Как ведёт себя броуновская частица, пока за ней никто не наблюдает?

1 час назад Прокомментировать Просмотры: 0

Рис. 1. Воспроизведение рисунка из книги Перрена Les Atomes, показывающего движение трёх коллоидальных частиц, наблюдавшееся под микроскопом. Источник: статья Brownian motion из Википедии.

В основе теории броуновского движения лежит стохастическое уравнение Ланжевена. Как отмечалось в предыдущих публикациях, именно физическая теория наделяет смыслом проводимые эксперименты. С этой позиции формальный ответ на вопрос из заголовка таков: броуновская частица перемещается случайным образом, и это практически всё, что мы можем утверждать, — её траектория нам неизвестна. Задача настоящей статьи — подробнее разобрать, что в действительности происходит, когда движение броуновской частицы изучают экспериментально.

Сначала рассматривается безынерционное стохастическое уравнение Ланжевена, после чего показано, как один и тот же математический аппарат выглядит с точки зрения математика и с точки зрения физика. Формально физическая величина (коэффициент диффузии) оказывается связана с моментом случайной величины (средним квадратом смещения частицы). Следовательно, измеренное в эксперименте положение броуновской частицы — это результат испытания случайной величины, а выборка таких измерений позволяет оценить физическую величину как момент этой случайной величины.

Проведённый анализ подтверждает сформулированный выше вывод: теория определяет вероятность перехода частицы из одного состояния в другое, поэтому до измерения можно говорить лишь о вероятности обнаружить частицу в той или иной точке. Далее в обсуждении рассматривается связь случайной величины с реальным миром и вопрос о достоверности экспериментов. В случае броуновского движения источником случайности служат флуктуации. Переход к квантовой статистической механике переносит вопрос о происхождении стохастичности на иной уровень, однако не меняет сути разговора о достоверности экспериментальных результатов.

Введение
Стохастическое уравнение Ланжевена
Движение броуновской частицы глазами математика
Движение броуновской частицы глазами физика
Обсуждение
Список литературы

Введение

Экспериментальные исследования броуновского движения доказали реальность флуктуаций и во многом способствовали признанию существования атомов в начале XX века. Глубокий анализ этих событий приведён в книге Смита и Сета «Броуновское движение и молекулярная реальность». Эксперименты опирались на теорию броуновского движения, которая начала складываться в работах Мариана Смолуховского и Альберта Эйнштейна, а завершил её Поль Ланжевен. В Википедии можно найти рисунок с траекториями броуновских частиц по наблюдениям Жана Перрена (рис. 1). Прямые линии соединяют положения частицы, зафиксированные каждые 30 секунд. Эти линии следует понимать не как реальную траекторию частицы, а как связь между предыдущим и последующим измерениями её положения.

В предыдущей статье «Математика, физика и мир: Проблема координации» исследовалось взаимодействие теоретической и экспериментальной физики на примере детерминированных теорий. Обращение к упрощённому стохастическому уравнению Ланжевена позволяет распространить это обсуждение на случаи, где фигурируют вероятности и случайные величины. Вероятности вошли в молекулярно-кинетическую теорию во второй половине XIX века, но сама теория применялась для объяснения опытов на уровне механики сплошных сред, где вероятности возникали лишь как ошибки воспроизводимости. Экспериментально измеряемые величины, связанные с вероятностями на уровне самой физической теории, впервые появились именно при изучении броуновского движения.

Стохастическое уравнение Ланжевена

Эйнштейн связал средний квадрат проекции смещения броуновской частицы x = x₁ ‐ x₀ на выбранную ось (далее — просто смещение) за время t = t₁ ‐ t₀ с коэффициентом диффузии D:

$D=(k_{B}T)/(6\pi r\eta)$

Благодаря этому по среднему квадрату смещения можно в итоге определить постоянную Больцмана.

