Как связаны между собой выборы и бутылка Клейна

Свежая топологическая концепция увязывает вековой парадокс голосования с необычной поверхностью, лишённой привычного разделения на внутреннюю и внешнюю стороны

С чисто математической точки зрения демократические процессы почти невыполнимы.

Подобное утверждение могло бы стать завязкой для очередного многочасового подкаста кремниеводолинского технократа, однако на деле речь заходит о крайне сложной задаче: как трансформировать индивидуальные запросы группы людей в единогласный вердикт?

Еще в 1785 году французский мыслитель и математик Никола де Кондорсе установил, что волеизъявление большинства порой способно завести процедуру голосования в логический тупик. При наличии трёх или большего числа кандидатов каждый участник может выстроить свои приоритеты предельно логично, но после подсчета бюллетеней вдруг выясняется, что каждый претендент уступает какому-либо оппоненту в дуэльном сравнении. Простые корректировки регламента здесь не помогают. Как позднее доказал экономист Кеннет Эрроу, любой механизм суммирования личных мнений неизбежно противоречит хотя бы одному базовому требованию демократии, кажущемуся абсолютно очевидным.

Теперь же трио ученых продемонстрировало, что парадокс Кондорсе, насчитывающий уже 240 лет своей истории, обладает вполне конкретной геометрией — бутылкой Клейна, особой поверхностью без изолированных друг от друга изнанки и лица. Полученный прорыв предоставляет исследователям мощный инструмент для изучения того, почему абсолютно здравые правила коллективного выбора порой взаимно исключают друг друга.

Каждый кому‑нибудь проигрывает

Когда альтернатив всего две, выявить народную волю элементарно: если нет абсолютной ничьей, выигрывает фаворит большинства. Тем не менее стоит включить в борьбу третьего участника, как ситуация стремительно усложняется. Найти консенсус касательно критериев триумфа внезапно становится непросто.

Можно просто отдать победу лифтеру по числу набранных баллов, как принято во многих электоральных системах. Допустим, Алиса набирает 35 процентов, Боб — 34, а Кэрол — 31. Формально триумфатор — Алиса. Но если все приверженцы Кэрол ставят Боба выше Алисы, то 65 процентов граждан предпочли бы видеть во главе именно Боба. Исходя из одного из наиболее логичных критериев демократического большинства, победил не тот кандидат.

Спешим успокоить конспирологов: все бюллетени учтены безупречно. Проблема кроется в самом определении понятия «победа».

Один из путей решения — попросить электорат проранжировать претендентов, а затем определить триумфатора, способного одолеть любого соперника в парном противостоянии. Но взглянем на следующий расклад:

• Треть избирателей ставит Алису выше Боба, а Боба — выше Кэрол.

• Треть отдает предпочтение Бобу перед Кэрол, а Кэрол — перед Алисой.

• Оставшаяся треть предпочитает Кэрол Алисе, а Алису — Бобу.

Давайте сопоставим их попарно:

• Алиса обходит Боба, поскольку первая и третья фракции выбирают именно её.

• Боб выигрывает у Кэрол, так как за него выступают первая и вторая группы.

• Кэрол побеждает Алису силами второй и третьей коалиций.

У каждого отдельного гражданина логика безупречна, однако в совокупности они формируют замкнутый порочный круг.

С этим самым парадоксом Кондорсе, горячий приверженец республиканских идеалов, столкнулся на закате XVIII столетия. Занимая пост секретаря Французской академии наук, он стремился выработать справедливый регламент кооптации новых участников. (Обладая весьма передовыми для той эпохи взглядами, Кондорсе также подверг обструкции дискриминацию половины населения, открыто вступшись за избирательные права женщин в своей программной работе 1790 года. Спустя несколько лет, в разгар якобинского террора, восславленная им революция бросила его в заточение, где он трагически погиб через сорок восемь часов после задержания.)

На протяжении веков ученые-теоретики, политологи и общественные деятели предлагали всевозможные избирательные модели в надежде преодолеть тупик Кондорсе. Тем не менее у каждой схемы обнаружились уязвимости. Стоит переключить механизм подсчета, как победителем может оказаться совершенно другой человек, даже если сами избиратели и их приоритеты останутся прежними.

В 1951 году экономист Кеннет Эрроу наглядно продемонстрировал масштаб этой коллизии. Он попытался отыскать такую систему голосования, которая гарантировала бы непротиворечивость и одновременно отвечала ряду базовых демократических критериев. Так, гражданам позволено выстраивать кандидатов в произвольном порядке, причем ни один единоличный субъект не должен диктовать исход кампании (никаких узурпаторов). Если все единодушно предпочитают одну альтернативу другой, общий рейтинг обязан отражать это единодушие. Наконец, относительное расположение двух претендентов должно зависеть исключительно от их личного противостояния: позиции условной Кэрол не должны влиять на то, опередит ли Алиса Боба в финальном протоколе.

Каждое требование кажется абсолютно здравомыслящим. И тем не менее Эрроу доказал математическую невозможность удовлетворить их все разом. «Весьма часто подлинной воли народа попросту не существует», — констатировал Иэн Маклин из Оксфорда.

Данный вывод, вошедший в науку под именем теоремы Эрроу о невозможности, перенес парадокс Кондорсе далеко за рамки простого правила большинства, установив фундаментальный предел для любых попыток сведения частных мнений к общему знаменателю. Различные избирательные практики нарушают разные аксиомы Эрроу, но абсолютного идеала не существует. «Архитектору выборов всегда приходится выбирать, какое именно условие придется принести в жертву ради наименьшего ущерба», — поясняет Маклин.

