Могут ли черные дыры взрываться?

52 минуты назад Прокомментировать Просмотры: 3

Стивен Хокинг, начальный фрагмент его публикации 1974 года и первая концептуальная визуализация черной дыры. На иллюстрации запечатлено увеличенное световое кольцо, охватывающее деформированный гравитацией аккреционный диск. За счет релятивистского эффекта Доплера сектор, где материя устремлена прямо к наблюдателю, выглядит значительно ярче. Авторство: Жан‑Пьер Люмине (Luminet), 1979 г

Свыше полувека назад свет увидела лаконичная работа Стивена Хокинга, обосновывавшая парадоксальную идею: черные дыры способны излучать энергию. Это означает их постепенное испарение и потерю массы, а для объектов малой массы — стремительный финал в виде лавинообразного излучения и полного исчезновения (отсюда интригующий термин «взрывы» черных дыр). Данный труд стал одной из пионерских (и, пожалуй, редких по-настоящему успешных за все эти 52 года!) попыток подружить квантовый инструментарий с уравнениями общей теории относительности Эйнштейна.

До недавнего времени качественного перевода этой основополагающей статьи на русский язык не существовало, и профильным физикам-теоретикам приходилось довольствоваться оригиналом. Пользователь @avshkol взял на себя труд не только исправить этот пробел, но и снабдить материал подробными авторскими комментариями, сделавшими сложный текст понятным для широкого круга энтузиастов науки.

Black hole explosions?

S. W. HAWKING,

Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics and Institute of Astronomy

University of Cambridge

Received January 17, 1974.

Nature Vol. 248 March 1, 1974

Скан первой страницы статьи Хокинга в журнале Nature от марта 1974 года — Факсимиле первой полосы статьи Хокинга в журнале *Nature за март 1974 года*

Взрывы черных дыр?

При моделировании возникновения и эволюции черных дыр квантово-гравитационными эффектами традиционно пренебрегают. Это оправдывают тем, что за пределами горизонта событий радиус пространственно-временной кривизны колоссален по сравнению с планковской длиной ( $G\hbar/c^3)^{1/2} \approx 10^{-33}$ см — пространственным масштабом, где, как предполагается, начинают давать о себе знать квантовые флуктуации метрики порядка единицы). Из этого следует, что плотность энергии частиц, порождаемых гравитационным полем, ничтожно мала на фоне кривизны пространственно-временного континуума. Однако, несмотря на кажущуюся локальную незначительность, квантовые эффекты способны накапливаться, приводя к масштабным последствиям за всё время существования Вселенной $\approx 10^{17}$ с, которое несоизмеримо велико по сравнению с планковским временем $\approx 10^{-43}$ с.

Комментарий @avshkol о первом абзаце статьи

Хокинг объясняет, почему физики рассчитывали чёрные дыры без привлечения квантовой механики, и сразу делает оговорку, которая потом приведёт его к главному результату работы:

«маленький эффект ≠ нулевой эффект, если у него в запасе есть целая жизнь Вселенной на то, чтобы накопиться».

Откуда берется формула планковской длины?

$l_{Pl}=(Gℏ/c^3)^{1/2}≈10^{−33}$ см

Под корнем стоят три фундаментальные константы:

G — гравитационная постоянная Ньютона;
ℏ — приведённая постоянная Планка (масштаб всех квантовых явлений);
c — скорость света (специальная и общая теория относительности).

Планковская длина — единственный масштаб длины, в котором одновременно сидят гравитация, квантовость (постоянная Планка) и относительность (скорость света). Это своеобразная точка пересечения, где встречаются квантовая физика и ОТО. Только таким образом (как в этой формуле) можно скомбинировать эти три величины, чтобы в размерности выйти на метры длины. Таким образом, планковская длина не выводится строго из теории и не следует (пока) из какого-либо эксперимента.

Численно это невообразимо малая величина: протон примерно в 10²⁰ раз больше. Планковская длина относится к протону примерно так же, как протон — к расстоянию в сотню километров.

Что значит «флуктуации метрики порядка единицы»?

Метрика — это математическое описание геометрии пространства-времени: что к чему ближе или дальше, сколько длятся промежутки времени, как всё искривлено. Квантовая механика утверждает, что всё fluctuates (дрожит, флуктуирует). На масштабах порядка планковской длины дрожание самой геометрии становится сравнимым с это самой геометрией (фраза «порядка единицы»). Гладкое пространство-время Эйнштейна здесь превращается в «квантовую пену» и перестаёт работать. На больших масштабах флуктуации усредняются и гаснут — пространство выглядит гладким и классическим.

