Модели Пуанкаре в диске: пятый шаг к геометрии Лобачевского

4 Ноя в 11:00

Часть 1: скалярное произведение и метрика
Часть 2: сфера
Часть 3: стереографическая проекция
Часть 4: псевдосфера

Анализ прямых на сфере очень прост, потому что нагляден — сферу мы часто видим в жизни. Понять и проанализировать прямые на псевдосфере тоже легко, для этого нужно воспользоваться проекциями. Есть несколько различных и равноправных проекций, у каждой из них разные свойства и каждая из них наглядно показывает один из аспектов геометрии постоянной отрицательной кривизны — гиперболической геометрии. В этой части речь пойдет о стереографической проекции гиперболоида, наверное самой популярной модели геометрии Лобачевского.

Модели Пуанкаре в диске: пятый шаг к геометрии Лобачевского — Правильные треугольники в модели, картинка из википедии

Модель Пуанкаре в круге

Самая знаменитая модель геометрии Лобачевского получается из псевдосферы при помощи стереографической проекции. Делается она практически точно так же, как и стереографическая проекция сферы на плоскость. Классический план:

сначала определим саму проекцию и найдем формулы перехода,
индуцируем метрику и проанализириуем искривленность образа проекции,
найдем образы прямых и поймем, как устроены параллельные прямые в геометрии Лобачевского.

Стереографическая проекция

В пространстве выделяется южный полюс с координатами , каждая точка на псевдосфере соединяется отрезком с южным полюсом , а образ проекции лежит в плоскости . Полюс называется южным, потому что он лежит в вершине второй чаши гиперболоида, про которую мы сразу забыли после построения. Она так и не нужна, просто пояснение названия. Отображение для удобства обозначим буквой $\sigma$ , а координаты после проекции через : $(u, v) = \sigma(x, y, z)$ , где $(x, y, z) \in L^2$ . На гифке ниже синяя окружность лежит в плоскости проекции .

Анимация стереографической проекции в 3D

Удобнее сразу вывести формулы обратной стереографической проекции, то есть $(x, y, z) = \sigma^{-1}(u,v)$ , потому что так сразу можно будет индуцировать метрику в координаты . Для вывода формул удобно рассмотреть проекцию в разрезе, то есть в любой плоскости, которая рассекает гиперболоид и в которой лежит южный полюс. Для удобства на картинке взята плоскость, в которой , это сделано только ради простоты визуализации.

вывод формул стереографической проекции в 6 шагов

Дано:

$\begin{cases} S:(-1,0,0), \\ P: (x,y,z), \\ -x^2+y^2+z^2=-1 \\ \sigma(P) = (u, v) \end{cases}$
Составим параметрическое уравнение прямой, соединяющей северный полюс и точку на гиперболоиде
Найдем точку пересечения прямой с плоскостью , приравняв первую координату в параметризации к нулю и решив уравнение относительно

$-1+t_0(x+1)=0 \rightarrow t_0=\frac{1}{1+x} \\ (y, z)(t_0)=(\frac{y}{1+x}, \frac{z}{1+x})$
Заметим, что — в точке пересечения из предыдущего пункта параметризация кривой дает локальные координаты в диске . Выразим координаты точки на гиперболоиде через

$(y,z)(t_0) = (u, v) \\ y = (x+1)u \\ z= (x+1)v$
Подставим выраженные в уравнение гиперболоида — получим квадратное уравнение на . У него будет два решения, одно из которых лежит в южном полюсе, а другое на гиперболоиде.

$-x^2+y^2+z^2=-1 \\ -x^2+(x+1)^2u^2 + (x+1)^2 v^2 = -1 \\ -x^2+(x+1)^2(u^2 + v^2) +1=0 \\ -x^2 + (x^2+2x+1)(u^2+v^2) + 1=0 \\ (u^2+v^2-1)x^2 + 2(u^2+v^2)x+u^2+v^2+1=0 \\ D = 4(u^2+v^2)^2 - 4(u^2+v^2+1)(u^2+v^2-1)=...=4$ $x_{1,2}=\frac{-2(u^2+v^2)\pm2}{2(u^2+v^2-1)} \\ x_1 = \frac{-2(u^2+v^2)+2}{2(u^2+v^2-1)}=-1 \\ x_2 = \frac{-2(u^2+v^2)-2}{2(u^2+v^2-1)}=\frac{1+u^2+v^2}{1-u^2-v^2}$
Второе решение как раз и дает выражение для Подставим в выражения .

