научиться путешествовать во времени.

Теперь я понимаю, что даже машина времени не гарантировала бы чистоты эксперимента. Если она возвращает рулетку в абсолютно прежнее состояние, а её движение детерминировано, результат будет повторяться: тысяча воспроизведений одного эпизода не превращается в тысячу независимых игр. Если же замена участника меняет условия, сначала нужно установить, что именно вызвало различие в исходах.

Но прежде меня остановил более простой вопрос: почему я вообще решил искать удачу внутри человека? Победа в рулетке ничего не сообщает о его шансах найти работу, познакомиться с нужным человеком или удачно запустить проект. Возможно, я поспешил объединить слишком разные события одним понятием.

У философа Дункана Притчарда я обнаружил подход, отчасти напоминающий мою машину времени. В его модальной теории удачи важную роль играет то, насколько легко событие могло не произойти при близких альтернативных обстоятельствах. Возможные миры здесь — инструмент рассуждения, а не утверждение о существовании доступных нам параллельных вселенных [1].

Допустим, человек опоздал на поезд, который позже попал в аварию. Мы называем это удачей, потому что без труда представляем другой сценарий: он вышел немного раньше, успел на поезд и пострадал. Мы оцениваем конкретный исход и возможные альтернативы. Приписывать человеку постоянный коэффициент везения для этого необязательно.

Удача в конкретных обстоятельствах

Теперь выражение «оказаться в нужном месте в нужное время» кажется мне содержательнее, чем характеристика «удачливый человек».

Представим двух разработчиков с похожими навыками и сопоставимыми проектами. Один на мероприятии знакомится с человеком, который позже помогает ему найти первых заказчиков. Другой остаётся дома. Через несколько лет по их результатам уже непросто понять, насколько близкими были стартовые возможности.

При этом первый разработчик сам решил пойти на встречу. Возможно, до неё он побывал на десятке бесполезных мероприятий. Он повлиял на условия знакомства, но не мог заранее выбрать собеседника, разговор и его последствия. Усилия и случайность здесь вполне сосуществуют.

Вместо неизменного коэффициента удачи я бы теперь начал с такой записи:

P(благоприятный исход | человек, время, место, обстоятельства)

Условная вероятность требует точнее сформулировать задачу: выбрать конкретный исход, описать известные обстоятельства и определить основу для сравнения. Иначе эта запись будет лишь обозначать наше незнание.

В работе Getting Luck Properly Under Control Рэйчел Маккиннон предлагает оценивать удачу через разницу между фактическим исходом и ожидаемым значением результата [2]. Такой подход позволяет говорить не только о достигнутом успехе, но и о том, насколько он превзошёл ожидания в заданных условиях.

У меня, например, нет надёжной модели, которая предсказывала бы успех конкретной договорённости. Поэтому по её срыву нельзя вычислить, насколько мне «объективно не повезло». Зато легко прийти к другому выводу: опять не вышло — значит, началась чёрная полоса. А затем рассматривать все новые события сквозь эту призму.

Как получились 80,7%

Прежде чем списывать полосу на невезение, полезно проверить, насколько сама по себе необычна такая последовательность. Для этого возьмём ситуацию с известными вероятностями: сто независимых бросков честной монеты.

После пяти орлов вероятность выпадения ещё одного по-прежнему составляет 50%. Но это вероятность следующего отдельного броска. Меня же интересует вероятность хотя бы раз за сто бросков получить шесть или больше одинаковых результатов подряд. Подойдёт серия как орлов, так и решек.

Для шести заранее выбранных бросков вероятность одинакового результата равна 2 / 2**6, то есть 3,125%. В сотне бросков у такой серии гораздо больше шансов появиться. Однако соседние группы по шесть бросков пересекаются, поэтому считать их независимыми попытками нельзя.

Вместо случайной симуляции можно точно подсчитать последовательности, в которых искомая серия ещё не возникла:

from fractions import Fraction

n = 100
for k in range(4, 11):
    # Число последовательностей без серии длиной ≥ k,
    # заканчивающихся серией длиной 1, 2, ..., k−1.
    counts = [2] + [0] * (k - 2)
    for _ in range(1, n):
        counts = [sum(counts)] + counts[:-1]
    p = 1 - Fraction(sum(counts), 2**n)
    print(f"{k:2d}: {float(p):.3%}")

После первого броска возможны две последовательности: орёл и решка. Каждая заканчивается серией длиной один. При следующем броске смена стороны начинает новую серию длиной один, а повторение продлевает текущую. Последовательности, в которых длина достигла k, мы исключаем из дальнейшего подсчёта.

