Искусственный интеллект подтвердил квазигипотезу Римана: каковы дальнейшие шаги?

В отличие от прежних доказательств, созданных искусственным интеллектом, это уже изучили профессиональные математики. По мнению одного из них, его следствия «потрясают воображение».

Среди 377 достижений, представленных OpenAI 6 октября 2026 года, одно резко выделялось на общем фоне. Компания сообщила, что сумела доказать «квазигипотезу Римана», ослабленный вариант гипотезы Римана, которую по праву считают главной нерешённой задачей математики. Как отметил Джаред Дьюкер Лихтман из Стэнфордского университета, это «крупнейшее на сегодняшний день достижение ИИ в математике, и разрыв здесь огромен».

Гипотеза Римана не поддаётся решению уже свыше 160 лет. Её доказательство помогло бы математикам глубже понять природу простых чисел, одного из фундаментальных кирпичиков математики. И это лишь начало.

Даже следствия более скромного результата, касающегося квазигипотезы Римана, «потрясают воображение», считает Максим Радзивилл из Нью-Йоркского университета. «В каком-то смысле подавляющее большинство следствий гипотезы Римана уже вытекает из квазигипотезы Римана».

Кроме того, вопреки многолетним ожиданиям математиков, для этого доказательства не понадобились принципиально новые концепции. Вместо них удалось выявить скрытые связи между давно известными идеями. «Это неожиданный синтез хорошо знакомых методов», — отметил Александр Данн из Технологического института Джорджии.

В основе доказательства отчасти лежат методы, созданные Радзивиллом и Данном. Вместе с другими специалистами по теории чисел они стремятся разобраться в доказательстве и оценить его значение. Первые ответы уже появляются.

Дзета-функция и не только

Чтобы понять, о чём идёт речь в квазигипотезе Римана, нужно сперва познакомиться с самой гипотезой Римана. Когда на рубеже тысячелетий Математический институт Клэя объявил семь задач тысячелетия, гипотеза Римана выделялась даже среди них: она единственная перекочевала из знаменитого перечня ключевых математических проблем, который Давид Гильберт составил столетием раньше.

На первый взгляд гипотеза описывает поведение одной конкретной функции. Возьмём сумму
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯. С её помощью (и специального математического приёма, расширяющего область определения) построим более общую функцию, известную как дзета-функция Римана (ζ):

Аргумент s здесь является комплексным числом. Оно складывается из двух компонент, «действительной» и «мнимой», причём вторая представляет собой кратное квадратному корню из −1 (его обозначают буквой i). Каждому комплексному числу соответствует точка на плоскости:

Гипотеза Римана выясняет, при каких значениях s дзета-функция обращается в ноль.

Однако её смысл гораздо шире, чем поведение одной функции. Бернхард Риман, сформулировавший гипотезу в 1859 году, первым заметил, что эта функция тесно связана с закономерностями в распределении простых чисел. Так называются целые числа, которые без остатка делятся лишь на единицу и на самих себя; многие математики видят в них «атомы арифметики».

Давно известно, что по мере движения вдоль числовой прямой простые числа попадаются всё реже. Риман показал, что характер этого убывания в некотором смысле задаётся дзета-функцией, точнее, теми значениями аргумента, при которых она равна нулю.

Несложно доказать, что для отрицательных чётных чисел s (−2, −4, −6, …) выполняется равенство ζ(s) = 0. Эти нули называют тривиальными. Согласно гипотезе Римана, все остальные, нетривиальные нули дзета-функции появляются лишь тогда, когда действительная часть s равна 1/2. Другими словами, все они выстраиваются вдоль одной вертикальной прямой:

Если бы хоть один нетривиальный нуль оказался вне этой прямой, это означало бы, что простые числа подчиняются весьма неожиданной закономерности, которой пока никто не наблюдал.

Даже небольшое сужение области возможного расположения нетривиальных нулей даёт колоссальные следствия. Сам Риман установил, что такие нули могут находиться лишь внутри вертикальной полосы между нулём и единицей. Затем, в 1896 году, двое математиков доказали, что нули не лежат и на границах этой полосы. Из этого немедленно вытекла важная теорема о распределении простых чисел, которая задаёт формулу для скорости, с которой в среднем падает плотность простых чисел.

Будь гипотеза Римана верна, математики смогли бы гарантировать, что любые отклонения от среднего распределения, предсказанного этой теоремой, всегда остаются незначительными.

С помощью вычислений математики убедились, что первые 12 триллионов нетривиальных нулей лежат на прямой 1/2. Но уверенности в том, что гипотеза справедлива для всех нулей, нет. Одно-единственное исключение стало бы настоящей сенсацией. Как писал Энрико Бомбьери в статье, описывающей эту задачу в рамках премии тысячелетия, опровержение гипотезы Римана «внесло бы хаос в распределение простых чисел».

Эпоха простых чисел

О связи дзета-функции с простыми числами знали ещё до Римана. В 1737 году Леонард Эйлер доказал, что при любом комплексном s дзета-функция равна другому выражению, которое записывается только через простые числа:

Это одна из тех поразительных связей, которые создают у математиков ощущение, будто им приоткрылась скрытая реальность. С тех пор исследователи продолжают развивать идеи, выросшие из этого фундаментального соотношения.