$x+1=\frac{2}{1-u^2-v^2} \\ y=(x+1)u, \space z=(x+1)v \\ \begin{cases} x=\frac{1+u^2+v^2}{1-u^2-v^2} \\ y = \frac{2u}{1-u^2-v^2} \\ z = \frac{2v}{1-u^2-v^2} \end{cases}$

Получились следующие формулы перехода из локальных координат в глобальные координаты псевдоевклидова пространства (точка гарантированно попадет на гиперболоид):

$\begin{align} x &= (1 + u^2 + v^2)/(1-u^2-v^2) \\ y&=2u/(1-u^2-v^2) \\ z&=2v/(1-u^2-v^2) \end{align}$

При стремлении , знаменатель в формулах перехода будет стремиться к нулю, а координаты будут неограниченно возрастать, поэтому, чем дальше (в евклидовом смысле) от начала координат точка находится на гиперболоиде, тем ближе она будет к границе окружности , но сама окружность никогда не будет достигнута. По этой причине окружность называется абсолют, а образ гиперболоида лежит внутри абсолюта и его не включает.

Метрика в круге

Индуцируем метрику: выпишем выражения для вектора , зависящего от , посчитаем дифференциалы и подставим в выражение для метрики ${dl}^2$ . Подсчет довольно громоздкий, поэтому предлагаю целиком его сделать самим, либо спросить у ChatGPT, он умеет это выводить (хоть иногда и с ошибками).

Намек на вывод метрики в круге

$\begin{cases} x= \frac{1+u^2+v^2}{1-u^2-v^2} \\y= \frac{2u}{1-u^2-v^2} \\ z = \frac{2v}{1-u^2-v^2}\end{cases}$ ${dl}^2 = -{dx}^2 + {dy}^2 + {dz}^2$ $\begin{align} dx &= \frac{\partial x}{\partial u}du + \frac{\partial x}{\partial v}dv=\frac{4udu+4vdv}{(1-u^2-v^2)^2} \\ dy &= ... \\ dz&=... \end{align}$ ${dl}^2=\frac{4}{(1-u^2-v^2)^2}(du^2+dv^2)$

Итоговое выражение метрики: ${dl}^2=4({du}^2+{dv}^2)/(1-u^2-v^2)^2$

Метрика в круге выглядит похоже на евклидову метрику плоскости, разница только в переменном множителе , поэтому и сами метрики ведут себя похоже. В области близкой к нулю пространство “растянуто” в 4 раза, но в целом похоже на обычную плоскость.

По мере приближения к абсолюту, расстояния “растягиваются” и стремятся к бесконечности. Абсолют не достижим по расстоянию, хотя визуально кажется близким. Движение к абсолюту соответствует “проваливанию” вдоль гиперболоида, у которого, очевидно, нет конца.

Чтобы найти радиус, на котором расстояния вырастут в два раза относительно центра, нужно выписать уравнение на метрику и решить его. В начале координат множитель равен , значит нужно подобрать такое r, чтобы множитель стал равен . Лучше сразу пойти дальше и поставить задачу не для удвоения расстояния, а увеличения в раз.

$\begin{align} \frac{4}{(1-r^2)^2} &= 4a \\ 1-r^2 &= \frac{1}{\sqrt{a}} \\ r^2 &= 1 - \frac{1}{\sqrt{a}} \\ r &= \sqrt{1 - \frac{1}{\sqrt{a}}} \end{align}$

Ниже таблица с множителем растяжения и радиусом, на котором происходит увеличение расстояний. Радиус растет довольно быстро, и для растяжения растояний в $2^{16}$ раз надо подойти к абсолюту на .

a	2	8	32	128	1024	4096	65536
r	0.541	0.804	0.907	0.955	0.984	0.992	0.998

Графики изменения расстояний от радиуса и радиуса от расстояний

В общем случае метрики, вида ${dl}^2=\lambda^2(u, v)({du}^2 + {dv}^2)$ , которые отличаются на множитель, называются конформными — они сохраняют углы между прямыми. Действительно, если посчитать косинусы углов между векторами через скалярное произведение в координатах по двум метрикам (евклидовой и Пуанкаре), то их значения совпадут, потому что множители сократятся из числителя и знаменателя.

