Финальная часть: Путь к геометрии Лобачевского 6

5 Ноя в 13:00

Часть 1: скалярное произведение и метрика
Часть 2: сфера
Часть 3: стереографическая проекция
Часть 4: псевдосфера
Часть 5: модель Пуанкаре в круге

Перед подведением итогов рассмотрим ещё две модели геометрии, имеющие разные свойства. Первая модель по построению очень похожа на модель Пуанкаре в круге, поэтому в основном будут визуализации, без вывода формул. Вторая модель получена другим способом, поэтому формулы будут, но в минимальном количестве.

Модель Кели-Клейна

Новая модель геометрии получается из гиперболоида при помощи ортографической проекции: теперь точка проецируется на плоскость , касающуюся гиперболоида, через начало координат .

Вывод формул для прямой или обратной проекции $((x,y,z)\leftrightarrow(u,v))$ абсолютно такой же как в предыдущей части. Это вместе с индуцированием метрики остается в качестве упражения читателю. Образ проекции гиперболоида — единичный диск, как и раньше. Точно так же выделяется абсолют — он ограничивает плоскость Лобачевского и не принадлежит ей.

Напомню, что прямые получаются при пересечении гиперболоида с плоскостью, в которой лежит начало координат, через которое делается проекция в этой модели. Из-за того, что точка проекции лежит в плоскости, определяющей прямую, получается, что образ прямой на гиперболоиде равен пересечению плоскостей прямой и проекции — а это будет обычная прямая линия. Да и можно просто подставить одни уравнения в другие, буквально как в прошлых частях.

Расходящиеся и асимптотически параллельные прямые выглядят очень просто — как хорды окружности. Асимптотически параллельные прямые двигаются в сторону одной точки на абсолюте. Ниже картинка с теми же прямыми как и в диске Пуанкаре, только теперь в модели Кэли-Клейна.

Асимптотически параллельные и расходящиеся прямые

Как и в прошлый раз параллельные прямые занимают часть плоскости, и асиптотически параллельные прямые переходят друг в друга поворотом как бы вокруг выделенной точки.

Семейство прямых, параллельных заданной и проходящей через выделенную точку в круге Кэли-Клейна

Модель в целом похожа на предыдущую, но хороша тем, что в ней прямые выглядят как хорды у окружности. Однако модель не конформная — углы в ней не совпадают с евклидовыми и искажаются в зависимости от точки, в которой измеряны. Можно ли это показать напрямую? Конечно, можно — надо вывести функции перехода, индуцировать метрику — она окажется не конформной.

Модель верхней полуплоскости

Две предыдущие модели были получены из специального вида проекций гиперболоида на плоскость. В целом любую модель можно получить при помощи проекции, но третью модель интереснее получить непосредственно из первой, при помощи отображения внутренности круга на верхнюю полуплоскость.

Параллельные лучи в модели верхней полуплоскости, картинка из википедии

Дробно-линейное преобразование

Введем в круге Пуанкаре комплексные координаты и рассмотрим отображение . Такое отображение является дробно линейным, у него есть много интересных свойств. Для текущей секции важны только два:

Невырожденные дробно-линейные преобразования переводят прямые и окружности в прямые и окружности (прямая может перейти в окружность и наоборот),

Невырожденные дробно-линейные преобразования сохраняют углы между кривыми в точках пересечения (то есть преобразования являются конформными).

Не верьте в эти свойства — проверьте! Или почитайте их доказательства, мне очень нравится как написано в книге “Лекции по классической дифференциальной геометрии”, авторы А.О. Иванов, А.А. Тужилин (издание 2017 года).

Найдем, куда переходит абсолют при таком преобразовании. Т.к. абсолют это окружность, то по первому свойству он перейдет либо в прямую, либо в окружность на плоскости . Поэтому нужно просто подставить три точки с абсолюта и посмотреть на их образ. Так же дополнительно нужно подставить любую точку из внутренности круга, чтобы понять, в какую область на плоскости переходит внутренность круга. Удобные точки для подстановки: .

