На поиски причины отсутствия √7 ушло две тысячи лет

Перефразировав это условие через сумму трех квадратов, мы получим эквивалентную постановку: нам нужны три рациональных квадрата, превышающие , в сумме дающие .

Это удивительным образом резонирует с нашей собственной задачей. Решая ее, Диофант попутно установил, что параметр не может иметь вид . Поскольку целые квадраты являются частным случаем рациональных, этот результат автоматически указывает на числа, не представимые в виде суммы трех квадратов целых чисел. Подставив выражение в формулу , мы получаем, что числа вида не раскладываются на три квадрата. Докажем это строго, привлекая такой изящный инструмент, как модульная арифметика. Пусть вас не пугает этот термин: по сути, это просто работа с остатками от деления. Запишем деление числа на 8 с остатком:

В терминах модульной арифметики мы констатируем, что сравнимо с по модулю 8.

Наши числа записываются как , давая при делении на 8 неизменный остаток 7. Иными словами, конгруэнтно 7 по модулю 8. Если бы такое число являлось суммой трех квадратов, то и их сумма обязана давать в остатке 7. Но здесь кроется ключевой момент: любой квадрат целого числа при делении на 8 дает в остатке исключительно 0, 1 или 4.

Возьмем произвольный квадрат . Представим в виде , тогда превратится в . Раскрыв скобки, сгруппируем слагаемые, кратные восьми:

Сгруппированная часть обнуляется по модулю 8, оставляя лишь , сравнимое с .

Теперь проверим все возможные остатки от деления на 8 (их всего восемь — от 0 до 7). Возведя каждый из них в квадрат по модулю 8, мы убедимся, что любой квадрат целого числа дает в остатке строго 0, 1 или 4.

Сложим три произвольных квадрата. Остаток их суммы определяется исключительно остатками слагаемых, каждый из которых равен 0, 1 или 4:

Максимально возможная сумма здесь составляет 4 + 4 + 4 = 12. Следующее число с остатком 7 — это 15, что превышает наш лимит. Единственный путь получить остаток 7 — это выйти на само число 7, но эту возможность мы исключили в самом начале. Следовательно, сумма трех квадратов физически не способна дать остаток 7 при делении на 8. В то же время числа вида дают именно такой остаток, что приводит нас к противоречию. Диофант был абсолютно прав.

Более того, в ходе рассуждений мы ни разу не задействовали множитель 3, скрытый в числе 24. Это значит, что коэффициент 24 можно смело заменить на 8, и логика не нарушится. Иными словами, ни одно число вида не представимо в виде суммы трех квадратов.

Спустя годы Рене Декарт обнаружил этот нюанс. А Баше де Мезириак заметил, что даже этого критерия недостаточно, поскольку числа формата также не раскладываются на три квадрата.

Тем не менее, оба эти семейства не исчерпывают всей картины. Натуральных чисел, запрещенных для суммы трех квадратов, гораздо больше. Первым на это указал Пьер Ферма.

Ферма и его чертовы поля

Пьер Ферма прославился универсальностью своих математических интересов и обилием гипотез (вспомним хотя бы его Великую теорему). Задача о трех квадратах не стала исключением, и здесь французский математик оставил заметный след.

Ферма подметил поразительную вещь: формула Декарта и формула Баше незримо связаны. Второе выражение — это просто первое, умноженное на 4. Ферма утверждал, что домножать можно на любую степень четверки, и запрет продолжит действовать. В основе этого лежит простое правило: если число раскладывается на три квадрата, то и само обладает этим свойством. Проверим это с помощью модульной арифметики, заменив 8 на 4. Четное число в квадрате дает (остаток 0 при делении на 4). Нечетное в квадрате дает .

Остаток равен 1, и других вариантов нет — все зависит исключительно от четности исходного числа.

Допустим, раскладывается на три квадрата:

Левая часть делится на 4, следовательно, сумма трех остатков справа должна быть кратна четырем. Единственный способ добиться этого при остатках 0 и 1 — взять все три слагаемых равными нулю. Это значит, что все три квадрата обязаны быть четными, то есть их можно записать в виде:

Разделив все выражение на 4, мы получаем искомое представление для .

Эту логическую цепочку можно прочесть в обратном порядке, выполнив обратные преобразования.

Если число не представимо в виде суммы трех квадратов, то и лишено этой возможности. Отсюда следует запрет для , и так далее.

Учитывая, что числа вида не выражаются через три квадрата, то же самое справедливо и для всего класса чисел .

Благодаря этому прозрению Ферма объединил частные случаи в единое семейство чисел, не поддающихся разложению на три квадрата, и предположил, что других исключений нет. Однако Ферма остался верен себе: он славился склонностью оставлять грандиозные заявления без доказательств. Доказав лишь описанную выше часть, он так и не смог объяснить, почему все остальные числа успешно представляются в виде суммы трех квадратов. И это неудивительно: даже базовое доказательство этого факта невероятно сложно. Классическое доказательство из XVIII века потребовало колоссальных усилий лучших умов той эпохи.

