Как решать «упрямые» уравнения?

20.05.2021

Учителя математики сотни лет мучили учеников, загоняя коз в поля странной формы. Из этой статьи вы узнаете, почему одна задачка о пасущихся козах уже более века не даёт покоя математикам. Если вы когда-нибудь сдавали экзамен по математике, то наверняка вам задавали задачку про пасущуюся козу. Её смысл заключается в следующем: рассеянный фермер оставил козу привязанной к столбу у забора или сарая, и теперь она подъедает вокруг себя всю траву, до которой может дотянуться. Ваша задача — рассчитать общую площадь, на которой может пастись коза. Давно ли вы проходили математическое тестирование?

Учителя математики сотни лет мучили учеников, загоняя коз в поля странной формы, но одна конкретная проблема с пасущимися козами не даёт покоя математикам уже более ста лет. До прошлого года им удавалось решать такие проблемы лишь приблизительно, и для получения точного решения потребовалось применение нового подхода с использованием самых современных математических методов. Давайте посмотрим, как, казалось бы, элементарная задачка, предлагаемая студентам на экзамене по математике, может превратиться в проблему, уже более века ставящую математиков в тупик.

В самом простом варианте задачи голодное животное привязывается к боковой стенке длинного сарая верёвкой фиксированной длины.

Обычно в таких задачах просят определить площадь области, в которой может перемещаться коза на верёвке. Как выглядит эта область?

Натягивая верёвку, коза описывает полукруг и, соответственно, может дотянуться до всего, что находится внутри этого полукруга. Вот формула площади круга:

Значит, площадь полукруга в два раза меньше:

$A = frac12πr^2$

При длине верёвки 4 коза выщипает площадь (в квадратных единицах), равную

$A = frac12π × 4^2 = 8π$

Решение этой элементарной задачи не представляет особой сложности ни для математика, ни для козы, поэтому давайте сделаем её интереснее. Что, если коза будет привязана к боковой стенке сарая квадратной формы?

Предположим, что длина верёвки и длина стороны сарая равны 4 и что верёвка прикреплена к середине одной из сторон. На какой площади теперь может пастись коза? Коза по-прежнему может пастись в том же полукруге, что и в первой задаче.

Но она также может заходить за угол сарая. Дойдя до угла, коза может использовать ещё два участка верёвки, то есть может выщипать ещё четверть круга радиусом 2 по обе стороны сарая.

Коза может попасть в полукруг радиуса 4 плюс ещё в две четверти круга радиуса 2, общая площадь которых в квадратных единицах составляет

$A = frac12π × 4^2 + frac14π × 2^2 + frac14π × 2^2 = 10π$

Задачу можно усложнить, изменив форму препятствия. Я видел задачи с козами, привязанными к треугольникам, шестиугольникам и даже к вогнутым формам.

Также можно задать новое условие математической задачи, изменив её вопрос на противоположный: не указывать длину верёвки и просить найти площадь, а указать площадь и просить найти длину верёвки.

Давайте вернёмся к нашему квадратному сараю и зададим новый вопрос: какой длины должна быть верёвка, чтобы коза имела доступ к 50 квадратным единицам площади? Постановка математической задачи под новым углом может вдохнуть новую жизнь в старую идею, но при этом решение такой задачи может оказаться гораздо более сложным.

Во-первых, обратите внимание, что форма области зависит от длины верёвки. Например, если длина верёвки меньше 2 единиц, коза не сможет обогнуть угол сарая, поэтому формой области будет полукруг.

Если длина верёвки больше 2 единиц, коза сможет обогнуть угол.

А если длина верёвки будет больше 6 единиц, коза может добраться до задней части сарая и выщипать там ещё пару четвертей круга. (Если верёвка достаточно длинная, области будут перекрываться. Соответствующий пример приведён в упражнениях в конце статьи.)

Нам необходимо найти длину верёвки, при которой общая площадь будет составлять 50 квадратных единиц. Математически это можно выполнить следующим образом: подставить в формулу площадь, равную 50, и решить это уравнение относительно r. Но для каждой области имеется своя формула расчёта площади. Какую же использовать?