вычисления + картинка

$\begin{align} w &= \frac{z-1}{i(z+1)} \\ z&=i: w=\frac{i-1}{i(i+1)}=\frac{i-1}{i-1} =1 \\ z&=1: w=0 \\ z&=-i: w=\frac{-i-1}{i(1-i)} = -1 \\ z &=0: \frac{-1}{i} = i\end{align}$

Получилось, что точки с абсолюта лежат на прямой , а значит, и весь абсолют переходит в эту прямую, то есть внутренность круга ограничена новым абсолютом. Точка внутри круга перешла на верхню часть плоскости — значит, и все точки перейдут туда же. По свойствам (2) и (3) легко понять, куда переходят прямые. Прямые в круге — это дуги окружностей, перпендикулярные абсолюту. На полуплоскости они также переходят в круги , потому что дважды касаются абсолюта, (свойство (1)), и сохраняют прямые углы в точках касания (свойство (2)). Прямой угол в таком случае получится, только если диаметр окружности в полуплоскости будет лежать на вещественной оси, т.е. прямая это полуокружность.

Анимация распрямления круга Пуанкаре в полу-плоскость (с прямыми).

Как была получена эта гифка

Пусть есть процесс, который плавно переводит в . Параметрически он может выглядеть так: . Я выбрал линейную зависимость и получил выражение . Это некоторый произвол, можно разные параметризации выбрать, и они служат только для визуализации. Какого-то фундаментального смысла в параметризации (наверное) нет. Отображают ли они суть преобразования из z в w? Загадка науки и природы.

к параметру применена «easing function» — Easing Functions Cheat Sheet, ради того чтобы анимация более симпатично выглядела.

Итоговая формула:

Особое место в этом отображении имеет место точка на абсолюте в круге Пуанкаре. В этой точке отображение не определено, и по мере приближения к ней знаменатель становится меньше и меньше, на плоскости образ удаляется неограниченно далеко. При этом, при приближении к этой точки по абсолюту сверху — образ уйдет на $+\infty$ , по абсолюту снизу — образ уйдет на $-\infty$ . При приближении справа, то есть из внутренности круга Пуанкаре, мнимая часть образа будет равна $+\infty$ .

Если рассчитывать по формулам радиус окружности на плоскости, то он будет неограниченно расти по мере приближения к точке . По этим причинам прямые, которые стремятся к точке в круге, на плоскости не будут стремиться к какой-то фиксированной точке на горизонтальной прямой и будут выглядеть как вертикальные прямые. Сравните со стереографической проекцией сферы на плоскость: там северный полюс имеет те же свойства при отображении на плоскость как и точка в круге при отображении на полуплоскость.

В итоге прямые из круга Пуанкаре переходят на плоскости в полуокружности или вертикальные прямые, перпендикулярные вещественной оси.

Область параллельных прямых на полуплоскости уже выглядит не так очевидно, как в кругах

Поворот прямых

Если вращать точки на абсолюте, к которым стремятся прямые, то в моделях на кругах не будет ничего примечательного, потому что в такой модели видно сразу всю плоскость.

Поворот точек и прямых. Абсолют не движется, двигаются именно прямые.

При таком движении точка на абсолюте у каждой прямой проходит через особенную точку отображения , и у прямых на плоскости растет радиус до тех пор, пока они не распрямятся. Те же самые прямые, то же самое движение в модели полуплоскости:

Метрика в полуплоскости

Метрика в полуплоскости получается прямым подсчетом, и выглядит так:

${dl}^2=({dx}^2+{dy}^2)/y^2$

На прямой она в точности совпадает с Евклидовой. По мере движения вверх становится все больше, а метрика уменьшается и расстояния сжимаются. Однако плоскость сверху ничем не ограничена, и пройти вверх по ней можно сколь угодно далеко (в смысле расстояния). Такое движение будет соответствовать движению к точке на абсолюте круга. Ради примера, давайте посчитаем расстояние от точки до . Подставим это все в метрику и проинтегрируем её.

${dl}^2=\frac{{dx}^2+{dy}^2}{y^2} \\ \gamma:\{x=x_0,y\in[1,y]\} \\ dx=0, {dl}^2=\frac{{dy}^2}{y^2} \\ l(\gamma)=\int_{(x_0,1)}^{(x_0,y)} \sqrt{dl^2} = \int_1^y|\frac{dy}{y}|= \mid \ln y \mid \Big|_1^y = \mid \ln y\mid$

Получается, что интересующее расстояние равно $\ln(y)$ , то есть оно растет очень медленно, но все же не ограниченно.

При движении вниз от прямой метрика увеличивается, а расстояния растягиваются. Это логично, потому что движение вниз это тоже движение к абсолюту. Расчет расстояния между точками верный и в этом случае, но только теперь модуль раскорется со знаком минус. Если сделать замену , то расстояние пересчитается в $\ln(y’)$ и будет буквально такими же как и при движении вверх.

