Как выбросить число π с помощью двух кубиков?

В этой статье речь пойдёт, пожалуй, о самом нелепом физическом проявлении числа π из всех, что мне встречались.

Представим два кубика — крупный и маленький. Большой движется вправо налево, к неподвижному малому кубику. Слева от них стоит стена. В какой-то момент большой кубик сталкивается с маленьким, тот отлетает к стене, ударяется о неё и возвращается обратно, после чего врезается в своего обидчика и снова отскакивает в сторону стены. После множества таких столкновений направление движения большого кубика меняется, и в конце концов он начинает удаляться от стены быстрее маленького.

Если масса большого кубика будет в 100^N раз больше массы малого — например, в миллион раз, — обнаружится удивительная закономерность: общее количество столкновений начинается с тех же цифр, что и число π. В нашем примере кубики столкнутся 3141 раз.

Если же масса большого кубика превысит массу маленького в триллион раз, произойдёт уже 3 141 592 столкновения — причём почти все они составят одну короткую, интенсивную серию. Разумеется, в этой задаче используется ряд идеализированных допущений: мы пренебрегаем потерями энергии из-за трения и ударов, а также релятивистскими эффектами, которые могли бы возникнуть при столь колоссальном различии масс. Это задача из классической физики.

Откуда берётся этот результат? Почему число π возникает в таком неожиданном месте и в столь необычной форме?

В первую очередь этот урок посвящён решению задач с помощью фазового пространства, или пространства конфигураций. Вы не только разберётесь в загадочном способе подсчёта числа π, но и познакомитесь с методом, применимым во многих других областях.

Законы сохранения энергии и импульса

Начнём с вопроса: как найти скорости кубиков после столкновения? Ответ подскажут законы сохранения энергии и импульса.

Обозначим массы кубиков через m₁ и m₂, а их скорости — через v₁ и v₂. Именно эти скорости будут изменяться на протяжении всего процесса.

В любой момент суммарная кинетическая энергия системы равна ½m₁(v₁)²+ ½m₂(v₂)². Скорости v₁ и v₂ меняются при столкновениях, однако значение всего выражения остаётся постоянным.

Суммарный импульс двух кубиков равен m₁v₁ + m₂v₂. При столкновении кубиков он также сохраняется. Измениться импульс может, когда маленький кубик ударяется о стену: в реальности часть импульса передалась бы ей. Но в нашей модели стена имеет бесконечную массу, поэтому такая передача никак не влияет на её состояние.

Итак, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными. Чтобы разобраться в них нагляднее, изобразим их графически.

Фазовое пространство скоростей

Для начала рассмотрим уравнение энергии. Скорости v₁ и v₂ постоянно меняются, поэтому представим их на координатной плоскости: по оси x будем откладывать v₁, а по оси y — v₂. Каждая точка этой плоскости будет соответствовать определённой паре скоростей кубиков.

Переходы в фазовом пространстве

На фазовой диаграмме уравнение энергии ½m₁(v₁)²+ ½m₂(v₂)² задаёт эллипс. Каждая его точка описывает пару скоростей, при которой выполняется закон сохранения энергии. Иными словами, во всех точках эллипса суммарная кинетическая энергия системы одинакова.

Видео

Таким образом, в нашем фазовом пространстве закон сохранения энергии изображается эллипсом.

Но мы ищем связь с числом π, поэтому немного изменим координаты и превратим эллипс в окружность. Вместо скорости v₁ по оси x будем откладывать величину √m₁v₁. В нашем примере это растянет график по горизонтали в √10 раз. По оси y аналогично будем использовать √m₂v₂.

Теперь уравнение сохранения энергии приобретает вид ½(x²+y²) — то есть становится уравнением окружности! Её радиус определяется суммарной кинетической энергией системы.

Видео

Мы преобразовали эллипс в окружность, изменив масштаб осей, и тем самым сделали ещё один шаг к разгадке появления числа π.

В начальный момент большой кубик движется влево, а маленький покоится. На диаграмме этому состоянию соответствует крайняя левая точка окружности: координата x отрицательна, а y равна нулю. Что произойдёт после первого столкновения? Закон сохранения энергии требует, чтобы система перешла в другую точку той же окружности. Но в какую именно?

Здесь нам пригодится закон сохранения импульса. До и после столкновения величина m₁v₁+m₂v₂ должна быть одной и той же.

В новых координатах закон сохранения импульса записывается как √m₁x +√m₂y = const.⁠ Это уравнение прямой с угловым коэффициентом √m₁/m₂⁠. Её положение на диаграмме зависит от значения импульса. Однако мы знаем, что прямая проходит через начальную точку, поэтому её расположение уже определено.

Зелёная прямая объединяет все пары скоростей, соответствующие тому же суммарному импульсу, что и исходное состояние.