Желая глубже проникнуть в суть проблемы, в 1980 году математик и экономист Грасиэла Чичильниски обратилась к топологии — разделу математики, где фигуры исследуются сквозь призму непрерывных деформаций и растяжений без разрывов. В одном из примечаний она предположила, что парадокс Кондорсе по своей природе является сугубо топологическим феноменом.

Современные исследователи блестяще подтвердили ее догадку.

Геометрия парадокса

Итак, как же выглядит визуальное воплощение парадоксальных выборов?

Для ответа на этот вопрос авторы нового исследования взяли за основу наработки Юлия Барышникова, предложенные им в 1993 году. Возьмем бюллетень отдельного избирателя в условиях трех кандидатов. Существует шесть возможных вариантов ранжирования. Каждый из них удобно представить в качестве треугольника:

Вершины такой фигуры символизируют парные дуэли: Алиса сильнее Боба, Боб превосходит Кэрол, а Алиса одолевает Кэрол.

Если взять другой бюллетень, где Алиса лидирует, Кэрол идет второй, а Боб замыкает тройку, он совпадет с первым в двух пунктах (Алиса выше остальных). Соответственно, их треугольники обладают общей парой вершин и могут быть объединены по общему ребру.

Связав все шесть треугольников, отображающих полный спектр позиций, получаем непрерывную ленту:

Края нашей полосы тоже коррелируют между собой. Свернув ее в кольцо и склеив противоположные участки, мы получим простую трубку с открытыми торцами:

Именно эту конструкцию задействовал Барышников при построении своего топологического обоснования теоремы Эрроу.

Однако взглянем на края полученного цилиндра. Вдоль одного венца зафиксированы циклические коллизии: Алиса лучше Боба, Боб лучше Кэрол, а Кэрол лучше Алисы. Противоположный край транслирует тот же цикл, но в обратном направлении.

Перед нами те самые парадоксальные петли Кондорсе. Долгое время исследователи оставляли эти края в стороне. Тем не менее в апреле 2025 года аспирант Сиднейского университета Ори Ливсон решил вернуться к данному вопросу. В конце концов, циклические связи вполне естественны для ряда сфер — взять хотя бы игру «камень, ножницы, бумага». Проблема возникает тогда, когда общество ждет от подобных связей линейной упорядоченности. Ливсон задался целью сконструировать топологическую модель, способную разделять нормальные циклические паттерны и тупиковые ситуации.

Объединив усилия со своим научным руководителем Михаилом Прокопенко и коллегой Сиддхартхом Притамом из Математического института Ченнаи, он приступил к моделированию.

Обе грани трубки сводятся к единому абсурдному выводу: каждый кандидат превосходит любого оппонента. Фактически они сообщают об одном и том же. С точки зрения топологии, «если два объекта тождественны, их следует соединить», отмечает Ливсон.

Но как осуществить это соединение правильно?

Если просто свести торцы трубки вместе, образуется классический тор (поверхность бублика). Однако при таком простом сочленении смежные грани склеятся в противоречивые комбинации — скажем, предпочтение «Боб выше Алисы, а Алиса выше Кэрол» окажется связано с версией «Боб выше Кэрол, а Кэрол выше Алисы». Ученим требовалось избежать подобных алогизмов.

Выход нашелся в хитроумном перекруте. Изменив порядок предпочтений на одном из краев на обратный перед их стыковкой, исследователи добились эквивалентности циклов. «Склеивание через инверсию — единственный жизнеспособный сценарий», — подчеркивает Ливсон.

Если перекрутить бумажную ленту и замкнуть ее концы, возникает знаменитая односторонняя лента Мёбиуса. А что произойдет при скручивании полого цилиндра? Результат поражает воображение: перед нами предстает бутылка Клейна.

Подобно листу Мёбиуса, бутылка Клейна обладает лишь одной стороной, не имея привычного разграничения на внутреннее и внешнее пространство. Но вдобавок у нее полностью отсутствуют границы. (Кажущееся пересечение стенок фигуры возникает лишь в нашем трехмерном измерении; математики успешно преодолевают этот баuar, помещая модель в четырехмерное пространство, где она замыкается без самопересечений.)

В итоге научная группа получила искомую модель. Подобно тому как отдельный избиратель может обладать кристально четкими приоритетами, в то время как мнение общества в целом рассыпается на противоречия, каждый микроскопический фрагмент бутылки Клейна выглядит двусторонним, но эту двойственность невозможно последовательно распространить на всю структуру. И там, и тут локальная логика бессильна справиться со сборкой целостной картины.

Для Ливсона, Притама и Прокопенко данная аналогия ставит куда более масштабный вопрос: способна ли топология пролить свет на иные фундаментальные барьеры в точных науках? Возможно, придав геометрические очертания другим теоремам о невозможности, мы обнаружим за ними глубокие универсальные закономерности.

Что же все это знаменует для практической демократии?

Топологический аппарат позволяет изящно визуализировать скрытые изъяны электоральных процедур, однако выбор конкретной избирательной системы по-прежнему сводится к поиску наименьшего зла. Математика лишь очерчивает границы неизбежных компромиссов, тогда как вектор предпочтений задают наши ценностные ориентиры. Никакие формулы не сделают этот выбор за общество. «В конечном счете это вовсе не математическая дискуссия, — резюмирует Маклин. — Это диспут о ценностях».

 

Источник