Аналогично можно посчитать расстояния между точками, не лежащими на вертикальной прямой. Для этого нужно найти центр полуокружности, на которой они лежат, выписать параметрическое уравнение этой окружности, подставить в метрику и проинтегрировать от первой точки до второй.

На других горизонтальных прямых метрика тоже совпадает с евклидовой, но только она растягивается. Это может показаться подозрительным и странным, но на самом деле так просто получается по формулам, ничего специфического в горизонтальных прямых нет. Если все аккуратно и честно посчитать (GPT-o1-preview самостоятельно у меня с этим не справился, но вместе мы пришли к решению), то получится, что прообраз горизонтальных прямых на полуплоскости — это окружности радиуса с центром в . Подстановка этих окружностей в метрику ни к чему не приводит — формулы не упрощаются, и какого-то красивого результата не получается. Вот анимация окружностей и прямых в круге и на полуплоскости:

Геометрия Лобачевского

В цикле были рассмотрены различные концепты, подводящие непосредственно к моделям геометрии Лобачевского.

Сначала были определены важные понятия — длины кривых, метрики; было сказано как индуцировать метрику из пространства на кривую и поверхность, как ей пользоваться для подсчета длин кривых в локальных координатах.
С использованием этих инструментов была проанализирована геометрия сферы, на которой оказалось, что нет параллельных прямых вообще. Это сделано для наглядности и для первого представления модели геометрии, в которой свойство параллельности меняется.
Важным шагом была стереографическая проекция, потому что после нее сфера перестала быть вложена в пространство, и была полученна плоскость с метрикой, на которых в совокупности получается сферическая геометрия — не такая, как привычная геометрия Евклида.
Аналогично была построена другая поверхность постоянной отрицательной кривизны — псевдосфера. Она противоположна сфере, в каком-то смысле
В предпоследней части поверхность была спроецирована на плоскость и были получена непосредственно модель геометрии Лобачевсого. В последней части были построены ещё две другие модели.

Однако я пока не писал что такое геометрия Лобачевского. Изначально к ней пришли из совсем других соображений по сравнению с описаными в статьях цикла.

Геометрия — это система аксиом и выводов, которые из этих аксиом можно получить (то есть теорем). А модель геометрии — это конкретная математическая конструкция, которая является способом визуализации геометрии (но не только визуализации).

Геометрия Евклида включает пять аксиом, а теория, построенная на этих аксиомах, считается непротиворечивой, то есть из ее аксиом нельзя сделать выводов, которые приводят к логическим противоречиям.

В геометрии Лобачевского легендарная пятая аксиома Еклида (из википедии):

На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной.

заменяется на её отрицание:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Геометрия Лобачевского, как система аксиом, так же считается непротиворечивой, поскольку была доказана совместная непротиворечивость с геометрией Евклида (то есть если геометрия Евклида не противоречива, то и геометрия Лобачевского тоже).

Наверное, правильно начинать именно с этих аксиом, но я решил выбрал путь наглядности, потому что без него представить отрицание пятой аксиомы сложно.

Построение модели — это совсем другой путь по сравнению с доказательством непротиворечивости. Модель предъявляет геометрию. В каждой из моделей можно сформулировать и доказать эквивалентные теоремы. Все модели получились разные — со своей метрикой, со своей визуализацией. Но в общем — это все модели геометрии Лобачевского.

Дополнительные материалы

Есть ещё несколько тем, которые я не включил в цикл

Анализ прямых на торе. Внешняя часть тора имеет положительную кривизну, а внутренняя — отрицательную. Это некоторое промежуточное звено между сферой и гиперболоидом. Даже картинка для этого есть:
Псевдосфера Бельтрами — поверхность в Евклидовом пространстве, реализующая часть геометрии Лобачевского. Pseudosphere — Wikipedia
Мне нравится как про псевдосферу пишет Фоменко в своей книге по геометрии (teach-in.ru):
Модель в полосе и модель Гана — ещё две модели геометрии.
Модель геометрии в полусфере — дополнительная интуитивная модель, позволяющая связать все модели через проекцию. На этом сайте описана связь модели полусферы с другими моделями с красивыми визуализациями: https://etudes.ru/models/lobachevskian-plane-models/