Объяснение

На картинке за g обозначена матрица первой квадратичной формы, это то же самое что метрика и то же самое что матрица Грама, то есть матрица скалярных произведений базисных векторов. Так как метрика зависит от точки, в которой считается, то и скалярное произведение тоже. То есть, чтобы посчитать скалярное произведение, нужно во первых зафиксировать точку с координатами и взять два вектора a, b . Угловые скобки обозначают скалярное произведение, а нижний индекс или , что оно посчитано по соответствующей метрике или евклидовой.

$\begin{align} a &= (a_1,a_2)^T , b=(b_1,b_2)^T \\ {dl}^2 &= \lambda^2(u, v)({du}^2 + {dv}^2) \\ g &= \lambda^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \\ \langle a, b \rangle &=a^T \cdot g\cdot b =g_{11} a_1b_1 + g_{22}a_2b_2 \\ &= \lambda^2(u, v)a_1b_1 + \lambda^2(u, v)a_2b_2 \end{align}$

Точка в формулах всегда повторяется, по этому ниже в формулах она опущена. Но каждый раз она там есть в функции $\lambda = \lambda(u, v)$

$\begin{align} {dl}^2(a, b) &= \langle a,b \rangle_g \\ &= \lambda^2(a_1b_1+a_2b_2) \\ &= \lambda^2\langle a, b \rangle_e \\ dl(a) &= ||a||_g=\lambda\sqrt{a_1^2+a_2^2} =\lambda||a||_e \\ dl(b) &= ||b||_g=\lambda\sqrt{b_1^2+b_2^2} =\lambda||b||_e \\ \cos\alpha_g &= \frac{{dl}^2(a,b)}{dl(a)dl(b)} = \frac{\lambda^2\langle a, b \rangle_e}{\lambda||a||_e\lambda ||b ||_e} \\ &= \frac{\langle a, b \rangle_e}{||a||_e ||b ||_e} =\cos\alpha_e\end{align}$

Получилось, что значение косинуса угла не зависит от того, в какой метрике мы его посчитали, а это и значит, что углы сохраняются.

В этом и есть основное преимущество модели Пуанкаре в круге — на ней удобно мерять углы между векторами, потому что они совпадают с евклидовыми. Углы с гиперболоида в псевдоевклидовом пространстве само собой сохраняются, потому что мы индуцировали метрику, то есть сделали пересчет расстояний и углов согласованным.

Прямые в круге Пуанкаре

Вернемся к рассмотрению прямых. Дла начала предлагаю спроецировать прямые, похожие на прямые из прошлого блог-поста, на круг. Результ на картинке:

Прямые на гиперболоиде и круге Пуанкаре вместе, и те же прямые только в круге

А почему вообще проекция прямых с гиперболоида дает прямые в круге?

Геометр на такой вопрос бы сказал что-то вроде “пфф, так это же регулярная замена координат! Конечно, она сохраняет геодезические!”. Пояснять это понятие я не буду, но напишу, что интуитивно это все происходит из-за индуцирования метрики. Мы не просто ввели метрику на поверхности, а сделали это согласованно с кривизной объемлющего пространства. Так же — согласованно с кривизной поверхности и её метрикой — мы пересчитали метрику в круге. И все эти форумулы об одном и том же геометрическом объекте. По этой причине можно найти образ геодезических, а не заново искать геодезические в другом пространстве с новой метрикой.

Упс, случайно две одинаковые картинки в одну склеил

Подставив в уравнение плоскости, пересекающей гиперболоид и определяющей прямую, формулы для обратной стереографической проекции (то есть выражения , в них уже учтено что образ обратной проекции лежит на гиперболоиде), можно получить неявное уравнение прямой в круге Пуанкаре.