Таким образом, sum(counts) объединяет все варианты со сменой стороны, а counts[:-1] переносит остальные в следующую категорию длины. Последняя категория отбрасывается: ещё одно повторение уже создало бы запрещённую серию.

После сотого броска остаётся количество последовательностей без серии длиной k и более. Всего же существует 2**100 равновероятных последовательностей. Делим первое число на второе и вычитаем результат из единицы. До вывода на экран вычисления выполняются с целыми числами и точными дробями.

Здесь показана вероятность хотя бы одной серии указанной длины или длиннее, а не серии строго такой длины. Даже семь одинаковых результатов подряд в сотне бросков скорее встретятся, чем нет.

К жизненным событиям такой расчёт нельзя применить напрямую. У них разные вероятности и разная значимость, а границы «полосы» мы нередко проводим задним числом. Кроме того, склонность замечать подтверждения собственных ожиданий способна влиять на то, какие именно события попадут в нашу историю о невезении [3].

Возможен и другой вариант: события действительно связаны между собой. Если из-за сорвавшейся договорённости приходится менять планы по проекту, следующая проблема может оказаться следствием первой. В таком случае перед нами причинная цепочка, а не независимые броски монеты.

Игроки, меняющие свои шансы

В 2014 году Сюй и Харви изучили 565 915 спортивных ставок, сделанных 776 игроками в течение 2010 года. После побед участники чаще выигрывали снова, а после поражений чаще продолжали проигрывать. Одновременно менялся и выбор ставок: выигравшие предпочитали более вероятные исходы, проигравшие — менее вероятные [4].

Ставка на более вероятный исход чаще оказывается выигрышной, поэтому такой выбор помогает продлить серию побед. И наоборот: ставка на менее вероятный результат повышает шанс следующего поражения. Речь здесь идёт о частоте выигрышей, а не о прибыльности игры.

Авторы связывают это поведение с ошибкой игрока — ожиданием, будто случайность должна компенсировать предыдущие результаты. После победы человек опасается проигрыша и выбирает более вероятный исход; после поражения ждёт поворота удачи и ставит на менее вероятный. Попытка подготовиться к завершению серии может, напротив, способствовать её продолжению. При этом убеждения игроков напрямую не измерялись: авторы предложили такое объяснение наблюдаемого выбора ставок [4].

Здесь я вспомнил собственную мысль: «Сегодня лучше ничего не предпринимать». Моя реакция направлена иначе: проигрывавшие участники выбирали менее вероятные исходы, а мне хочется вовсе отказаться от новых попыток. Но общий механизм показался мне интересным: прошлый результат влияет на следующее решение, и условия новой попытки уже отличаются от прежних.

Если после сорвавшейся договорённости я перестану предлагать сотрудничество, возможностей услышать согласие станет меньше. Для этого достаточно моего решения больше не пробовать.

Изнутри такая история может казаться убедительной: мне не везёт, поэтому я действую реже; хороших результатов нет — значит, я верно заметил чёрную полосу. В этот момент я уже не только наблюдаю за происходящим, но и помогаю ему продолжаться.

Иногда пауза действительно необходима: я устал, предложение стоит доработать или попытка не оправдывает затрат. Тогда у остановки есть конкретное основание. Но мысль «несколько раз не получилось, значит, сейчас вообще бесполезно» такого основания не даёт.

Я не могу с уверенностью утверждать, что уже продлевал свои неудачи подобным образом. Но теперь понимаю, за чем хочу наблюдать: не становится ли одна упущенная возможность поводом отказаться от всех последующих.

Одна песня — разные пути к успеху

Другую сторону этой идеи раскрывает эксперимент Мэтью Салганика, Питера Доддса и Дункана Уоттса. В 2006 году они создали искусственный музыкальный рынок с участием 14 341 человека. Участники слушали и скачивали незнакомые песни. Одни делали выбор независимо, другие видели, что выбирали слушатели до них [5].

В разных группах популярность одних и тех же композиций складывалась по-разному. Социальное влияние усиливало неравенство результатов и снижало предсказуемость успеха. Качество при этом сохраняло значение: лучшие песни редко терпели провал, а худшие редко выходили в лидеры. Но полностью предопределить итог оно не могло [5].

Песня могла привлечь внимание первых слушателей, а вслед за ними — и следующих. В другой группе такого первоначального преимущества не возникало. Композиция оставалась прежней, но её история складывалась иначе.

Мне это кажется интереснее спора между утверждениями «всё решает талант» и «всё решает удача». Способности и качество никуда не исчезают. Просто одного результата недостаточно, чтобы восстановить весь путь к нему.