Итак, вне горизонта событий реальной чёрной дыры пространство-время искривлено, но «мягко»: радиус кривизны составляет километры (для дыры солнечной массы), то есть около 10³⁸ планковских длин. Поэтому считалось, что квантовые поправки ничтожны: частицы, рождаемые гравитационным полем, несут столь малую плотность энергии, что сами почти не влияют на кривизну. Их вкладом в расчётах пренебрегали. Таким образом, при расчёте образования и эволюции чёрных дыр квантовые эффекты, как считалось, можно игнорировать.

Хокинг вносит важную оговорку: возраст Вселенной ≈10¹⁷ с, а планковское время (время, за которое свет проходит планковскую длину) ≈10⁻⁴³ с. Жизнь Вселенной содержит порядка 10⁶⁰ планковских интервалов. Ничтожный эффект, повторяющийся столь долго, может суммироваться во вполне заметный.

Главная задача настоящей статьи — продемонстрировать реальность подобного феномена: по всей видимости, каждая черная дыра должна генерировать и испускать такие элементарные частицы, как фотоны или нейтрино. Интенсивность этого процесса должна быть эквивалентна излучению раскаленного тела с температурой $(\kappa/2\pi)(\hbar/2k) \approx 10^{-6} (M_\odot/M)$ К, где $\kappa$ обозначает поверхностную гравитацию объекта¹. Непрерывное испускание тепловых квантов ведет к закономерной потере массы черной дыры. Это, в свою очередь, приводит к возрастанию поверхностной гравитации и, как следствие, к ускорению темпов эмиссии. В результате время жизни черной дыры оказывается конечным и оценивается величиной порядка $10^{71} (M_\odot/M)^{-3}$ с. Для астрофизических объектов звездной массы этот срок многократно превышает текущий возраст Вселенной. Тем не менее, на заре мироздания в результате первичных флуктуаций могли сформироваться гораздо более миниатюрные черные дыры². Любой такой зародыш с начальной массой менее $10^{15}$ г к настоящей эпохе должен был полностью испариться. На финальном этапе эволюции интенсивность излучения достигает колоссальных значений, и за последние 0,1 с высвобождается около $10^{30}$ эрг энергии. По космическим меркам это относительно слабый всплеск, однако по земной шкале он эквивалентен одновременному подрыву миллиона мегатонных термоядерных зарядов.

Изучаем второй абзац с @avshkol (простое объяснение)

До этой статьи (до 1974 года) в физике действовало же́лезное правило: из чёрной дыры ничто не может вырваться. Гравитация настолько сильна, что даже свет (фотоны) не может покинуть её. Чёрные дыры считались абсолютно чёрными «космическими мусорками», которые только поглощают материю, но ничего не отдают. Хокинг заявляет: Правило нарушено. Квантовые эффекты на горизонте событий работают как конвейер, который постоянно создаёт частицы (нейтрино, фотоны) и выбрасывает их наружу, в космос.

«С интенсивностью, как если бы это было тело с температурой…» В физике любое тело, у которого есть температура (выше абсолютного нуля), испускает тепловое излучение. Хокинг говорит, что излучение чёрной дыры — это не какой-то хаотичный набор случайных частиц. Оно выглядит в точности как классическое тепловое излучение. То есть у чёрной дыры появляется температура!

Парадокс этой температуры: чем меньше ЧД, тем она горячее. В оригинале Хокинг приводит формулу: $𝑇 ≈ 10^{ -6} ( 𝑀 ⊙ / 𝑀 )$ К. Здесь кроется один из самых контринтуитивных фактов во всей физике. Для привычных нам объектов (костер, звезда, чайник) логика такая: чем больше объект, тем больше энергии он может отдать (энергия же заключена в объеме объекта, а объем растет как куб от размера стороны или радиуса). С черными дырами всё наоборот. Температура черной дыры обратно пропорциональна её массе ( ). Если черная дыра довольно тяжёлая (например, массой с Солнце, ), её температура составляет всего одну миллионную долю градуса выше абсолютного нуля. Она испускает частицы так редко, что этим можно пренебречь. Но если черная дыра маленькая, она становится буквально раскаленной.

Далее Хокинг пишет: «По мере испускания частиц черная дыра будет терять массу, а следовательно, её температура и скорость испускания будут возрастать…» Здесь работает знаменитая формула Эйнштейна E=mc². Энергия (испущенные частицы) — это эквивалент массы. И здесь начинается ускорение процесса:

Черная дыра (ЧД) испустила частицы → потеряла немного энергии → потеряла немного массы.
Масса стала меньше → температура выросла.
Температура выросла → ЧД начала испускать частицы еще быстрее.
Теряет массу еще быстрее → нагревается еще сильнее.