$\begin{cases} (x, y, z)(u, v)=(\frac{1+u^2+v^2}{1-u^2-v^2}, \frac{2u}{1-u^2-v^2}, \frac{2v}{1-u^2-v^2}) \\ ax+by+cz=0\end{cases} \\ \frac{a(1+u^2+v^2) +2bu+2cv}{1-u^2-v^2}=0 \\ a(1+u^2+v^2) +2bu+2cv = 0$

После подстановок (и раскрытия скобок, и анализа уравнения, эта деятельность остается читателю в качестве упражнения) получилось, что прямые в круге — это окружности, ортогональные абсолюту. Ортогональность окружностей надо понимать так, что касательные векторы к окружностям, проведенные в точке касания окружностей, ортогональны.

Если плоскость , пересекающая гиперболоид, содержит в себе прямую , то , и получится что прямая в круге имеет уравнение , то есть является прямой в обычном смысле, проходящей через центр плоскости (точка удовлетворяет уравнения).

Для однозначного нахождения прямой в круге достаточно указать две точки в круге или на абсолюте, дополнительные условия на центр и радиус окружности возникают из условий ортогональности абсолюта и искомой окружности.

Параллельность прямых в геометрии Лобачевского

Наверное эта секция самая важная во всем цикле.

В этой секции предлагаю сначала провести мысленный эксперимент, а потом посмотреть на результат под спойлером. Давайте на картинке с прямыми в круге начнем двигать вниз левый и правый концы прямых (2) и (3) соответственно, к красным точкам на абсолюте, к которым приближается прямая (1). При этом, обе эти прямые всегда будут проходить через красную точку в середине графика. До тех пор пока “концы” прямых не коснутся красных точек на абсолюте, прямые (1) и (2) будут неограниченно расходиться, потому что расстояния вдоль абсолюта растут. Такие прямые называются ультрапараллельными, или расходящимися. Как только “конец» прямой (2) коснется “конца” прямой (1) — прямые начнут неограниченно приближаться друг к другу, но при этом оставаться параллельными, потому что общих точек у них нет, а абсолют не является частью круга Пуанкаре. Такие прямые называются асимптотически параллельными.

Очень важный спойлер. Результат мысленного эксперимента, смотреть нужно только после проведения эксперимента!

Асимптотически параллельные и расходящиеся прямые

Вот гифка, на которой проводится похожий эксперимент. Снизу рисуется прямая, на абсолюте красным отмечаются точки, к которым она стремится. Вне прямой выбирается точка (тоже отмечена красным), через которую проводятся все возможные параллельные прямые. Светло-синим закрашена часть внутренности круга, которая получается при перемещении одной асимптотически параллельной прямой в другую, а так же при этом переносе получаются все расходящиеся прямые.

Семейство прямых, параллельных заданной и проходящей через выделенную точку в круге Пуанкаре

Вывод

В этой части у нас получилась новая плоская модель с метрикой. Метрика явно посчитана — то есть индуцирована с гиперболоида, и позволяет считать расстояния. В этой модели геодезические выглядят как дуги окружностей, ортогональные абсолюту, или как прямые, проходящие через диаметр. Оказалось, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести целое семейство различных параллельных прямых (шок контент!). Параллельные прямые делятся на два класса, и понимание о их поведении строится на основе метрики в локальных координатах. Первый класс параллельных — это расходящиеся прямые — визуально могут быть близки, но по метрике они неограниченно отдаляются. Второй класс — асимптотически параллельные — неограниченно сближающиеся, но никогда не пересекающиеся.

Как представить себе этот факт о параллельных прямых в отрыве от модели Пуанкаре или псевдосферы? В некоторых книжках или статьях про геометрию Лобачевского просто постулируют модель Пуанкаре. То есть сразу пишут: вот это абсолют, вот такие линии мы назовем прямыми, расстояние пересчитаем вот так. И тогда окажется, что параллельных прямых, проходящих через точку, много!

Такой подход несомненно проще — не надо париться про гиперболоид вообще, а результаты получаются сами собой, но мне он кажется арбитрарным — в нем не ясны причины, почему именно так определяются прямые и т.д.. Я думаю, что в такие описания можно только поверить, но не понять, откуда они возникли.

В следующей части я покажу ещё две модели геометрии Лобачевского и поясню, почему структуры, получаемые после проекций, называются моделями.

Источник