Для того чтобы это выяснить, проведём небольшие вычисления. Если r ≤ 2, площадь области составит

$A = frac12πr^2$

Самая большая площадь будет при r = 2, то есть общая площадь составит

$A = frac12π × 2^2 = 2π ≈ 6,28$

Это меньше 50, поэтому нам нужно более 2 единиц верёвки.

Если 2 < r ≤ 6, мы получаем полукруг плюс две четверти круга. Радиус полукруга равен r, а радиус четверти круга равен r – 2, так как для того, чтобы добраться до угла, потребуется две единицы верёвки, а оставшаяся верёвка выступает в качестве радиуса четверти круга с центром в углу сарая.

Площадь этого полукруга равна

$frac12πr^2$

А площадь каждой четверти круга равна

$frac14π(r – 2)^2$

Просуммировав выражения, получим общую площадь:

$begin{aligned}A&=frac{1}{2} pi r^{2} +frac{1}{4}pi (r-2)^{2} + frac{1}{4}pi (r-2)^{2}\[1pt] \A &=frac{1}{2} pi r^{2} + frac{1}{2}pi (r-2)^{2}.end{aligned}$

Наибольшую возможную площадь мы получим при r = 6, что даёт

$A = frac12π × 6^2 + frac12π × 4^2 = 26π ≈ 81,68$

квадратных единиц. Поскольку 50 < 26π, это означает, что значение r, дающее 50 квадратных единиц площади, должно быть меньше 6.

Знание того, что значение r должно быть от 2 до 6 единиц, снимает вопрос о том, какую формулу для расчёта площади нужно использовать: если 2 < r ≤ 6, площадь

$A = frac12πr^2 + frac12π(r – 2)^2$

Чтобы найти точное значение r, которое даст 50 квадратных единиц площади, составим такое уравнение:

$50 = frac{1}{2}πr^2 + frac{1}{2}π(r – 2)^2.$

Видите, я был прав, говоря, что «перевёрнутую» задачу решать сложнее, чем оригинальную: вместо того чтобы просто вычислить площадь, которую может выщипать коза, нам нужно решить уравнение, чтобы определить длину верёвки. Для этого нужно выделить r. Чтобы перенести r в одну сторону уравнения и узнать, таким образом, его точное значение, используем арифметические и алгебраические методы.

Сначала наше уравнение может показаться немного пугающим, но по отношению к r это всего лишь квадратное уравнение. Существует стандартная процедура решения таких уравнений: представим его в форме

а затем воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений. Немного алгебры и арифметики делают своё дело.

$50 = frac{1}{2}πr^2 + frac{1}{2}π(r – 2)^2$ $frac{100}{pi} = r^2 + (r – 2)^2$ $frac{100}{pi} = 2r^2 – 4r + 4$ $0 = 2r^2 – 4r + 4 – frac{100}{pi}.$

Возможно, это не самое красивое математическое выражение в мире, но это всего лишь квадратное уравнение, с помощью которого можно найти точное значение r. Получаем ответ:

Поскольку мы смогли выделить r в уравнении, теперь мы точно знаем, какой длины должна быть верёвка, чтобы получить площадь в 50 квадратных единиц. (Обратите внимание, что найденное нами значение r, как и предполагалось, находится в пределах от 2 до 6.)

Думаете, это самая заковыристая задача с козой у сарая? Как бы не так! Математики обнаружили, что задача становится ещё более сложной, если поместить козу внутрь сарая.

Поместим козу внутрь квадратного сарая с длиной стороны 4 и прикрепим верёвку к середине стены. Какой длины должна быть верёвка, чтобы коза могла выщипать половину площади внутри сарая?

Как было сказано выше, часть проблемы заключается в том, что форма области зависит от значения r. Чтобы получить половину площади квадрата, нужно, чтобы значение r было больше половины длины стороны сарая, но меньше полной длины стороны, что даёт нам примерно такую область.

Найти формулу для такой площади не так просто. Мы можем представить область как один сектор круга радиуса r плюс два правильных треугольника, а затем для получения формулы воспользоваться геометрическими навыками из курса средней школы. Но, как мы скоро убедимся, смешение кругов и треугольников приведёт к ряду проблем.