Иначе говоря, все точки этой прямой описывают пары скоростей с одинаковым импульсом, а все точки окружности — пары с одинаковой энергией.

Посмотрите, что получается: два условия оставляют нам лишь одну возможную точку перехода.

Окружность, соответствующая постоянной энергии, и прямая постоянного импульса пересекаются в двух точках. Одна из них описывает начальное состояние, а другая — скорости кубиков после удара.

Результат согласуется с физической картиной: в новой точке координата x⁠ становится чуть менее отрицательной, а y⁠ — отрицательной. Это означает, что большой кубик немного замедлился, а маленький быстро полетел к стене.

Когда маленький кубик ударяется о стену, модуль его скорости не меняется, но направление становится противоположным: скорость меняется с отрицательной на положительную. На диаграмме это отражается зеркально относительно оси x, поскольку координата y⁠ просто умножается на -1⁠.

Следующее столкновение кубиков снова изображается переходом вдоль прямой с наклоном √m₁/m₂: именно так на диаграмме представлен закон сохранения импульса.

Теперь можно представить, как столкновения кубиков отображаются на диаграмме в виде переходов по окружности.

Процесс продолжается, пока кубики не окажутся в состоянии, при котором больше не смогут столкнуться. Это происходит, когда оба движутся вправо, но большой кубик движется быстрее маленького. На диаграмме такие состояния образуют треугольную область:

Каждая точка внутри треугольника соответствует паре скоростей, при которой новых столкновений уже не произойдёт.

Следовательно, кубики будут сталкиваться, пока их скорости не попадут в эту область.

Возможности фазовых диаграмм

Полученный рисунок называется фазовой диаграммой. В математике это простой, но эффективный инструмент: состояние системы — в нашем случае скорости кубиков — представляется одной точкой в абстрактном пространстве.

Главное достоинство такого подхода в том, что он переводит динамическую задачу в геометрическую. Все возможные пары скоростей, удовлетворяющие закону сохранения энергии, образуют наглядную фигуру — окружность. А подсчёт числа столкновений сводится к подсчёту переходов по линиям, которые поочерёдно оказываются вертикальными и наклонными.

Подсчитываем столкновения

Но основной вопрос остаётся открытым: почему при отношении масс, равном степени числа 100, количество столкновений совпадает с начальными цифрами π?

Если внимательно рассмотреть диаграмму, можно заметить, пусть и не сразу, что дуги между соседними точками на окружности выглядят примерно одинаковыми по длине.

С первого взгляда это неочевидно. Но если дуги действительно равны, достаточно найти длину одной из них, чтобы определить, сколько столкновений потребуется для прохождения окружности до «финишной области».

Разобраться поможет теорема о вписанном угле. Она утверждает: угол, образованный тремя точками окружности (P₁, P₂ и P₃), вдвое меньше угла P₁–O–P₃, вершина которого находится в центре окружности.

При этом точка P₂ может располагаться где угодно на окружности, кроме дуги между P₁ и P₃.

Теперь вернёмся к фазовой диаграмме и выделим на ней три точки:

Напомним: вертикальный переход соответствует отскоку маленького кубика от стены, а переход по наклонной прямой с угловым коэффициентом √m₁/m₂ — столкновению кубиков, при котором сохраняется импульс.

Обозначим угол между этими прямыми через Θ. По теореме о вписанном угле дуга между двумя нижними точками имеет угловую меру 2Θ радиан.

Все наклонные прямые, соответствующие постоянному импульсу, параллельны. Поэтому та же теорема позволяет заключить, что все дуги равны 2Θ.

Видео

После каждого столкновения мы проходим по окружности очередную дугу размером 2Θ радиан.

Движение заканчивается, когда система попадает в «финишную область»: оба кубика направляются вправо, но маленький движется медленнее. Геометрически это можно представить так: процесс останавливается, когда очередная дуга длиной 2Θ уже перекрыла бы ранее пройденный участок.

Иными словами, число столкновений равно количеству раз, которое можно прибавить 2Θ к самому себе, прежде чем сумма превысит 2π радиан.

Можно сформулировать ещё проще: нужно найти наибольшее целое число, на которое можно умножить Θ, не получив значение больше π.

Например, при Θ = 0,01 радиан произведение 314Θ будет немного меньше π, а 315Θ уже превысит π.

Значит, ответ — 314. Следовательно, при таком соотношении масс, которое задаёт угол Θ = 0,01, кубики столкнутся 314 раз.

Находим угол Θ

Теперь понятно, что нужно вычислить. Определим Θ для отношения масс 100 : 1. Как мы уже знаем, угловой коэффициент прямой постоянного импульса равен √m₁/m₂. На рисунке ниже масса большого кубика равна 100 кг, а наклон прямой составляет -10.

Следовательно, тангенс угла Θ — отношение противолежащего катета к прилежащему — равен горизонтальному отрезку, делённому на отрицательный вертикальный. В нашем примере это 1/10, поэтому Θ = arctan(1/10).

