Математический мультивёрс: тривиализм Вавилонской библиотеки или гиперхаос Книги песка?

«Философия чересчур значима, чтобы отдавать её на откуп философам» (Джон Уилер)

«Математика — подлинная и единственная метафизика» (Уильям Томсон)

«Ничто не способно заменить философию математически» (Сол Крипке)

«Случайность выступает фундаментальным базисом математики» (Грегори Хайтиן)

«Время служит инструментом, с помощью которого Творец постиг непостижимое: истинность утверждений P и не-P одновременно […] Временной фактор порождается каждой попыткой изнутри охчить исчерпывающее описание Вселенной. Следовательно, время коренится не в самом мироздании, а в стремлении его описать» (Курт Гёдель)

Мы продолжаем рассуждать обо всём и ни о чём одновременно, погружаясь в философские и математические дебри в поисках всеобщности бытия, абсолютной необходимости и первоистоков всего существующего. В прошлой публикации я выделил фундаментальные противоречия спекулятивного материализма Мейясу по отношению к научному методу и предложил их разрешение в виде реляционной архитектуры межмировых связей, где каждый мир физически реализуем или нереализуем в сопоставлении с любым иным. Теперь мы продвинемся ещё дальше, спроектировав аналогичную реляционную сеть для математически и логически допустимых миров. Для этого вслед за принципом достаточного основания нам придется отказаться от других краеугольных камней формальной логики: закона непротиворечия и закона тождества. Моя цель — подвергнуть сомнению извечную необходимость математики в её привычном виде и продемонстрировать вариативность математических систем. Честно говоря, перед созданием этого текста я был уверен, что контингентность математики — это та самая парадоксальная мысль, которую до меня не осмеливался отстаивать ни один философ, и перед которой спасовал даже создатель Гиперхаоса Квентин Мейясу. Однако выяснилось, что эту идею разделяют несколько современных аналитических философов, чьи концепции я разберу далее. Но прежде я поясню, как сам пришел к подобным выводам через призму гипервычислений.

Контингентность математической реальности

Ни для кого не секрет, что корректность и доказуемость математических выкладок всецело зависят от принятой системы аксиом. Это стало очевидным еще в позапрошлом столетии с открытием неевклидовой геометрии Лобачевского. Заменив пятый постулат Евклида (о единственной прямой, параллельной данной, проходящей через внешнюю точку) противоположным утверждением (о множестве таких прямых), ученый выстроил внутренне непротиворечивую и применимую на практике систему. Данное обстоятельство было воспринято как весомый аргумент против платонизма: раз мы вольны выбирать формальный базис по своему усмотрению, никакой объективной математической реальности не существует. В своей крайней форме эта позиция вылилась в математический фикционализм, утверждающий, что математика — лишь плод человеческой фантазии. Тем не менее, в этой статье я докажу, что плюрализм формальных систем прекрасно уживается с математическим реализмом, если отказаться от единого платоновского космоса в пользу концепции математического мультивёрса.

Математический платонизм опирается на три столпа: онтологический аспект (математические сущности вроде чисел, множеств и функций существуют автономно от человеческого интеллекта, открываясь через рациональное познание, а не порождаются социумом или сознанием), критерий истинности (любое корректно сформулированное математическое положение в рамках теории множеств обладает объективным статусом истинности — оно абсолютно истинно или ложно независимо от наших возможностей доказать это) и принцип единственности (существует единственный кумулятивный универсум множеств, обозначаемый как V, который включает все реально существующие множества и абсолютен в своей независимости от логических моделей). Мы можем оперировать различными аксиоматиками (ZFC, NBG, TG, NF), но все они приводят к тождественным выводам относительно природы бесконечностей. Следовательно, математическая истина едина, а неразрешимость отдельных задач проистекает лишь из ограниченности наших формальных аппаратов.