Это процесс с положительной обратной связью, причем со временем этот процесс ускоряется до взрывного испарения.

Чтобы показать, как это работает в реальности, Хокинг берет черную дыру массой 10¹⁵ граммов. Это примерно 1 миллиард тонн, масса небольшого астероида или крупной горы. Какая у неё температура? Около 10¹² (триллион) градусов Кельвина! Когда ЧД «выкипает» до критически малой массы, процесс испарения превращается в лавину. В последние доли секунды своей жизни она выкидывает в космос остатки своей массы в виде жёсточайшего гамма-излучения, происходит мощнейший взрыв. Именно поэтому статья так и называется: «Взрывы черных дыр?» (Black hole explosions?).

Изучаем второй абзац с @avshkol (вывод приведенных формул)

1. Формула температуры

$T = (\kappa/2\pi)(\hbar/2k) \approx 10^{-6} (M_\odot/M)$

Эта формула связывает температуру черной дыры с её поверхностной гравитацией .

Поверхностная гравитация шварцшильдовской дыры .

Упрощенный вывод этой формулы можно описать так:

Проведем аналогию с термодинамикой: Хокинг ранее показал, что законы механики черных дыр математически совпадают с законами термодинамики. В частности, поверхностная гравитация играет роль температуры, а площадь горизонта событий — роль энтропии.
Хокинг рассматривает рождение частиц в искривленном пространстве-времени. Он ниже раскладывает квантовое поле на входящие и исходящие моды. Из-за кривизны пространства-времени на горизонте происходит «перемешивание» положительных и отрицательных частот (эффект, описываемый коэффициентами и ).
Отношение вероятностей испускания и поглощения частиц оказывается равным $e^{−2πω/κ}$ . Это в точности соответствует больцмановскому распределению для теплового излучения с температурой $T=\frac{ℏκ}{2πk_B}$ (в системе единиц, где ).
Для шварцшильдовской черной дыры поверхностная гравитация обратно пропорциональна массе: . Подставляя это в формулу температуры, получаем:

$T = \frac{\hbar c^3}{8 \pi G k_B M}$

Если подставить в эту формулу фундаментальные константы () и выразить массу через массу Солнца , то получится коэффициент порядка 10⁻⁶. Главный вывод: температура обратно пропорциональна массе. Чем легче черная дыра, тем она горячее.

$𝑇 ≈ 10^{ -6} ( 𝑀 ⊙ / 𝑀 )$

2. Формула времени жизни

$t = 10^{71} (M_\odot/M)^{-3}$

Эта формула получается путем интегрирования скорости потери массы.

Мощность излучения черной дыры пропорциональна площади её горизонта и четвертой степени температуры (закон Стефана-Больцмана). Площадь горизонта пропорциональна , а температура пропорциональна . Следовательно, L пропорциональна .

Точная формула: $L=\frac{ℏc^6}{15360πG^2M^2}$ .
Так как излучение уносит энергию, масса убывает с некоторой скоростью. Потеря массы черной дыры описывается уравнением баланса энергии:

$\frac{dM}{dt} = -\frac{L}{c^2} = -\frac{\hbar c^4}{15360 \pi G^2 M^2}$

где — мощность (светимость) излучения Хокинга.
Чтобы найти время жизни , нужно проинтегрировать это уравнение от начальной массы до нуля (а правая часть — с момента времени 0 до ), при этом перенесем в правую часть, а в левую:

$\int_{M_0}^{0} M^2 dM = -\frac{\hbar c^4}{15360 \pi G^2} \int_{0}^{\tau} dt$

подставим предельные значения:

$\left[ \frac{M^3}{3} \right]_{M_0}^{0} = -\frac{\hbar c^4}{15360 \pi G^2} \cdot \tau$

$0 - \frac{M_0^3}{3} = -\frac{\hbar c^4}{15360 \pi G^2} \cdot \tau$

Итоговая формула для времени жизни:

$\tau = \frac{15360 \pi G^2 M_0^3}{3 \hbar c^4}$

или

$\tau = \frac{5120 \pi G^2 M_0^3}{\hbar c^4}$

Подстановка для $M = M_\odot$ даёт порядок 10⁷¹ с, что и записано как $10^{71} (M_\odot/M)^{-3}$ с, то есть τ ∝ M³ (заметим, что $(M_\odot/M)^{-3}$ = $(M/M_\odot)^{3}$ ).