В общем случае получаем формулу: Θ = arctan(√m₂/√m₁).

Если проверить на калькуляторе, станет заметно: арктангенс малого числа почти совпадает с самим этим числом.

Например, arctan(1/100), что соответствует массе большого кубика 10 000 кг, практически равен 1/100.

Разница настолько мала, что для нашей задачи значение можно округлить до 1/100. Если, как и в предыдущем примере, прибавить его к самому себе 314 раз, сумма почти достигнет π, но не превысит его.

Напомню: таким способом мы выясняем, сколько переходов по фазовой диаграмме потребуется, чтобы добраться до финишной области. Число переходов и есть число столкновений. Значит, при отношении масс 1:10 000 кубики столкнутся 314 раз.

Аналогично рассуждаем для отношения 1 : 1 000 000. На диаграмме ему соответствует угол Θ = arctan(1/1000), который очень близок к 1/1000. Теперь нужно найти наибольшее число, на которое можно умножить Θ, не превысив π. Как и при точном значении 1/1000, ответ равен 3141.

Так мы получаем первые четыре цифры числа π. Причина в том, что его десятичная запись показывает, сколько в нём помещается тысячных долей. Это объясняет и то, почему при отношении масс 1 000 000 : 1 кубики сталкиваются 3141 раз.

В основе рассуждения — свойство, согласно которому арктангенс малого числа почти равен этому числу. Иными словами, тангенс малого угла приблизительно равен самому углу.

Этому есть наглядное геометрическое объяснение. На единичной окружности тангенс заданного угла равен высоте небольшого треугольника, делённой на его ширину.

Когда угол становится очень малым, ширина треугольника почти равна единице, а его высота практически совпадает с длиной дуги окружности. По определению, эта длина равна Θ.

Более строго это подтверждается разложением tan(Θ) в ряд Тейлора: погрешность приближения имеет порядок третьей степени. Например, tan(1/100) отличается от 1/100 всего примерно на 1/1 000 000.

Поэтому даже после 314 шагов ошибка, вызванная заменой истинного значения arctan(1/100) на приближение 0,01, не успеет накопиться настолько, чтобы изменить результат.¹

Заключение

Подведём итог. При столкновениях траекторию изменения скоростей кубиков можно описать, проводя прямую через окружность на фазовой диаграмме. Каждая кривая на таком графике наглядно представляет один из законов сохранения.

Особенно интересно, что именно закон сохранения энергии создаёт ту самую окружность, из которой в итоге возникает число π в подсчёте столкновений.

Точнее говоря, благодаря свойствам вписанных углов движение по окружности происходит равными шагами: каждый раз система смещается на угол 2Θ.

Поэтому задачу можно сформулировать иначе: вместо подсчёта столкновений выяснить, сколько раз нужно прибавить 2Θ, чтобы сумма превысила 2π.

Если Θ = 0,001, ответ будет начинаться с тех же цифр, что и число π.

Поскольку при малых x значение arctan(x) почти совпадает с x, угол Θ при отношении масс, равном степени 100, оказывается настолько близок к своему приближённому значению, что подсчёт даёт тот же результат.

Ещё раз подчеркну, что фазовое пространство помогло нам превратить сложную динамическую задачу в геометрическую. Этот подход важен для многих областей математики — от дифференциальных уравнений и теории хаоса до других разделов динамики. Если представить состояние системы одной точкой в абстрактном пространстве, сложные процессы становится проще исследовать геометрическими методами.

Я повторяю эту мысль, потому что хочу, чтобы вы запомнили не только эффектную головоломку с неожиданным появлением π, но и более глубокую математическую связь, которая за ней стоит.

Если это объяснение вас удовлетворило, не спешите радоваться: существует и другой взгляд на задачу — ещё более изящный и остроумный. Математик Гальперин в своей работе о данном феномене проводит удивительную параллель между движением кубиков и лучом света, отражающимся между двумя зеркалами.

Самое интересное я оставил напоследок. До встречи в следующем уроке!

Сноски

1. Разница между arctan(x) и x могла бы повлиять на итоговый подсчёт лишь в одном случае: если бы среди первых 2n цифр числа π последние n цифр подряд оказались девятками. Вероятность такого события крайне мала.

Например, среди первых 100 миллионов цифр π самая длинная последовательность девяток составляет всего восемь знаков. Чтобы же подсчёт дал сбой, потребовалась бы цепочка длиной в 50 миллионов девяток!

Тем не менее строго доказать это непросто. Вопрос связан с открытой проблемой о том, является ли π «нормальным» числом, то есть ведут ли себя его цифры примерно как элементы случайной последовательности. В статье Гальперина это утверждение остаётся гипотезой; подробнее о нём говорится в разделах 9 и 10. ↩

 

Источник