Алмазы в груде породы

Теперь перейдём к квазигипотезе Римана. Если гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули лежат на вертикальной прямой 1/2, то её «квази»-вариант требует лишь показать, что все они помещаются в вертикальную полосу, которая уже известной полосы между нулём и единицей. Чем уже такая полоса, тем больше можно сказать о распределении простых чисел.

OpenAI представила два варианта доказательства квазигипотезы Римана. В первом, датированном 30 сентября 2026 года, утверждалось, что все нетривиальные нули обязаны лежать между 1/8 и 7/8. Он прошёл формальную верификацию на языке программирования Lean. Во втором, завершённом почти неделей позже (формальную проверку он пока не проходил), заявлялся более слабый результат: действительные части всех нулей находятся между 1/12 и 11/12. При этом первая работа занимает 199 страниц, а вторая сравнительно компактна: всего 49 страниц.

Как и многие другие недавние результаты, полученные с помощью ИИ, обе статьи, по словам Радзивилла в электронном письме, «написаны чудовищно, и любой математический журнал отклонил бы их сразу». «По качеству изложения и ясности они сильно уступают стандартам нашей области». Поэтому математики временно отложили 199-страничную работу с оценкой 7/8 и сосредоточились на доказательстве с границей 11/12: оно, судя по всему, опирается на сходные методы и приводит к схожим следствиям. «Люди в основном изучают вариант 11/12 просто потому, что он короче», — пояснил Радзивилл.

Любопытно, что работа с границей 11/12 стала единственной из 722 статей OpenAI, опубликованных 6 октября, к которой приложил руку редактор-человек. OpenAI оставила без ответа вопросы о том, кто этим занимался и почему именно эта статья удостоилась участия специалиста до публикации. Отвечая на запрос Quanta, компания лишь заявила: «Эта статья стала результатом труда всех сотрудников OpenAI».

В течение двух недель после публикации математики активно разбирали статью. Питер Сарнак, видный специалист по теории чисел из Принстонского университета, решил перестроить программу курса, который читает в этом семестре, и посвятить его изучению доказательства. По словам Радзивилла, теперь он способен уместить основные аргументы на половине страницы, тогда как более подробные разборы других математиков занимают от семи до тринадцати страниц. (На момент подготовки материала эти тексты ещё не были опубликованы и ходили по рукам в частном порядке.) Эксперты в целом сходятся во мнении, что результат верен, а его новизна состоит в соединении идей теории чисел, известных уже достаточно давно.

Десятилетиями Сарнак убеждал коллег, что к гипотезе Римана следует подступаться, рассматривая дзета-функцию лишь как одного из представителей более обширного семейства функций и доказывая утверждения сразу для всего семейства. «Но было непонятно, как именно это делать и какое семейство брать», — рассказал Майкл Рубинштейн из Университета Ватерлоо.

Как оказалось, интуиция Сарнака не подвела. Но семейство, найденное моделью OpenAI, ранее никто не рассматривал. К его открытию вплотную подошёл математик Генрик Иванец из Ратгерского университета: в 2002 году, пытаясь доказать гипотезу Римана, он выделил несколько тесно связанных с ней семейств.

Чтобы выйти на нужное семейство, потребовались малоизвестные математические объекты, метаплектические формы, которым Данн посвятил последние пять лет. «Этого никто не ожидал», — признался он. До сих пор в теории чисел такие формы применялись сравнительно редко, добавил он, «так что я надеюсь, что эта прекрасная и эзотерическая теория наконец получит заслуженное внимание».

К удивлению Данна и Радзивилла, формула, которую они доказали в 2021 году, оказалась одним из ключевых звеньев нового доказательства (наряду с результатами многих других математиков). Оглядываясь назад, Радзивилл признал, что специалисты в том разделе теории чисел, к которому относятся все эти работы, заблуждались, полагая свои инструменты слишком слабыми для квазигипотезы Римана. Они были уверены, что для этого понадобятся методы из совсем другой области теории чисел. «Уверенность» модели ИИ в том, что имеющихся инструментов может хватить, дала принципиально новый взгляд на задачу. «Это была довольно дерзкая догадка!» — сказал Радзивилл.

Работа OpenAI вызывает у математиков смешанные чувства: от досады до воодушевления. Сарнак в электронном письме отметил, что не согласится назвать результат «теоремой», пока люди не проверят и не осмыслят все детали доказательства. Тем не менее, по словам Радзивилла, «общее настроение — облегчение». Десятки результатов не только в теории чисел, но и в геометрии и теоретической информатике благодаря доказательствам квазигипотезы Римана разом обретут статус установленных математических истин.

Специалисты по теории чисел сомневаются, что конкретное сочетание методов, применённое в новом доказательстве, позволит опустить границу с 7/8 до заветной 1/2. «Мне представляется наиболее вероятным, что даже когда математики полностью освоят новые методы и разберутся во всех их следствиях, до доказательства полной гипотезы Римана нам будет так же далеко, как и прежде», — сказал Уилл Савин из Принстонского университета. «Но уверенности у меня нет».

Томас Блум, математик из Манчестерского университета, согласился, что полная гипотеза Римана по-прежнему выглядит недосягаемой. Однако добавил: «Но ведь всего несколько недель назад мы сказали бы то же самое и о квазигипотезе Римана! Теперь меня уже ничем не удивить».

 

Источник