Впрочем, философия математики не исчерпывается извечным противостоянием платонизма и номинализма. Из материала «Реализм против платонизма» вам уже известно, что я разделяю позиции математического физикализма. Согласно этому подходу, математика по сути своей является естественной наукой: доказательство теоремы равносильно физическому эксперименту, то есть вычислению, производимому мозгом или вычислительным устройством. Мысль о том, что математика представляет собой обобщенную физику и полностью обусловлена физическими законами нашего мира, высказывал еще Джон Стюарт Милль. Его радикальный эмпиризм допускал, что в мирах с иными законами природы — например, где два объекта при слиянии образуют единый предмет или порождают третий — математические правила выглядели бы иначе, и сумма «2 + 2» могла бы равняться трем или пяти. Позднее, в ХХ столетии, Уиллард Куайн предложил концепцию «паутины убеждений» (научного холизма), согласно которой математика не изолирована от остального знания, а вплетена в единую ткань с физикой, химией и биологией. Мы принимаем математические абстракции исключительно за их удобство в прогнозировании физических процессов. Куайн допускал, что радикальное изменение физического опыта может потребовать пересмотра не только физических законов, но и законов логики с математикой ради сохранения предсказательной силы всей системы.

Физик Дэвид Дойч также убежден, что наша уверенность в незыблемости математических доказательств базируется на доверии к законам физики, управляющим работой универсального вычислителя (включая человеческий мозг). Поскольку любые вычисления и доказательства реализуются материально — в нейронных сетях, кремниевых чипах или иных физических носителях, — их потенциал и надежность жестко детерминированы законами природы. Иные физические законы сформировали бы иной набор логических вентилей для компьютера, а значит, и логика, и математика претерпели бы кардинальные изменения. Нам известны формальные системы, опирающиеся на альтернативную логику и оперирующие иными классами задач, нежели классическая машина Тьюринга: квантовые компьютеры (где операции выходят за рамки булевой алгебры), сверхтьюринговые архитектуры (гиперкомпьютеры) и неклассические логики (многозначные или допускающие бесконечные значения истинности). Если квантовые вычисления отличаются от классических лишь эффективностью решения определенных задач при том же наборе вычислимых функций, то гиперкомпьютеры обладали бы принципиально иным арсеналом. Они способны решать задачи, недоступные и невычислимые для традиционных машин. В мире, где физика допускает существование гиперкомпьютера, неразрешимые для нас проблемы нашли бы свое решение: например, моделирование проблемы остановки для машины Тьюринга, доказательство гипотезы Континуума и гипотезы Римана, а также решение проблем Гольдбаха и P=NP. Следовательно, вычислимость функций и разрешимость задач столь же контингентны, сколь и законы физики.

Как вы помните из статьи «Сверхтьюринговые вычисления и гиперкомпьютеры», ответы на все математически неразрешимые задачи, сводимые к перебору, могут быть закодированы в битовой последовательности числа Омега Хайтина (Ω) — вероятности остановки случайной программы для машины Тьюринга. В силу неразрешимости проблемы остановки, число Ω невозможно вычислить никаким алгоритмом. Это счетно-бесконечный ряд бит, случайный по определению Мартина-Лёфа. Его колмогоровская сложность бесконечна, поскольку ни одна конечная программа не способна сжать этот массив данных. Грегори Хайтин утверждал, что из невычислимости Ω вытекает невозможность построения универсальной «теории всего» в математике. Бесконечный массив битов константы Ω задает бесконечное множество математических фактов, которые не выводятся ни из каких базовых принципов, более простых, чем сама эта последовательность. Иными словами, сложность математики бесконечна, тогда как любая единая теория обладает конечной сложностью и не способна охватить все богатство математической истинности. Каким бы огромным ни был конечный набор аксиом, всегда останется бесконечное число истин, недоказуемых с его помощью.

Но что произошло бы, если мы неким образом завладели всей бесконечностью знаков константы Ω после запятой и подключили её в качестве оракула к машине Тьюринга? Поскольку Омега Хайтина содержит решения проблемы остановки для любых возможных программ, подобное устройство щелкало бы любые переборные задачи за один такт, отсеивая ложные гипотезы через поиск контрпримеров в бесконечном пространстве. Однако какие задачи остались бы неразрешимыми даже для такой машины? Собственная проблема остановки этого оракул-компьютера, вероятность которой описывается числом Ω’. Зная Ω’, мы получаем оракул второго порядка для еще более мощного устройства с константой Ω», выступающей как оракул третьего порядка, и так до бесконечности. В результате мы выстраиваем трансфинитную иерархию оракулов-омег. Известные нам неразрешимые задачи заложены в Ω, но само оно постижимо лишь через обращение к Ω’ — сущности, разрешающей мета-вопросы о программах, использующих Ω. Вероятно, Ω’ справляется с классом задач, недосягаемых даже при знании всех арифметических истин Гёделя, в то время как Ω» покоряют проблемы третьего порядка.