Лучшие из лучших

Гипотеза Ферма, выдвинутая в 1636 году, занимала математиков XVII и XVIII веков. Декарт и Лагранж справились с частными случаями, а Эйлер внес титанический вклад, установив связь между числами вида 8m + 3 и треугольными числами (хотя завершить начатое ему не удалось). Спустя 66 лет после Эйлера была доказана гипотеза Ферма для треугольных чисел. Совместная переписка Эйлера, Лагранжа и Гольдбаха приблизила развязку, но окончательную точку поставил Лежандр, применивший метод исчерпывающих доказательств для теоремы о трех квадратах, которая теперь носит его имя.

Этот результат стал венцом двухтысячелетних усилий сотен исследователей. История прекрасна, но не лишена грусти: модульная арифметика позволяет лишь отсеивать запрещенные числа, но не дает рецепта для их построения.

Изящное современное доказательство, опубликованное Дирихле в 1850 году, опирается на поистине мощный математический аппарат.

Фундамент этого метода составляют три кита. Первый — квадратичный закон взаимности, знаменитый тем, что насчитывает более 240 различных доказательств.

Второй компонент — знаменитая теорема Дирихле об арифметических прогрессиях: если взаимно просты числа и , то последовательность бесконечно порождает простые числа при вариациях . Третьим элементом выступает развитая теория троичных квадратичных форм.

Каждый из этих разделов требует глубокого погружения, поэтому детальный разбор теоремы Лежандра занял бы слишком много времени. Тем не менее, наше исследование еще не окончено.

Эврика

Как ни удивительно, теорема о трех квадратах — вовсе не финал истории. Финальную точку ставит теорема Ферма о многоугольных числах. Обратимся к Баше де Мезириаку, который предполагал представимость любого числа суммой четырех квадратов. Ферма пошел много дальше, заявив: «Любое число есть сумма не более чем трех треугольных чисел, четырех квадратов, пяти пятиугольных чисел и так далее до бесконечности». И добавил фирменную фразу: «Доказательство сего зависит от множества тайных свойств чисел, коим я намерен посвятить отдельный труд». Спойлер: книга так и не была написана, и доказывать всё пришлось последователям.

Случай с пятиугольными и многоугольными числами разрешил Огюстен Коши в 1813 году. Четыре квадрата покорились Лагранжу в 1770-м. Нам же интересен случай трех треугольных чисел. Напомним формулировку: любое натуральное число представимо в виде суммы трех треугольных чисел. N-ное треугольное число — это сумма точек от 1 до в последнем ряду.

Легенда гласит, что юный Гаусс нашел формулу этой суммы за секунды, просто удвоив ряд и сложив его в обратном порядке.

Сумма элементов в каждом столбце равна , а таких столбцов ровно . Общая сумма составляет , а деление на два дает искомое значение удвоенной суммы.

Так выглядит алгебраическое определение треугольного числа.

Доказательство того факта, что любое число раскладывается в сумму трех треугольных чисел, впервые представил Карл Фридрих Гаусс. Проследим за его ходом мыслей. Задача о трех треугольных числах напрямую сводится к уже известным нам результатам. Представим через три треугольных числа:

Совершаем нестандартный шаг: умножаем обе части на 8 и прибавляем тройку. Слева образуется константа, а справа тройка распределяется по слагаемым. Здесь и кроется озарение Гаусса: полученные выражения представляют собой квадраты целых чисел, что напрямую увязывает задачу с теоремой Лежандра.

Этот механизм работает в обе стороны. Квадраты по модулю 4 дают остатки 0 и 1, а выражение дает остаток 3. Единственный способ сложить тройку из нулей и единиц — это . Следовательно, в любом представлении через три квадрата все слагаемые нечетные. Их можно записать в виде , и , после чего пройти всю цепочку вычислений в обратном направлении.

В результате натуральное число выражается через три треугольных числа тогда и только тогда, когда раскладывается в сумму трех квадратов.

На этом можно ставить точку: теорема Лежандра утверждает, что исключения составляют лишь числа формата , а к ним никогда не принадлежит. Следовательно, безотказно делится на три квадрата, а любое представимо в виде суммы трех треугольных чисел.

В этом и заключается суть теоремы Гаусса, завершающей подготовительный этап к гипотезе Ферма о многоугольных числах.

Конец (?)

Наше математическое странствие подошло к концу… Или только начинается? Мы подробно разобрали случай трех квадратов, но как обстоят дела с двумя или четырьмя? Представление целых чисел через суммы фигурных чисел составляет классический пласт аддитивной теории чисел — обширной и захватывающей ветви математики. Мой собственный академический путь тесно связан с ней: в октябре я приступаю к докторской диссертации, где теорема Лежандра о трех квадратах используется постоянно. Это лишний раз доказывает, что наука не имеет границ. Кто бы мог подумать, что глупая картинка из соцсетей способна послужить проводником в столь глубокие математические материи?

 

Источник