Эффект домино: от приблизительных расчётов к настоящему эксперименту

25 минут назад Прокомментировать Просмотры: 0

Здравствуйте, поклонники физики и экспериментов! Однажды подписчики спросили нас: «Можно ли вычислить, с какой скоростью распространяется волна падающих домино?» Давайте попробуем это выяснить. Сразу предупреждаем: в статье будет немало гифок с падающими костяшками!

Небольшой спойлер: в финале не будет традиционного вопроса «на подумать». Но своими идеями можно поделиться в комментариях и обсудить их с другими читателями. Кроме того, скоро мы обновим уровни премиум-подписки. Среди новых бонусов появится возможность за 500 рублей в месяц задать вопрос ведущим и попасть в видео с ответами на лучшие вопросы месяца. Если тема статьи вас заинтересовала и вы хотите получить ответ от Андрея или Алексея, оформите подписку на удобной для вас платформе и следите за новостями. На следующей неделе мы расскажем о новых уровнях и бонусах, а также объясним, куда отправлять вопросы. Спасибо за поддержку — благодаря ей мы можем продолжать работу 🙂

Телеграм

Бусти

Патреон

Дзен

Зачем нужны расчёты и почему не стоит анализировать каждый удар

На первый взгляд, описать происходящее довольно сложно. Пришлось бы разбирать падение каждой костяшки и все детали их взаимодействия: столкновения, скольжение и трение, вращение, передачу импульса и потери энергии.

Но можно попробовать обойтись без такого подробного анализа. Когда волна проходит начальный участок, её скорость, по-видимому, становится постоянной. Перед нами движущийся вдоль цепочки волновой импульс — или фронт. Его можно рассматривать как единое целое, подобно фронту горения.

Для начала зададимся более простым вопросом: получится ли хотя бы оценить скорость распространения этого фронта? Не найти точное значение, а получить разумное приближение.

Да, это возможно с помощью метода размерностей. Поскольку процесс обусловлен падением домино, именно с этим движением и связана оценка скорости.

Метод размерностей: оценим скорость волны за минуту

От каких физических величин может зависеть скорость волнового импульса?

От ускорения свободного падения, размерность которого — метры в секунду в квадрате.
От массы доминошки, измеряемой в килограммах.
От различных размеров: высоты и толщины костяшки, а также расстояния между соседними домино. Все эти величины измеряются в метрах.

$g\left[\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\right]$ $m\left[\text{кг}\right]$ $H,\ d,\ S\ [\text{м}]$

Как составить из перечисленных величин выражение с размерностью скорости? Масса здесь, очевидно, не играет роли — как и во многих процессах, связанных с падением тел.

Произведение ускорения свободного падения на длину имеет размерность квадрата скорости. Извлекая квадратный корень, получаем оценку: скорость импульса должна быть порядка √(g × L), где L — некая эффективная длина, зависящая, вероятно, от перечисленных геометрических параметров.

$V = \sqrt{gL}$

Возможно, на результат влияет и безразмерный коэффициент трения — это ещё предстоит выяснить. Зато уже можно утверждать: если увеличить все размеры в четыре раза, скорость волны возрастёт вдвое.

Какой размер важнее: высота доминошки или остальные параметры?

Пока наша оценка остаётся слишком общей. Мы понимаем, что скорость зависит от некоторой эффективной длины, но не знаем, какая именно характеристика доминошки определяет её в первую очередь.

Предположим, что костяшки достаточно высокие и узкие. Вероятно, только такие домино могут устойчиво падать и передавать движение по цепочке. Тогда основным параметром должна быть высота: именно она задаёт характерную скорость падающего тела.

Рассмотрим для начала отдельную доминошку. При её падении характерная скорость движения по вертикали и горизонтали определяется высотой H. Другие размеры в таком случае должны вносить лишь поправки.

Прежде чем делать окончательные выводы, смоделируем процесс в «Живой физике» — компьютерной среде для моделирования физических явлений. Посмотрим, что произойдёт и какого порядка окажется скорость волны.

В нашей модели высота доминошек составляет 2 м, толщина — 0,25 м, а промежуток между ними — 0,5 м. По формуле √(gH) получаем скорость 4,5 м/с.

Теперь запустим цепочку и проследим за движением фронта.

Волна преодолела 9 м между красными отметками за 1,16 секунды. Значит, её скорость составила 7,8 м/с. Это больше расчётных 4,5 м/с, но порядок величины мы оценили верно.

Теперь попробуем уточнить модель. Для этого важно не смешивать скорость распространения волны со скоростью, которую получает доминошка после удара предыдущей.

Скорость волны должна быть выше: пока сама костяшка проходит расстояние до следующей, фронт успевает продвинуться дальше. Ведь край доминошки, в которую ударили, сразу начинает двигаться с сообщённой ей скоростью.

Таким образом, скорость волны превосходит скорость движения доминошки в отношении суммы промежутка между соседними костяшками и толщины домино к величине самого промежутка.

В нашей модели это отношение равно 1,5. Если считать, что √(gH) приближённо задаёт скорость конца доминошки в момент удара, то скорость фронта будет в полтора раза выше — около 6,8 м/с. Это уже гораздо ближе к результату симуляции.

Предположим, что рассуждение верно, и для оценки скорости волны стоит воспользоваться уточнённой формулой:

$V = \frac{s+d}{s}\sqrt{gH}$

Изменим параметры в «Живой физике» — например, сделаем доминошки выше. Проверим, насколько хорошо формула согласуется с результатами численного моделирования.