Как отмечал Грегори Хайтин в труде «Исследование случайности», если теоремы Гёделя, проблема остановки и базовое число Ω обнажают «изъеденность» математики дырами, то оракулы высших порядков показывают, что само здание математики состоит из зияющих пустот, в основании которых лежит чистый Гиперхаос. Исходную Омегу, несмотря на её случайность, можно приближать снизу простым перебором остановившихся программ. С Ω’ этот трюк не пройдет: она алгоритмически случайна в высшей степени, превосходя классическую вероятность остановки по Тьюринговой степени и обладая абсолютной сложностью описания. Но что может превосходить по степени случайности действительное число? Практически любые вещественные числа обладают бесконечной колмогоровской сложностью, так как их десятичные знаки не порождаются никаким алгоритмом. Подавляющее большинство элементов континуума невычислимо. Отсюда рождается интригующий вопрос: входит ли Ω’ в состав континуума вещественных чисел, доступных для вычисления гиперкомпьютером?

Невычислимость даже первой цифры Ω’ после запятой подозрительно напоминает барьер между нулем и единицей в континууме. Я не стремлюсь выйти за рамки ортодоксальной математики, где отсутствуют числа «более бесконечные», нежели действительные. Последние по определению счетны по своей длине, обладая счетно-бесконечной записью. И тем не менее, напрашивается гипотеза о существовании сверхдействительных чисел, чья дробная часть исчисляется континуумом или гиперконтинуумом знаков. Подобные объекты фигурируют в нестандартном анализе под названием сюрреальных чисел, конструируемых через трансфинитную индукцию, где протяженность задается ординалами. Кроме того, применяются гиперреальные числа, дополняющие числовую прямую бесконечно малыми (инфинитезималями) и бесконечно большими величинами, не выражаемыми через стандартные десятичные знаки.

Для стандартной машины Тьюринга множество программ всегда счетно, независимо от мощности подключенного оракула — ведь речь идет об устройстве с конечным кодом, связанном с информационной базой. А как обстоят дела у иных моделей гиперкомпьютеров? Мы подробно разбирали их в упомянутой статье о сверхтьюринговых вычислениях. Вообразим систему, способную за единичное обращение обработать счетную бесконечность символов: машину Тьюринга с бесконечным временем (ITTM), ординальную машину Тьюринга (OTM) или аналоговую модель Блюма-Шуба-Смейла (BSS). ITTM, разработанная Джоэлом Хамкинсом, Джеффом Киддером и Энди Льюисом, способна за трансфинитное время (измеряемое ординалами) проанализировать весь континуум действительных чисел и вычислить любые омеги Хайтина высших порядков, полностью решив классическую проблему остановки.

А что насчет гиперкомпьютера, преодолевающего счетный предел Тьюринга и выдающего весь континуум за одну операцию? Для манипуляций с бесконечными множествами любой мощности требуется машина, чья архитектура масштабируется вместе с иерархией кардиналов. Ординальная машина Тьюринга (ОТМ), предложенная Петером Кёпке, обладает лентой ординальной длины и способна функционировать в течение несчетного времени. Сохраняя конечный объем программы и состояний, ОТМ за счет бесконечной ленты генерирует любое действительное число и любые множества из гёделевской Вселенной (L). Проходя через предельные ординальные шаги вроде ω, ω*2 и уходя в трансфинитную бесконечность, такая машина сталкивается с собственными барьерами неразрешимости, порождая новые мета-проблемы.

Существует также модель теоретико-множественных вычислений. Вместо лент и ячеек памяти базовым шагом здесь выступают операции над самими множествами. Регистры оперируют произвольными множествами при счетном числе инструкций, однако одна программа способна обрабатывать несчетный объект как целостность за один такт. Подобная машина напрямую выводит весь континуум действительных чисел или проверяет принадлежность элементов без оглядки на ограничения мощности, что эквивалентно абсолютной конструктивичности в теории множеств.