В итоге, $t = 10^{71} (M_\odot/M)^{-3}$

Для уяснения механизма возникновения данного теплового спектра рассмотрим простейшую модель — безмассовое эрмитово скалярное поле $\phi$ , подчиняющееся ковариантному волновому уравнению $\phi_{t;ab}g^{ab} = 0$ в асимптотически плоском пространстве-времени, где происходит гравитационный коллапс звезды с образованием черной дыры. Оператор Гейзенберга $\phi$ может быть представлен в виде разложения:

$\phi = \sum_i {f_i a_i + \bar{f}_i a_i^+}$

где — полный ортонормированный базис комплекснозначных решений уравнения $f_{i;ab}g^{ab} = 0$ , представляющих собой асимптотически входящие волны с чисто положительными частотами на прошлой световой бесконечности (подробнее см. работы 3, 4, 5). Независящие от координат операторы и интерпретируются как операторы уничтожения и рождения падающих скалярных квантов. Соответственно, исходное вакуумное состояние, свободное от входящих частиц, задается условием $a_i |0_-\rangle = 0$ для всех индексов . Тот же полевой оператор $\phi$ допускает выражение через альтернативный набор решений, разделенный на исходящие волны и модули, пересекающие горизонт:

$\phi = \sum_i {p_i b_i + \bar{p}_i b_i^+ + q_i c_i + \bar{q}_i c_i^+}$

где — волновые функции, зануляющиеся на горизонте и представляющие собой асимптотически исходящие положительно-частотные волны на будущей световой бесконечности , а — моды, не имеющие исходящей составляющей на . Требовать положительной частотности функций на самом горизонте в данной задаче не требуется. Поскольку безмассовые поля однозначно определяются своими граничными значениями на , функции и могут быть выражены через линейные комбинации базисных элементов и $\bar{f}_i$ :

$p_i = \sum_j \{{\alpha_{ij} f_j + \beta_{ij} \bar{f}_j} \}\quad$ и аналогичным образом для остальных.

Коэффициенты $\beta_{ij}$ отличны от нуля, поскольку временная эволюция метрики в ходе коллапса неизбежно перемешивает положительные и отрицательные частоты. Сопоставляя два варианта записи поля $\phi$ , легко убедиться, что операторы аннигиляции исходящих квантов выражаются через комбинацию входящих операторов рождения и уничтожения и :

$b_i = \sum_j \{{\bar{\alpha}_{ij} a_j - \bar{\beta}_{ij} a_j^+} \}$

В результате, если в начальном состоянии отсутствовали падающие частицы, среднее значение оператора числа частиц для -й исходящей моды оказывается равным

$\langle 0_- | b_i^+ b_i | 0_- \rangle = \sum_j |\beta_{ij}|^2$

Комментарий @avshkol: как понимать эти формулы?

Здесь Хокинг закладывает математическую основу для вывода излучения чёрной дыры. Он хочет показать, откуда берётся тепловое излучение, и для этого рассматривает простую модель: квантовое поле без массы и без спина (скалярное поле).

Логика по шагам:

Хокинг берёт квантовое поле в искривлённом, неплоском пространстве-времени. Это поле подчиняется волновому уравнению, которое учитывает гравитацию. Пространство-время не плоское, а содержит звезду, которая коллапсирует и превращается в чёрную дыру.
Поле раскладывается на волны (моды). Как и в обычной квантовой теории, поле можно представить как сумму волн. Каждая волна описывается оператором уничтожения (частица исчезает) и оператором рождения (частица появляется). Это стандартный приём, поле — это набор осцилляторов.
Далее изменяем гравитацию в течение некоторого времени. Пока звезда не коллапсировала, пространство-время почти плоское, и можно чётко определить, что такое «частица». После коллапса появляется горизонт событий, и пространство-время становится другим. Поэтому «частицы» до коллапса и «частицы» после коллапса звезды — это, вообще говоря, разные вещи. Их волны перемешиваются.
Хокинг вводит два набора волн:
- Входящие волны (те, что приходят из прошлого, до коллапса).
- Исходящие волны (те, что уходят в будущее, после коллапса).
  