Начнём с треугольников. Согласно теореме Пифагора длины катетов в каждом правильном треугольнике равны

$sqrt{r^{2}-4}$

Таким образом, площадь одного из треугольников равна

$frac{1}{2}×2×sqrt{r^{2} – 4}=sqrt{r^{2} – 4}$

Поэтому суммарная площадь обоих треугольников равняется

$2sqrt{r^{2}-4}$

Перейдём к круговому сектору.

Площадь сектора равняется

$A = frac12r^2θ$

где θ — значение центрального угла (в радианах, не в градусах). Нам нужна формула для расчёта площади через r, для этого необходимо выразить угол θ через r. Для этого воспользуемся теоремой косинусов — самой недооценённой теоремой из школьного курса тригонометрии.

Применяя теорему косинусов к равнобедренному треугольнику со сторонами r, r и 4, получаем:

$4^2 = r^2 + r^2 - 2r^2cos{theta},$

и это уравнение можно решить для cosθ:

$cos{theta} = frac{2 r^{2}-16}{2 r^{2}} = frac{r^{2}-8}{r^{2}}$

Чтобы выделить θ, нужно взять обратный косинус, или арккосинус, от обеих сторон уравнения. Это даёт:

$theta = arccos{left(frac{r^{2}-8}{r^{2}}right)}$

Теперь у нас имеется угол θ, выраженный через r, поэтому площадь нашего сектора можно выразить только в r:

$A = frac12r^2theta$ $A = left(frac{r^{2}-8}{r^{2}}right) + 2sqrt{r^{2}-4}$

Окончательная формула площади — это сумма площади сектора и площадей двух треугольников, то есть:

Мы получили формулу для расчёта площади области, в которой может перемещаться коза внутри квадрата, полностью через r. Теперь нужно просто найти значение r, дающее козе доступ к половине площади. Площадь всего квадрата равна 16, поэтому нам остаётся только подставить в наше уравнение A = 8, решить его относительно r, и дело сделано.

$8 = left(frac{r^{2}-8}{r^{2}}right) + 2sqrt{r^{2}-4}$

Однако возникает одна небольшая проблема: это уравнение невозможно решить относительно r.

Вернее, это уравнение невозможно решить точно относительно r. Для приблизительного определения значения r можно использовать калькулятор (получится примерно 2,331), но выделить r в нашем уравнении нельзя. Сочетание в уравнении тригонометрических и полиномиальных функций создаёт непреодолимые препятствия для его точного разрешения относительно r.

Можно попытаться вывести r из функции арккосинуса, но для этого придётся поместить другие r в функцию косинуса. В любом случае наше уравнение будет содержать трансцендентную функцию, например экспоненциальную или тригонометрическую. Трансцендентные функции нельзя выразить в терминах обычных алгебраических операций, таких как сложение и умножение, и поэтому в общем случае трансцендентные уравнения не подлежат точному решению.

Эта особенность трансцендентных функций лежит в основе известной проблемы XIX века о пасущейся козе, помещённой внутрь круглого сарая. Как и в нашей задаче с квадратным сараем, задача XIX века состояла в том, чтобы определить, какой длины должна быть верёвка, чтобы коза могла выщипать половину области.

Доступная для козы область имеет форму «линзы» — два сложенных вместе круговых сегмента.

Площадь такой линзы можно, используя школьные знания по геометрии, определить по длине верёвки, однако формула получается намного сложнее, чем для квадрата. Если установить эту площадь равной половине площади круглого сарая, мы столкнемся с той же проблемой, что и при наших расчётах для козы внутри квадрата: Выделить r из уравнения не удастся. Значение r можно посчитать приближённо, но точно — никогда.