Вернемся, однако, к классической машине с оракулом. Каково общее число оракулов-омег? Хотя каждая отдельная омега счетна по длине, совокупность всех возможных омег несчетна, подобно континууму. Более того, ничто не мешает продолжить этот ряд сквозь трансфинитные ординалы. Подобная иерархия охватывает всю арифметическую иерархию Клини-Мостовского, переходит в гиперарифметическую ветку вплоть до ординала Чёрча-Клини и растворяется в конструктивной иерархии Гёделя (L).

Тем не менее, для любой вычислительной мощи всегда останутся фундаментальные математические истины, недоступные доказательству. Никакой гиперкомпьютер не способен преодолеть законы формальной логики, доказать собственную непротиворечивость в обход теорем Гёделя, решить свою проблему остановки или ответить на вопрос о существовании «универсального множества всех множеств». Иерархичность Тьюринговых степеней, теорема Кантора о мощности множества подмножеств, аксиоматика ZFC и арифметика натуральных чисел сохраняют силу во всех возможных мирах. Гиперкомпьютер не упраздняет математические ограничения, а лишь сдвигает горизонт познаваемого.

Платонисты могли бы возразить, что гиперкомпьютеры — лишь абстракции нашей математики, а миры с иной физикой недоступны для проверки. Но если математика контингентна, должны существовать реальности, где не действуют даже метатеоретические ограничения Гёделя, Тьюринга и Хайтина. В недостижимых мирах наши теоремы могут оказаться ложными, а базовые аритметические постулаты — измениться.

Признавая математику универсальной, достаточно принять модальный реализм Дэвида Льюиса с его мириадами логически возможных миров. Но допущение иной математики в других мирах меняет и саму структуру модальности: одни миры становятся недоступными, другие — напротив, возможными. Единый непротиворечивый универсум рассыпается, и для описания такой структуры идеально подходит реляционная семантика Крипке, где возможность утверждений носит относительный характер, задаваясь отношением достижимости R между мирами.

Как отмечалось ранее, в семантике Крипке «мир» выступает формальной конструкцией — набором непротиворечивых утверждений. Если абсолютная контингентность истинна, мы получаем реляционную сеть, где возможности миров относительны. Наш универсальный компьютер порождает класс достижимых миров со своими гиперкомпьютерами, в то время как за пределами этой сети законы математики могут радикально отличаться.

Если некая часть математики неизменна во всех мирах, то к ней относятся метаматематические теоремы Гёделя, неразрешимость проблемы остановки Тьюринга, теорема Хайтина об иерархии оракулов и канторовская лестница бесконечностей. Примечательно, что Кантор, Гёдель, Тьюринг и Дойч независимо друг от друга использовали один и тот же диагональный метод для демонстрации принципиальной неисчерпаемости систем.

Абсолютно полная и непротиворечивая математика недостижима. Пределы доказуемости выступают неотъемлемым свойством любой мыслимой математики, тогда как их конкретные проявления контингентны. Перейдем же к анализу концепций современных философов и математиков.

Теоретико-множественный мультивёрс Джоэла Хамкинса

Американский математик Джоэл Дэвид Хамкинс выдвинул концепцию теоретико-множественного мультивёрса, отвергающую платоновский Универсум (V) с его абсолютной истинностью каждого утверждения. Он доказывает, что независимость задач от аксиоматики ZFC свидетельствует о существовании альтернативных математических миров: в одном верна континуум-гипотеза, в другом — нет. Единой «канонической» модели не существует.

«Концепция мультивёрса представляет собой разновидность реализма высшего порядка… утверждающую реальное существование альтернативных теоретико-множественных вселенных» (Джоэл Хамкинс)

Метод форсинга, разработанный Полом Коэном, позволяет расширять модели ZFC, доказывая, что теоретико-множественная вселенная не уникальна. В мультивёрсе Хамкинса различают переключатели (свойства, которые можно менять туда и обратно) и кнопки (однократные изменения, которые нельзя отменить).

Хамкинс формулирует базовые аксиомы мультивёрса, включая аксиому существования, реализуемости, форсинга, отражения, счетности и максимизации. Концепция разрушает классические догмы о вычислимости и бесконечности: то, что в одном мире выглядит случайным, в другом оказывается тривиальным.