Уравнение Эйнштейна неявно предполагает, что смещение броуновской частицы — случайная величина. Упрощённое уравнение Ланжевена для безынерционного движения позволяет рассмотреть это обстоятельство подробнее. Движение броуновской частицы характеризуется временем релаксации, которое зависит от жидкости и радиуса частицы; будем считать, что оно меньше одной микросекунды. Для простоты далее принимается 2D=1 — этого всегда можно добиться выбором единиц измерения. Поэтому в последующих уравнениях фигурирует только время, без коэффициента диффузии.

Если положение частицы измеряется через интервалы, намного превышающие время релаксации, её движение описывается упрощённым уравнением Ланжевена, в котором отсутствует слагаемое, учитывающее инерцию:

$dX/dt=\xi$

Здесь X — случайная величина, связанная со смещением частицы, а ξ — случайная сила, действующая на частицу в жидкости вследствие флуктуаций. Если представить случайную силу ξ в виде белого шума, получается хорошее описание результатов измерений.

Решением безынерционного уравнения Ланжевена с белым шумом ξ служит винеровский процесс (см. лекции Дёринга «Математические основы стохастических процессов»):

Винеровский процесс определяется распределением вероятности перехода частицы из состояния 0 в состояние 1:

$\rho(x_{1},t_{1};x_{0},t_{0})=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{1}-t_{0})}}exp\left(-\frac{1}{2}\frac{(x_{1}-x_{0})^{2}}{(t_{1}-t_{0})}\right)$

Дисперсия этой величины, то есть средний квадрат смещения, равна t = t₁ ‐ t₀. С учётом опущенного множителя 2D мы получаем описание стохастического процесса, из которого следует уравнение Эйнштейна для броуновской частицы.

На рисунке 2 показано, как распределение вероятности меняется со временем. В момент t₀ частица находилась в точке x₀=0. При t₁=t₀ распределение вырождается в дельта-функцию: в момент t₀ частица находилась в x₀=0 с вероятностью единица. Спустя некоторое время положение частицы описывается нормальным распределением с дисперсией t₁ ‐ t₀. Таким образом, с течением времени растёт вероятность обнаружить частицу на всё большем удалении от x₀. Если частица заключена в закрытом сосуде, то отражающие граничные условия на его стенках приводят к тому, что с ростом времени распределение стремится к равномерному: вероятности обнаружить частицу в любой точке сосуда выравниваются.

Рис. 2. Кривые распределения вероятности обнаружения броуновской частицы через заданное время. Источник: статья Brownian motion из Википедии.

Допустим, спустя некоторое время положение частицы измерено снова. В этот момент распределение вероятности вновь превращается в дельта-функцию с измеренной координатой, а дальше продолжает действовать то же самое распределение, только индексы 0 и 1 заменяются на 1 и 2. Винеровский процесс — марковский процесс без памяти, и вероятность перехода из заданного состояния в следующее определяется приведённой выше формулой, которая остаётся неизменной на протяжении всего процесса.

Измерения Перрена, показанные на рис. 1, представляют собой винеровский процесс с интервалом наблюдения 30 с. Аналогичный процесс можно смоделировать с помощью генератора псевдослучайных чисел. На рисунке 3 приведены пять таких траекторий, а серым цветом показано изменение стандартного отклонения относительно начальной координаты:

Рис. 3. Пять траекторий винеровского процесса. Источник: статья Wiener process из Википедии

Для построения графика задаётся интервал времени, после чего генератор псевдослучайных чисел, опираясь на приведённое распределение вероятности, выдаёт численные значения новой координаты. Кривая не отображает путь между двумя точками: в ходе винеровского процесса частица попросту переходит из состояния {t_i, x_i} в состояние {t_i+1, x_i+1}. Интервал времени можно уменьшить, но движение частицы при более мелком шаге будет выглядеть так же, как показанная кривая. Говорят, что винеровский процесс самоподобен; соответствующее видео есть в статье Википедии Wiener process.

И последнее замечание. Интервал времени не стоит делать слишком малым. С математической точки зрения это допустимо, но если выбранный интервал окажется короче времени релаксации частицы, физический смысл теряется. В таком случае необходимо использовать полное уравнение Ланжевена, которому соответствуют более сложные распределения вероятности.