  Он выражает поле через операторы рождения и уничтожения для этих двух наборов. Но поскольку метрика (гравитационное поле) меняется во времени, исходящие волны оказываются линейной комбинацией входящих волн с коэффициентами, которые содержат как уничтожение, так и рождение.
Смешивание положительных и отрицательных частот. В обычной ситуации (без изменения гравитации) операторы уничтожения для исходящих частиц выражались бы только через операторы уничтожения для входящих. Тогда если в прошлом не было частиц (вакуум), то и в будущем их не было бы. Но из-за коллапса появляются дополнительные члены: оператор уничтожения для исходящих частиц выражается и через оператор рождения для входящих. Это значит, что даже если в прошлом частиц не было, в будущем они появляются. Вакуум «до» не равен вакууму «после».
В результате рождаются частицы. Если вычислить среднее число исходящих частиц в исходном вакууме, оно оказывается не нулевым. Более того, их распределение по энергиям точно соответствует тепловому (планковскому) спектру с температурой, пропорциональной поверхностной гравитации чёрной дыры. Это и есть излучение Хокинга.

Итак, Хокинг показывает, что квантовое поле, живущее в пространстве-времени с коллапсирующей звездой, вынуждено переопределить понятие частицы. То, что до коллапса было пустотой, после коллапса выглядит как горячее тепловое излучение. Математически это выражается в том, что операторы рождения и уничтожения для исходящих волн оказываются «перепутаны» с входящими, и в вакууме появляются частицы. Так рождается излучение чёрной дыры.

Можно сказать и так: «пустота» начального состояния и «частицы» конечного состояния измеряются разными линейками, а между началом и концом пространство-время изменилось, поэтому линейки не совпадают — то, что по одной линейке было тишиной, по другой оказывается звуком, то есть потоком частиц.

Следовательно, количество рожденных и унесенных на бесконечность квантов в процессе гравитационного сжатия определяется через расчет коэффициентов $\beta_{ij}$ . Ограничимся простейшим случаем сферически-симметричного коллапса. В такой ситуации угловая зависимость полевых решений выражается через сферические гармоники $Y_{lm}$ , а временная эволюция (в терминах запаздывающего или опережающего времени ) может быть представлена в виде $\omega^{-1/2} \exp (i\omega u)$ с использованием непрерывной нормировки. Исходящие моды $p_{\omega lm}$ через интегральное преобразование выражаются через входящие решения с теми же квантовыми числами и :

$p_\omega = \int \{{\alpha_{\omega\omega'} f_{\omega'} + \beta_{\omega\omega'} \bar{f}_{\omega'}} \}d\omega'$

(индексы опущены). Для нахождения коэффициентов $\alpha_{\omega\omega'}$ и $\beta_{\omega\omega'}$ проследим эволюцию волны с положительной частотой $\omega$ на , мысленно распространяя ее назад сквозь пространственно-временную геометрию в предположении, что никакие возмущения не пересекают горизонт событий. Часть волнового пакета рассеивается на кривизне статического поля Шварцшильда вне черной дыры и выходит на с неизменной частотой $\omega$ , что дает вклад типа $\delta(\omega - \omega')$ в величину $\alpha_{\omega\omega'}$ . Остальная часть волны проникает в глубь коллапсирующей звезды, проходит через центр симметрии и вновь выходит на . Эти лучи испытывают колоссальное синее смещение и достигают в асимптотическом виде:

$C \omega^{-1/2} \exp {\{-i\omega \kappa^{-1} \log (v_0 - v) + i\omega v}\}$ при

и обращаясь в нуль при $v \ge v_0$ , где представляет собой последнее опережающее время, при котором световой сигнал еще способен покинуть , пройти сквозь коллапсирующую массу и вырваться на . Посредством преобразования Фурье находим, что в пределе высоких частот $\omega', \alpha_{\omega\omega'}$ и $\beta_{\omega\omega'}$ принимают вид:

$\alpha_{\omega\omega'} \approx C \exp [i(\omega - \omega')v_0](w'/w)^{1/2} \cdot \Gamma(1 - i\omega/\kappa)[-i(\omega - \omega')]^{-1+i\omega/\kappa}$

$\beta_{\omega\omega'} \approx C \exp [i(\omega + \omega')v_0](w/w')^{1/2} \cdot \Gamma(1 - i\omega/\kappa)[-i(\omega + \omega')]^{-1+i\omega/\kappa}$

Разбираем с @avshkol смысл предыдущих формул

Здесь Хокинг вычисляет те самые коэффициенты смешивания (альфа и бета), о существовании которых он говорит в предыдущем абзаце.

Упрощения задачи

Рассматривается самый простой случай — сферически-симметричное сжатие звезды. В этом случае колебания поля можно разделить: угловая часть описывается сферическими гармониками — стандартными «угловыми узорами» колебаний, помечаемыми двумя целыми числами. Волны с разными угловыми номерами не перемешиваются, и задача сводится к волнам, зависящим только от времени и расстояния. Это упрощение и порождает формулу разложения исходящей волны по входящим: исходящий тон выражается как интеграл-аккорд по входящим тонам всех частот с теми же угловыми номерами, с весами альфа (доля чисто положительных частот) и бета (доля зеркальных, отрицательных частот). Именно бета и есть мера рождения частиц.

