Калькулятор всего с двумя кнопками: одна функция вместо синуса, корня и числа π

Автор оригинала: Manon Bischoff

Современные калькуляторы изобилуют кнопками для вычисления синуса, квадратного корня, числа π и возведения в степень. Однако, как выясняется, достаточно было бы всего двух.

Фото: Coyau / Wikimedia Commons / CC BY-SA 3.0

Когда-то для вычисления, например, логарифма нужно было запастись временем, терпением и подходящим справочником. Эта кропотливая работа порой приводила к неожиданным открытиям. Так, астроном Саймон Ньюкомб заметил, что в таблицах логарифмов страницы со значениями, начинающимися с единицы, заметно потрёпаннее остальных. Из этого наблюдения впоследствии родился закон Бенфорда, описывающий распределение некоторых случайных чисел.

Если бы в ту эпоху существовали калькуляторы, закон Бенфорда, возможно, остался бы незамеченным. И всё же я рада, что ни в школе, ни в университете, ни на работе мне не приходилось корпеть над таблицами логарифмов и другими сборниками формул. Я бы не хотела отказываться от инженерного калькулятора: важные константы, такие как π и число Эйлера, в нём уже заложены, а кубический корень или логарифм можно вычислить нажатием одной кнопки.

Однако физик Анджей Одживолек из польского Ягеллонского университета показал в препринте, опубликованном в марте 2026 года, что калькулятор может быть устроен гораздо проще: для элементарных вычислений и функций инженерного калькулятора хватит двух кнопок. Тангенс, квадратный корень, π, возведение в степень — всё это можно выразить с помощью одного лишь числа 1 и оператора eml(x, y) = exp(x) − ln(y). С тех пор его работу проверили с помощью программы для проверки доказательств, которая последовательно анализирует логические выводы и удостоверяется в их корректности.

От 36 к двум

Возможности калькулятора зависят от его модели. Простейшие устройства выполняют лишь четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Более сложные вычисляют тригонометрические функции, корни и логарифмы. Именно таким калькулятором я пользовалась в школе. А вот графические модели были под запретом: они способны самостоятельно решать уравнения и строить графики функций.

В своей работе Одживолек рассматривает 36 величин и операций, доступных на обычных школьных инженерных калькуляторах, в том числе тригонометрические функции и возведение в степень. «Высшая математика показывает, что многие из этих [функций] избыточны: например, тригонометрические сводятся к комплексной экспоненте. Как далеко может зайти такое сокращение?» — спрашивает он в статье.

Физик предположил, что все 36 функций и величин можно получить с помощью одной функции и одного числа. «Звучит правдоподобно, — говорит математик Мануэль Кауэрс из Университета Иоганна Кеплера в австрийском Линце, не принимавший участия в исследовании. — Класс элементарных функций не особенно богат».

В пользу этой гипотезы говорят и достижения техники. Ещё в 1913 году математик Генри Шеффер доказал, что цифровые вычисления можно выполнять с помощью одного логического оператора — «вентиля И-НЕ» (NAND). Благодаря этому открытию даже чрезвычайно сложные компьютерные вычисления можно организовать на транзисторах одного типа.

Всемогущая функция

В поисках единственной функции для своего калькулятора Одживолек сначала изучил набор инструкций популярной системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica. В нём элементарные операции выводятся всего из семи функций. По словам учёного, этот набор «послужил эталоном уже оптимизированной [системы]… тщательно проверенной почти за 40 лет».

Чтобы сократить число инструкций ещё больше, физик разработал программу для систематического поиска. Получив кандидата на роль универсальной операции, она перебирает способы выразить через него 36 элементарных функций, чисел и важных констант. После многочисленных попыток Одживолек пришёл к выводу, что элементарные функции можно восстановить с помощью единицы и eml(x, y). Название eml расшифровывается как exponential-minus-logarithm — «экспонента минус логарифм».

Так, для получения числа Эйлера e достаточно вычислить eml(1, 1), поскольку exp(1) − ln(1) = e. Но для вычитания или вычисления тригонометрических функций оператор eml приходится многократно вкладывать сам в себя, снова и снова подставляя eml в eml. Например, для синуса требуется более десяти последовательных уровней вложенности, что уже выглядит довольно громоздко.

Спираль иллюстрирует, как из операции eml получаются различные элементарные функции и величины. Стрелки показывают, из каких элементов они составлены. Источник: «All Elementary Functions from a Single Binary Operator», Анджей Одживолек, препринт от 23 марта 2026 года, https://arxiv.org/abs/2603.21852

Вскоре обнаруживаются и другие сложности. Даже в прикладной математике порой приходится работать с комплексными числами, включающими квадратные корни из отрицательных чисел. Однако логарифм комплексного числа определён неоднозначно, поэтому необходимо выбрать «ветвь» — конкретный участок, на котором логарифм принимает определённое значение. По этой причине, отмечает Одживолек, реализовывать структуру eml нужно с большой осторожностью, иначе результаты окажутся неверными.

Кроме того, eml и 1 — не единственная пара функции и числа, позволяющая выводить элементарные операции. Физик установил, что полноценный инженерный калькулятор можно построить также на функции edl(x, y), то есть «экспонента, делённая на логарифм», и числе e. Существуют и другие возможные решения.

EML и машинное обучение

С теоретической точки зрения результат Одживолека представляется мне весьма интересным, однако практических применений у него, по-видимому, немного. Калькулятор с двумя кнопками, например, был бы исключительно компактным, но вряд ли удобным. Чтобы получить число 0, потребовалось бы выполнить вычисление eml(1, eml(eml(1, 1), 1)) = eml(1, eml(e, 1)) = eml(1, e^e) = e − e × ln(e) = 0. Даже ввод простейших чисел потребовал бы времени, терпения и определённых навыков счёта.

Одживолек предложил ещё одну область применения — нейронные сети. Эти алгоритмы искусственного интеллекта основаны на элементарных функциях, которые можно представить с помощью структуры eml. Это могло бы дать определённые преимущества: вместо нескольких разных функциональных блоков и таблиц поиска для распространённых операций нейросетей, таких как ReLU, tanh, GELU или синус, можно было бы использовать одинаковые ячейки eml — примерно как вентили NAND в компьютерных чипах.

Исследователь Эймен Ипек из Технического университета Граца в Австрии проверил эту идею в препринте, опубликованном на arXiv.org в апреле 2026 года. Он заменил часть нейросети для расчёта силовых установок электромобилей структурой eml. Как выяснилось, хотя архитектура кода может выглядеть проще, количество вычислительных операций существенно возрастает. ReLU, tanh и подобные функции считаются одной операцией, тогда как выполнение eml требует 111 операций. Поэтому до практического применения компьютера на основе eml ещё далеко — если оно вообще когда-либо станет возможным.

Примечание переводчика: в препринте Ипека представлен теоретический анализ предложенной архитектуры; её реализацию и тестирование производительности автор оставляет на будущее. Приведены следующие оценки: ReLU — 1 операция с плавающей точкой, tanh — около 20, GELU — около 30, eml — около 111 (двойная точность, обычный x86).

Статья первоначально была опубликована в журнале Spektrum der Wissenschaft и перепечатана с разрешения. Немецкий оригинал перевели на английский с помощью искусственного интеллекта, после чего текст проверили редакторы Scientific American.

Источник