Движение броуновской частицы глазами математика

Далее внимание сосредоточено на связи математики и физики в экспериментальном изучении броуновского движения. Случайный процесс отличается от случайной величины тем, что в него введено время. Распределение вероятности становится функцией времени, как видно на рис. 2, и поэтому вероятность того или иного смещения частицы зависит от выбранного временного интервала. Для простоты сначала рассмотрим винеровский процесс с математической точки зрения при постоянном промежутке между измерениями: t_n+1 — t_n = const. Это соответствует вопросу о том, каким окажется смещение частицы за заданный интервал, а ответ даёт случайная величина с одинаковым распределением вероятности на каждом шаге.

Получение конкретного числового значения случайной величины называется испытанием. Повторяя его, мы получаем выборку значений — подобно тому, как это было в опыте Перрена. Вероятность получить определённое значение для непрерывного распределения принимается равной f(x)dx. Функцию распределения можно приближённо разбить на конечное число интервалов, взяв в качестве вероятности её среднее значение на каждом из них. Тогда испытание случайной величины уподобляется броску игральной кости особой формы, число граней которой равно числу выбранных интервалов, а вероятность выпадения каждой грани соответствует вероятности своего интервала.

Выборку можно использовать для оценки моментов случайной величины, например её дисперсии. Так, в уравнении Эйнштейна выборка смещений служит для оценки дисперсии, а значит, и коэффициента диффузии. Обращу внимание на разницу между самой случайной величиной и числовыми значениями, получаемыми в ходе испытаний. Случайная величина в процессе испытаний не изменяется, поскольку её распределение вероятности остаётся прежним. В метафоре с игральной костью это означает, что кость не меняется, но каждый бросок даёт новое число.

Как уже говорилось, винеровский случайный процесс — марковский процесс без памяти. Это значит, что при любой временной дискретизации, например {t₀, t₁, t₂, t₃, …}, вероятность перехода из предыдущего состояния в последующее задаётся распределением из предыдущего раздела с соответствующей заменой индексов. Итак, с математической точки зрения существует случайная величина, распределение которой зависит от времени. Далее предполагается, что испытание этой величины можно провести — например, выполнив измерения в физическом процессе или воспользовавшись генератором псевдослучайных чисел. Однако предсказать результат испытания до его проведения нельзя.

Движение броуновской частицы глазами физика

В физике проводятся реальные эксперименты, и выборку формируют сами природные явления. Так, траектории броуновских частиц в опытах Перрена получены в результате измерений. Рассмотрим этот вопрос внимательнее. Траектория броуновской частицы непрерывна, поскольку непрерывную траекторию описывают и винеровский процесс, и полное стохастическое уравнение Ланжевена.

Сам процесс измерения положения частицы в теорию броуновского движения не входит. Как правило, измерение основано на физике взаимодействия света с частицей: так, Перрен наблюдал за движением частицы в жидкости под микроскопом. Акт измерения занимает некоторое время и сопровождается погрешностью, но для простоты эти эффекты далее не учитываются. Теория броуновского движения нужна для ответа на вопрос о том, как именно частица движется. Именно здесь возникает распределение вероятности; оно отражает случайный характер локальных флуктуаций, из-за которых равнодействующая сила отлична от нуля и частица приходит в движение.

Таким образом, измерение положения броуновской частицы представляет собой испытание случайной величины, заданной приведённым выше распределением вероятности. Последовательность измерений во времени соответствует одной из реализаций винеровского процесса. Иными словами, с точки зрения теории броуновского движения измерение положения частицы играет ту же роль, что и бросок кости в метафоре испытания случайной величины.

Это утверждение имеет принципиальное значение для дальнейшего рассмотрения. В самом измерении положения частицы, если опираться на теорию взаимодействия света с частицей, нет элемента случайности, за исключением погрешности измерения. Случайность, о которой идёт речь в этой статье, возникает при рассмотрении того, как частица движется в промежутке между двумя последовательными измерениями. Теория броуновского движения задаёт распределение вероятности, и потому можно сказать, что траектория частицы нам неизвестна, но вероятность обнаружить её в определённой точке пространства через заданное время мы предсказать можем.