Главная идея: распространение волн назад во времени

Хокинг берёт готовую исходящую волну положительной частоты в будущем (то, что видит удаленный наблюдатель уже после образования ЧД) и мысленно гонит её назад сквозь пространство-время. По построению исходящие моды равны нулю на горизонте, поэтому назад волна идёт, ничего не захватывая с горизонта.

Две судьбы обратной волны: две формулы для альфы и беты

Первая часть волны рассеивается на статической кривизне вне чёрной дыры (там геометрия Шварцшильда не зависит от времени) и возвращается на прошлую бесконечность с ровно той же частотой. Та же частота означает, что этот вклад попадает только в альфу и имеет вид дельта-функции разности частот: чистый тон перешёл в чистый тон, частицы не родились. Это обычное гравитационное рассеяние, оно к излучению Хокинга отношения не имеет.

Вторая часть волны идёт назад внутрь звезды, проходит через центр и выходит на бесконечность в прошлом. И вот здесь происходит главное. Существует граничный момент (он обозначен ) — последнее опережающее время, когда луч ещё может, пройдя через звезду, успеть уйти на бесконечность. Всё, что позже, уже поймано коллапсом и обречено упасть в ЧД. Поэтому наша волна на прошлой бесконечности ненулевая только до этого момента и строго равна нулю после него.

Более того, вблизи граничного момента она сжата все сильнее: её фаза зависит от логарифма расстояния до граничного момента, то есть чем ближе к нему, тем быстрее и безгранично быстрее колебания, и волна приобретает огромное синее смещение, то есть огромный прирост энергии. Это обратная сторона того факта, что свет, убегающий от горизонта, экспоненциально краснеет; в обратном направлении времени то же явление выглядит как экспоненциальное посинение и «упаковка» волны в бесконечно малый промежуток перед граничным моментом. Формула асимптотики с логарифмом — это и есть описание такого сигнала: осциллятор с логарифмически растущим темпом, обрезанный в момент .

Преобразование Фурье и гамма‑функции

Чтобы найти коэффициенты альфа и бета, нужно разложить полученный на прошлой бесконечности сигнал по чистым тонам. Суть этого: сигнал, резко обрезанный и бесконечно быстро колеблющийся у граничного момента, — не чистый тон; в его спектре есть и положительные, и отрицательные частоты. Положительная часть спектра — это альфа, отрицательная — бета; ненулевая бета и есть рождение частиц.

Из-за резкого обреза вклад дают прежде всего высокие частоты. Оба коэффициента выражены через гамма-функцию и степень разности частот (для альфы) или суммы частот (для беты) с комплексным показателем, в который входит отношение частоты к поверхностной гравитации. Поверхностная гравитация появляется здесь потому, что именно она задаёт темп экспоненциального сжатия волны у горизонта. Это две последние формулы абзаца.

Выражения для альфы и беты идентичны во всем, кроме одного: у альфы стоит разность частот, у беты — сумма. Эта единственная разница знаков и дает излучение: сравнив модули обоих выражений (в следующем абзаце). Хокинг находит, что их отношение равно экспоненте от отношения частоты к поверхностной гравитации — в точности то соотношение, которое характерно для горячего тела с температурой, пропорциональной поверхностной гравитации. Иными словами, весь тепловой спектр чёрной дыры «зашит» в симметрию между этими двумя формулами.

В итоге

Рождение частиц возникает потому, что исходящий чистый тон, просмотренный из прошлого, оказывается не чистым тоном, а сигналом, резко обрезанным в граничный момент образования горизонта и бесконечно «раскрученным» вблизи обреза; любой такой сигнал неизбежно раскладывается по тонам обоих знаков частоты, и часть с отрицательной частой — это и есть рождённые коллапсом частицы, число которых задаётся квадратом модуля коэффициента бета.