Теперь высота костяшек равна 8 м, то есть в четыре раза больше, чем в предыдущем опыте. Толщина и промежуток между ними прежние. Уточнённая формула предсказывает скорость 13,3 м/с.

Снова запустим домино и измерим скорость волны.

Фронт прошёл 9 м за 0,55 секунды, то есть двигался со скоростью 16,4 м/с. Это снова примерно на 15% выше предсказанных 13,3 м/с. Похоже, наша оценка достаточно точна.

Почему волна не ускоряется и куда направляется потенциальная энергия?

Возможно, у вас возник вопрос: пока доминошки падают, их потенциальная энергия высвобождается. Почему же волна распространяется с установившейся скоростью, а не разгоняется всё сильнее за счёт этой энергии?

В реальной системе энергия теряется по нескольким причинам:

нижние края костяшек скользят по поверхности, на которой они стоят, и преодолевают силу трения;
домино сталкиваются друг с другом. Удары не бывают абсолютно упругими, поэтому при столкновениях часть энергии рассеивается.

Можно предположить, что без потерь волна будет постоянно ускоряться. Проверим эту идею в «Живой физике».

Оказывается, даже если полностью убрать потери на трение и столкновения, фронт движется по цепочке с постоянной скоростью — 12 м/с, что в полтора раза быстрее прежнего результата. Высвобождаемая потенциальная энергия при этом переходит в кинетическую энергию беспорядочного движения доминошек.

Итак, устранение потерь не заставляет волну непрерывно ускоряться: высвобождаемая энергия уходит на движение самих костяшек.

Подведём промежуточный итог. К этому моменту мы:

получили оценку с помощью метода размерностей;
уточнили её, введя дополнительные коэффициенты;
проверили предположения на компьютерной модели.

Остаётся понять, как объяснить наблюдаемое поведение с помощью физических законов.

Второй закон Ньютона в импульсной форме

Воспользуемся вторым законом Ньютона, записанным для импульса. Нужно оценить, какой импульс передаётся доминошкам за единицу времени.

Для этого введём линейную плотность домино ρ — массу костяшек на единицу длины цепочки. Если импульс распространяется с характерной скоростью v, за единицу времени он вовлекает в движение массу порядка ρv. Этой массе сообщается скорость v, поэтому передаваемый за секунду импульс по порядку величины равен ρv².

$\frac{dp}{dt} \sim \rho v^2$

Теперь оценим силу, с которой упавшие доминошки давят на следующую костяшку.

Длина образовавшегося завала примерно равна высоте домино — возможно, она несколько больше. Давление при этом распределено неравномерно:

ближайшие костяшки наклонены слабо, поэтому давят не слишком сильно;
дальние наклонены заметнее и давят сильнее, но их горизонтальная проекция меньше.

Для грубой оценки примем, что домино воздействуют на следующую костяшку на участке длиной порядка H. При линейной плотности ρ сила будет иметь порядок ρgH. Формула кажется знакомой, не так ли?

$F \sim \rho gH$

Приравняем полученные оценки. Линейная плотность ρ сократится, и останется:

$v^2 \sim gH$

Именно к этому результату мы и пришли раньше.

Эксперимент в реальности: проверяем формулу на обычных домино

Теории достаточно — пора переходить к эксперименту! У нас уже есть оценка скорости волны и результаты компьютерной симуляции. Теперь проверим полученные зависимости на настоящих доминошках.

Сначала измерим размеры костяшек: толщина — 1 см, высота — 7 см. Для таких домино величина √(gH) составляет 83 см/с.

Теперь запустим волну и запишем её движение на скоростную камеру.

Расстояние между соседними костяшками — 2 см. Запущенная по цепочке волна движется со скоростью 110 см/с. Конечно, называть теорией формулу, полученную из качественных рассуждений и компьютерных опытов, было бы преувеличением. Тем не менее расчётное значение для этих параметров — 125 см/с — достаточно близко к результату эксперимента.

Изменим несколько условий и выясним, сохранит ли формула точность. Для начала поменяем расстояние между доминошками и посмотрим, как это отразится на скорости распространения волны.

Как промежуток между костяшками влияет на скорость волны

Результат оказался неожиданным. Мы запустили волны по трём цепочкам с разными промежутками между домино и увидели, что к концу движения все они распространяются почти одинаково — со скоростью около 110 см/с.

Чтобы нагляднее сравнить результаты, запустим цепочки ещё раз и обозначим красной линией положение фронта, который движется с постоянной скоростью. Так будет проще сопоставить распространение всех трёх волн.

Выходит, наши поправки, учитывающие толщину домино и расстояние между ними, оказались не столь необходимы. Возможно, для оценки скорости достаточно первоначального приближения:

$v \sim \sqrt{gH}$

Это любопытный результат: взаимодействие доминошек устроено сложнее, чем кажется на первый взгляд.

Есть и важный предельный случай: если толщина костяшек намного меньше промежутка между ними, действительно получается формула √(gH). В этом смысле наша первоначальная оценка вполне оправданна.

А что будет в противоположной ситуации — если зазор между домино окажется гораздо меньше их толщины? Давайте проверим.

Оказалось, что при уменьшении промежутков волна не ускоряется, а, напротив, замедляется. В нашем опыте её скорость упала до 43 см/с.

В заключение: несколько слов о пользе метода размерностей

В начале мы получили оценку √(gH) — именно вокруг этой скорости строились наши дальнейшие рассуждения. В экспериментах и симуляциях мы сравнивали с ней результаты и смотрели, растёт скорость или снижается. У нас была отправная точка для сравнения. Без такой оценки было бы непонятно, с чего начинать и как интерпретировать наблюдения. Так и работают физики 🙂