То же самое мне хотелось бы помнить и о проектах. По одному отказу нельзя уверенно оценить качество всей работы. Но и успех не даёт оснований автоматически приписывать себе все обстоятельства, которые к нему привели.

Оценка, которая меняется со временем

Даже когда исход уже известен, определить, насколько он удачен, бывает непросто. В исследовании Стивена Хейлса и Дженнифер Джонсон участникам представляли одни и те же ситуации в разных формулировках. В одном из примеров героиня лотереи либо угадала пять чисел из шести, либо не угадала одно число из шести. Позитивная формулировка приводила к более высоким оценкам её удачливости [6].

Авторы предлагают радикальную интерпретацию: возможно, удача вообще представляет собой способ рассказывать об успехах и провалах. Однако сами результаты показывают зависимость оценок от подачи и ещё не закрывают вопрос о природе удачи [6].

Меня больше интересует, что рассказ может измениться и без намеренного переформулирования. Достаточно узнать, что произошло дальше.

Человеку отказали в работе, которую он очень хотел получить. Позже он нашёл другое направление и спустя несколько лет решил, что тот отказ пошёл ему на пользу. При этом он не знает, какой была бы его жизнь на первой работе. В его распоряжении одна прожитая история и представления о других возможностях.

Непосредственный итог ясен: попытка устроиться на работу закончилась неудачей. Оценить влияние этого события на всю жизнь гораздо сложнее. Благоприятные последствия могут изменить отношение к отказу, но не доказывают, что альтернативный путь оказался бы хуже.

Я пока не могу сказать, что сорвавшиеся договорённости обернулись для меня благом. Они меня расстроили. Придумывать им полезные последствия ради красивого вывода было бы ещё одной попыткой найти удобное объяснение.

Но и считать их доказательством моей общей неудачливости тоже нет оснований. Для начала пришлось бы определить, что именно я измеряю, с чем сравниваю и в какой момент заканчиваю наблюдение.

Между неудачей и новым решением

В детстве мне хотелось найти человека, которому объективно везёт больше других. Теперь мне интереснее разбирать отдельные ситуации: какие возможности существовали, что зависело от решений участников и что изменилось после получения результата.

В таком подходе остаётся место и случайности, и усилиям, и неравным стартовым условиям. Но я больше не вижу необходимости объяснять всё это одним параметром, который человек постоянно носит с собой.

Главный вывод, который я для себя сделал, довольно практичен. Сорванная договорённость уже осталась в прошлом. Следующее решение ещё впереди. Связь между ними существует, но важно понять её природу: изменились ли ресурсы, условия проекта, моя оценка предложения или просто настроение.

Я по-прежнему могу чувствовать, что наступила чёрная полоса. Но теперь хочу замечать момент, когда это чувство начинает вместо меня решать, стоит ли делать новую попытку.

Впрочем, от машины времени я бы всё равно не отказался. Сравнить несколько вариантов собственной жизни было бы интереснее, чем тысячи раз запускать рулетку. Правда, выбрать из них самый удачный — уже отдельная задача.

А ещё мне хочется отдельно рассмотреть обратный вопрос: если случайность способна выглядеть как закономерность, почему мы доверяем воспроизводимости научных результатов? Это тема для другого текста с рабочим названием «А что, если нам просто невероятно везёт с законами физики?».

А случалось ли у вас событие, которое поначалу казалось неудачей, но теперь вы не стали бы его отменять, даже если бы получили машину времени?

---

Источники

[1] Duncan Pritchard. The Modal Account of Luck. Metaphilosophy, 2014, 45(4–5), 594–619.

[2] Rachel McKinnon. Getting Luck Properly Under Control. Metaphilosophy, 2013, 44(4), 496–511.

[3] Raymond S. Nickerson. Confirmation Bias: A Ubiquitous Phenomenon in Many Guises. Review of General Psychology, 1998, 2(2), 175–220.

[4] Juemin Xu, Nigel Harvey. Carry on winning: The gamblers’ fallacy creates hot hand effects in online gambling. Cognition, 2014, 131(2), 173–180.

[5] Matthew J. Salganik, Peter Sheridan Dodds, Duncan J. Watts. Experimental Study of Inequality and Unpredictability in an Artificial Cultural Market. Science, 2006, 311(5762), 854–856.

[6] Steven D. Hales, Jennifer Adrienne Johnson. Luck Attributions and Cognitive Bias. Metaphilosophy, 2014, 45(4–5), 509–528.

 

Источник