Совместно с Бенедиктом Лёве Хамкинс доказал, что отношение форсинг-достижимости задает модальную структуру S4.2. Иными словами, мультивёрс представим в виде реляционной сети Крипке, где миры связаны отношениями математической достижимости.

Диалетизм Грэма Приста

В классической логике действует строгий закон взрыва (Ex Falso Quodlibet): из противоречия выводимо абсолютно всё. Однако параконсистентные логики преодолевают это ограничение. Диалетизм, созданный австралийским логиком Грэмом Пристом, утверждает существование истинных противоречий — диалетей.

Вместо запрета противоречий Прист вводит принцип нетривиальности: система должна содержать хотя бы одно ложное утверждение. Опираясь на трехзначную логику парадокса (LP) со значениями T, F и B (истинно и ложно одновременно), диалетизм локализует противоречия, не допуская общего коллапса системы.

Это порождает семантику невозможных миров, где допускаются нарушения классических законов. При этом базовые структуры логического следования и закон тождества ($a = a$) остаются неизменными.

Борода Платона и джунгли Мейнонга

Проблема несуществующих объектов («борода Платона») издавна будоражит метафизиков. Уиллард Куайн предлагал отсекать такие сущности бритвой Оккама, сводя бытие к значениям квантифицируемых переменных.

Напротив, мейнонгианство расширяет область квантификации на любые мыслимые объекты, вводя понятие вне-бытия (Aussersein). Подобный подход порождает «джунгли» несуществующих предметов, успешно прореживаемые теорией дескрипций Бертрана Рассела.

В модальном мейнонгианстве невозможные объекты и противоречивые сущности получают прописку в невозможных мирах, радикально переосмысляя само понятие существования как отношения объекта к конкретному миру.

Тривиализм пропозиций

Наиболее радикальная философская позиция — тривиализм, утверждающий истинность абсолютно всех пропозиций. В такой системе стирается грань между истиной и ложью, а любая критика парадоксальным образом усваивается как подтверждение собственной правоты.

Луис Эстрада-Гонсалес выделяет несколько уровней тривиализма — от минимального до абсолютного, охватывающего все возможные миры.

Вавилонская библиотека и Книга песка

Существует также синтаксический тривиализм, в котором любая последовательность символов автоматически признается истинной. Ярким литературным воплощением этого выступает Вавилонская библиотека Хорхе Борхеса, содержащая все возможные комбинации букв и знаков.

Однако подлинный синтаксический тривиализм требует несчетной бесконечности строк, включая континуум действительных чисел, что упирается в ограничения теоремы Кантора о несоответствии между языком и бесконечным множеством описываемых объектов.

Еще более радикальным образом выступает борхесовская Книга песка — динамический континуум без начала и конца, воплощающий чистейший Гиперхаос.

Гиперхаос Мейясу

Для Квентина Мейясу любая языковая или математическая модель остается лишь картой, но не самой реальностью. Спекулятивный Абсолют — это Гиперхаос, или абсолютная контингентность всего существующего. Единственная абсолютная истина заключается в том, что ничто не абсолютно, кроме самой контингентности.

Синтезируя идеи Хамкинса и Приста, мы видим, что модальная структура мультивёрса допускает реляционную сеть миров, где классические законы логики локальны. Я предлагаю рассматривать математический мультивёрс как бесконечную сеть достижимости, охватывающую как возможные, так и невозможные миры.

Мы можем выделить следующие уровни контингентности:

1. 1 уровень — контингентность состояний при неизменной физике (эвереттовские миры).

2. 2 уровень — контингентность физических констант (инфляционный мультивёрс).

3. 3 уровень — контингентность физических законов (модальный реализм Льюиса).

4. 4 уровень — контингентность математики и логики (мультивёрс Хамкинса, семантика невозможных миров).

В заключение обобщим рассмотренные формальные модели по степени их полноты — от классической аксиоматики ZFC и мультивёрса Хамкинса до диалетизма Приста, пропозиционального тривиализма и онтологического тривиализма, стирающего грань между мыслью и реальностью в беспредельном океане Гиперхаоса.

 

Источник