В книге Баса ван Фраассена «Научное представление», где обсуждается связь физической теории с реальными измерениями, вводятся два критерия:

Определённость значения: каждая физическая величина в любой момент времени имеет некоторое значение, и при измерении может быть обнаружено одно из этих значений.
Достоверность измерения: измерение величины даёт её действительное значение.

В таком виде критерии без затруднений применимы к обычным экспериментам на основе детерминированной физической теории. Первый критерий выполняется автоматически. Вместе с тем теория задаёт концептуальную модель идеального эксперимента, а достоверность измерений (второй критерий) проверяется сопоставлением условий реального эксперимента с этой идеальной моделью. Если модель не позволяет учесть какие-либо особенности реального опыта, в результаты измерений вносятся поправки (см. предыдущую статью «Математика, физика и мир: Проблема координации»).

Как уже отмечалось, экспериментальное исследование движения броуновской частицы опирается на две разные теории. Само измерение основано на теории взаимодействия света с частицей. В этом случае оба критерия остаются прежними. С другой стороны, критерии необходимо обсудить и с точки зрения теории броуновского движения, поскольку именно ей принадлежит экспериментальное определение коэффициента диффузии.

В теории броуновского движения первый критерий (определённость значения) выполняется, так как траектория частицы непрерывна. Стоит упомянуть неудачные попытки физиков конца XIX века измерить скорость броуновской частицы. Решающим шагом к успеху экспериментов стал отказ от этих попыток и переход к измерению смещения частицы (см. книгу Гельфера). Теория даёт простое объяснение: производная траектории винеровского процесса не определена ни в одной точке, ведь это один из примеров непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции.

Теперь обратимся ко второму критерию ван Фраассена (достоверность измерения) в контексте теории броуновского движения. Движение частицы описывается стохастическим уравнением, и всё же по результатам измерений можно определить постоянную Больцмана. Это требует иной трактовки второго критерия: теперь достоверность означает, что измерение положения частицы несёт информацию о свойствах случайной величины. Концептуальная модель броуновского движения связывает физические величины с моментами случайной величины. Иначе говоря, теория задаёт распределение вероятности, измерения дают оценки свойств этого распределения, а те, в свою очередь, — оценки физических величин.

Следовательно, достоверность измерений в теории броуновского движения отличается от достоверности в детерминированных теориях. Здесь она означает, что выборка выполненных измерений позволяет надёжно оценить нужный момент случайной величины.

Вспомним об ошибках воспроизводимости в обычных экспериментах. Они вынуждают повторять измерения и, как следствие, применять аппарат математической статистики. Однако ошибки воспроизводимости не входят в детерминированную теорию, и сама теория не способна объяснить их появление. Физическая величина отождествляется с математическим ожиданием результатов измерений, тогда как остальные моменты случайной величины связаны с погрешностями воспроизводимости и не имеют аналогов в используемой физической теории.

Распределение вероятности в теории броуновского движения не связано с ошибками воспроизводимости — оно составляет часть самой теории. Поэтому выборка измерений положения броуновской частицы существенно отличается от выборки измерений физической величины в рамках детерминированной теории. В случае броуновского движения достоверность относится к возможности оценить моменты вероятностного распределения, заданного физической теорией.

Обсуждение

Сегодня проводится множество экспериментов по изучению движения броуновских частиц во внешних силовых полях с применением стохастического уравнения Ланжевена (см. обзор Зайферта «Стохастическая термодинамика»). Полученные результаты хорошо согласуются с предсказаниями: выборки подтверждают распределения вероятности, следующие из теории броуновского движения. Предложенная трактовка второго критерия ван Фраассена хорошо согласуется с такими экспериментами, поскольку достоверность в них связана с оценкой моментов случайной величины, определяемой физической теорией.

Возникает вопрос: что означает распределение вероятности применительно к описанию природных явлений? Иными словами, что успех стохастического формализма

Источник