Подобное упрямство уравнения сродни упрямству козы, не находите? Более 100 лет математики пытались найти точное решение головоломки «коза в круге», но только в прошлом году немецкий математик наконец её разгадал. Для поиска точного значения r он использовал методы комплексного анализа — области математики, далёкой от геометрии кругов и квадратов, на которой основывается большинство задач о козах. И, хотя применение такого продвинутого математического инструмента, как контурный интеграл, для определения длины верёвки, к которой привязана коза, может показаться излишеством, всегда чувствуешь математическое удовлетворение после того, как делаешь то, что раньше считалось невозможным. И всегда существует вероятность, что эти новые методы, даже если они возникли в результате изучения детской задачки о козе, могут привести к открытиям, выходящим за границы деревенского сарая.

Упражнения

1. Если коза привязана к середине стороны квадратного сарая с длиной стороны 4 верёвкой длиной 8 единиц за пределами сарая, какова площадь области, которую может выщипать коза?

2. Если коза привязана к углу квадратного сарая с длиной стороны 4 верёвкой длиной 8 за пределами сарая, какова площадь области, которую может выщипать коза?

3. Предположим, что коза находится внутри равностороннего треугольника со стороной 4 и привязана к одной из его вершин. Какой длины должна быть верёвка, чтобы коза могла выщипать половину площади треугольника?

4. Если коза привязана к середине стороны квадратного сарая с длиной стороны 4 верёвкой длиной 10 за пределами сарая, какова площадь области, которую может выщипать коза?

Ответ на задачу 1

Область состоит из полукруга радиуса 8, двух четвертей окружности радиуса 6 и двух четвертей окружности радиуса 2. Поскольку 8 равно половине периметра сарая, два полукруга за сараем пересекаются в середине.

$frac12π × 8^2 + frac12π × 6^2 + frac12π × 2^2 = 52π$

Эта площадь состоит из трёх четвертей площади окружности радиуса 8 и двух четвертей площади окружности с радиусом 4.

И она равна

$frac{1}{2}π × 8^2 + frac12π × 6^2 + frac12 × 2^2= 56π$

Ответ на задачу 2

Эта область состоит из трёх четвертей окружности радиуса 8 и двух четвертей окружности радиуса 4.

И она равна

$frac34π × 8^2 + frac12π × 4^2 = 56π$

Подумайте, что произойдёт, если длина верёвки будет равна 10.

Ответ на задачу 3

Поскольку углы равностороннего треугольника равны 60°, доступная козе площадь составляет одну шестую часть круга радиуса r, площадь которой равна

$frac16πr^2$

Площадь равностороннего треугольника равна

$frac{sqrt{3}}{4}s^2$

Поэтому площадь треугольника с длиной стороны 4 равна

$frac{sqrt{3}}{4} × 4^2=4sqrt3$

Положим обе площади равными

$frac16πr^2 = frac12 × 4 sqrt3$

И с помощью этой формулы выразим r. Мы получим

$r=sqrt{frac{12 sqrt{3}}{pi}}$

Обратите внимание, что здесь мы можем точно определить r в отличие от случая, когда в области смешаны круговые секторы и треугольники.

Ответ на задачу 4

Площадь, по-видимому, состоит из полукруга радиуса 10, двух четвертей окружности радиуса 8 и двух четвертей окружности радиуса 4. Эта площадь составляет

$frac12π × 10^2 + frac12π × 8^2 + frac12π × 4^2 = 90π$

Но последние две четверти круга пересекаются за сараем.

Это перекрытие было учтено дважды, поэтому нам нужно вычесть его площадь из 90π. Область перекрытия можно представить как две шестые окружности радиуса 4 минус равносторонний треугольник со стороной 4. Площадь этой области составляет

$2 × frac16π × 4^2 - frac{sqrt{3}}{4} × 4^2 = frac{16}{3}π - 4{sqrt{3}}$

Таким образом, общая площадь равна

$90π - left(frac{16}{3} pi-4 sqrt{3}right) = frac{254}{3}π + 4 sqrt3$

Примечание: это пересечение было бы гораздо сложнее найти, если бы две окружности имели разные радиусы, именно поэтому так трудно найти площадь линзы, о которой говорилось выше.

Если вам интересна не только математика, но и её практические приложения, вы можете обратить внимание на курс по Data Science: область науки о данных развивается и будет актуальна как минимум в ближайшие десять лет.