Полное количество исходящих частиц, родившихся в частотном диапазоне $\omega \to \omega + d\omega$ , определяется интегралом $d\omega \int |\beta_{\omega\omega'}|^2 d\omega'$ . Как следует из приведенных формул, это значение формально бесконечно. Переходя к рассмотрению волновых пакетов с пиком на частоте $\omega$ на больших значениях запаздывающего времени, нетрудно понять, что эта бесконечность отражает стационарный характер излучения с постоянной интенсивностью. Эту скорость можно оценить следующим образом. Часть входящего с волнового пакета на поздних временах практически совпадает с тем сигналом, который пересек бы прошлый горизонт событий стационарной черной дыры Шварцшильда, если бы она существовала извечно. Поток вероятности в пакете с максимумом на $\omega$ пропорционален интегралу $\int{\{|\alpha_{\omega\omega'}|^2 - |\beta_{\omega\omega'}|^2}\} d\omega'$ в области $\omega' \gg \omega$ . Выписанные выше выражения для $\alpha_{\omega\omega'}$ и $\beta_{\omega\omega'}$ содержат логарифмические особенности в множителях $[-i(\omega - \omega')]^{-1+i\omega/\kappa}$ и $[-i(\omega + \omega')]^{-1+i\omega/\kappa}$ , различающиеся множителем $\exp(2\pi\omega\kappa^{-1})$ . Для корректного определения соотношения между $\alpha_{\omega\omega'}$ и $\beta_{\omega\omega'}$ необходимо выполнить аналитическое продолжение функции $[-i(\omega + \omega')]^{-1+i\omega/\kappa}$ через верхнюю полуплоскость переменной $\omega'$ в обход особенности с последующей заменой $\omega'$ на $-\omega'$ . В результате для больших $\omega',$ получаем:

$|\alpha_{\omega\omega'}| = \exp (\pi\omega/\kappa) |\beta_{\omega\omega'}|$

Отсюда вытекает, что плотность испускаемых в данном волновом пакете частиц составляет ровно $(\exp(2\pi\omega/\kappa) - 1)^{-1}$ от числа квантов, которые поглощались бы черной дырой при падении аналогичного пакета с бесконечности . Полученное соотношение между сечениями поглощения и испускания в точности соответствует характеристикам нагретого тела с эффективной температурой $\kappa/2\pi$ в геометрических единицах. Аналогичные выводы справедливы для любых безмассовых полей с целочисленным спином. Для полуцелого спина результат выглядит схожим образом, за исключением того, что спектр испускания содержит фактор $(\exp(2\pi\omega/\kappa) + 1)^{-1}$ , что отвечает тепловому излучению фермионов. По всей видимости, эти закономерности носят универсальный характер и не зависят от допущения о сферической симметрии, которое было введено лишь для упрощения вычислений.

Ранее Бекенштейн⁶ на базе термодинамических соображений выдвинул гипотезу о том, что некоторая величина, пропорциональная $\kappa$ , может играть роль температуры черной дыры. Тем не менее, он не предполагал, что черные дыры способны не только поглощать материю, но и излучать ее. Именно поэтому Бардин, Картер и автор настоящей работы рассматривали термодинамическое сходство параметра $\kappa$ с температурой исключительно как формальную аналогию. Полученные же результаты свидетельствуют о том, что за этим кроется гораздо более глубокая физическая реальность. Разумеется, данный расчет не учитывает обратное влияние излучаемых частиц на метрику и квантовые флуктуации пространства-времени, способные внести существенные коррективы.

Разбираем с @avshkol итоговый вывод статьи

Бесконечное число частиц и постоянная скорость испускания

Просуммировав (проинтегрировав) вероятности рождения по всем входящим частотам, Хокинг видит, что полное число рождённых частиц в данном диапазоне частот бесконечно. Это не проблема его теории, а признак стационарности: излучение не прекращается и не ослабевает (в этом приближении масса ЧД не уменьшается), поэтому за бесконечное время накапливается бесконечное же число частиц. Чтобы убедиться в такой интерпретации, он переходит от чистых тонов к волновым пакетам — «всплескам» с определённой частотой и определённым моментом прихода. Каждый поздний пакет несёт одно и то же среднее число частиц; значит, на поздних временах дыра излучает с постоянной скоростью. Бесконечность — это просто конечная скорость, умноженная на бесконечное время.

Оценка скорости через сравнение с поглощением

Считать скорость напрямую громоздко, и Хокинг связывает испускание с поглощением. Пакет, уходящий от дыры на поздних временах, при прослеживании картины назад во времени, входит в звезду практически в том же виде, в каком он входил бы под прошлый горизонт решения Шварцшильда, если бы тот существовал: иными словами, на поздних временах коллапсирующая звезда для волны «неотличима» от готовой ЧД, и всё решает горизонт. Дальше используется закон сохранения: полный «вес» (поток вероятности) прослеженной назад волны фиксирован, и при разложении по входящим тонам он распределяется между положительно-частотной частью (квадраты альфы) и отрицательно-частотной (квадраты беты) так, что разность их квадратов постоянна. Это формула с интегралом от разности квадратов: она связывает величины обоих коэффициентов и позволяет выразить испускание через их отношение.

Логарифмы и экспоненциальный множитель

В явных выражениях для альфы и беты из предыдущего абзаца есть «ловушка»: множители с логарифмами (комплексные степени разности и суммы частот). Формула беты превращается в формулу альфы, если формально заменить входящую частоту на отрицательную, — то есть альфа и бета есть значения одной и той же многозначной функции в зеркальных точках. При больших входящих частотах модуль альфы равен модулю беты, умноженному на экспоненту от отношения частоты к поверхностной гравитации. «Созидательная» и «разрушительная» части задачи различаются чисто тепловым экспоненциальным фактором.

От отношения коэффициентов к температуре

Соединив два факта — закон сохранения (разность квадратов модулей фиксирована) и экспоненциальное отношение самих модулей, Хокинг получает следующее: число частиц, испущенных в данной моде пакета, равно числу частиц, которые были бы поглощены из аналогичного пакета, падающего на дыру снаружи, умноженному на планковский множитель. А это и есть баланс подробного равновесия для горячего тела: у любого тела в тепловом равновесии отношение способности испускать лучи к способности поглощать на каждой частоте есть универсальная функция; роль способности поглощать играет вероятность захвата падающего пакета энергии ЧД. Значит, чёрная дыра излучает именно как тепловое тело с температурой, пропорциональной поверхностной гравитации. Для полей с полуцелым спином тот же вывод даёт множитель с плюсом в знаменателе — фермиевское число заполнения, как и требует принцип Паули. Таким образом, теплота излучения подтверждена для всех безмассовых полей.

От аналогии к реальности

Бекенштейн ранее заметил из чисто термодинамических соображений (законы механики чёрных дыр, энтропия, пропорциональная площади горизонта), что поверхностная гравитация ведёт себя в точности как температура: некоторую кратную ей величину следует считать температурой чёрной дыры. Но Бекенштейн не утверждал, что дыра реально излучает: чёрная дыра по определению всё поглощает и ничего не выпускает, поэтому его «температура» выглядела формальной величиной. По этой причине Бардин, Картер и Хокинг в своей совместной работе считали совпадение законов чёрных дыр с началами термодинамики красивой, но лишь формальной аналогией. Данная работа меняет статус этой аналогии: если ЧД действительно испускает частицы, притом строго тепловым спектром и строго при температуре, пропорциональной поверхностной гравитации, термодинамика чёрных дыр перестаёт быть метафорой и становится физическим фактом.

Дополнительные условия

В самом конце Хокинг предупреждает, что его расчет — это лишь первый шаг. Он не учитывает «обратную связь»:

Предполагалось, что излучение не влияет на саму ЧД. Но на самом деле, теряя энергию, черная дыра меняется (уменьшается ее масса и радиус горизонта событий).
Не учитывались квантовые флуктуации самого пространства-времени (так называемая «квантовая пена» на планковских масштабах).

Эти эффекты могли бы изменить картину, особенно на последних стадиях испарения, когда ЧД становится очень маленькой. Но для обычных, массивных ЧД его расчет достаточен.

Более подробные выкладки и результаты настоящего исследования будут обнародованы в отдельной публикации.

Автор выражает искреннюю благодарность Г. У. Гиббонсу за ценные дискуссии и оказанную поддержку.

С. У. ХОКИНГ

Кафедра прикладной математики и теоретической физики и Институт астрономии, Кембриджский университет

Статья поступила в редакцию 17 января 1974 г.

Скан второй, заключительной страницы статьи Хокинга в журнале Nature от марта 1974 года — Факсимиле заключительной страницы статьи Хокинга в научном журнале *Nature за март 1974 года*

Источники

Bardeen, J. M., Carter, B., Hawking, S. W., Commun. math. Phys., 31, 161–170 (1973).
Hawking, S. W., Mon. Not. R. astr. Soc., 152, 75–78 (1971).
Penrose, R., in Relativity, Groups and Topology (ред. DeWitt, C. M., DeWitt, B. S.) Les Houches Summer School 1963 (Gordon and Breach, New York, 1964).
Hawking, S. W., Ellis, G. F. R., The Large Scale Structure of Space-time (Cambridge University Press, London, 1973).
Hawking, S. W., in Black Holes (ред. DeWitt, C. M., DeWitt, B. S.) Les Houches Summer School 1972 (Gordon and Breach, New York, 1973).
Bekenstein, J. D., Phys. Rev., D7, 2333–2346 (1973).